压轴题型05 三角函数ω的取值范围及解三角形中的范围与最值问题（教师版）

压轴题型05三角函数的取值范围及解三角形中的范围与最值问题命题猜测三角函数与解三角形是每年高考常考内容，在选择、填空题中考查较多，有时会消灭在选择题、填空题的压轴小题位置，综合考查以解答题为主，中等难度．高频考法（1）取值与范围问题（2）面积与周长的最值与范围问题（3）长度的范围与最值问题01取值与范围问题1、在区间内没有零点同理，在区间内没有零点2、在区间内有个零点同理在区间内有个零点3、在区间内有个零点同理在区间内有个零点4、已知一条对称轴和一个对称中心，由于对称轴和对称中心的水平距离为，则．5、已知单调区间，则.【典例1-1】（2025·江苏南通·二模）已知函数（）在区间上单调递增，则的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由于，又，由，得到，所以函数的单调增区间为，依题有，则，得到，故选：B.【典例1-2】（2025·四川泸州·三模）已知函数（）在有且仅有三个零点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由于，所以，由于函数（）在有且仅有三个零点，结合正弦函数的图象可知，解得，故选：B.【变式1-1】（2025·四川德阳·二模）已知函数在区间上单调，且满足．给出下列结论，其中正确结论的个数是（

）①；②若，则函数的最小正周期为；③关于的方程在区间上最多有3个不相等的实数解；④若函数在区间上恰有5个零点，则的取值范围为．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】①由于且，所以.①正确.②由于所以的对称轴为,.②正确.③在一个周期内只有一个实数解，函数在区间上单调且，.当时，，在区间上实数解最多为共3个.③正确.④函数在区间上恰有个零点，，解得；又由于函数在区间上单调且，，即，所以.④错误故选：C【变式1-2】（2025·江苏泰州·模拟猜测）设函数在上至少有两个不同零点，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】令得，由于，所以，令，解得或，从小到大将的正根写出如下：，，，，，……，由于，所以，当，即时，，解得，此时无解，当，即时，，解得，此时无解，当，即时，，解得，故，当，即时，，解得，故，当时，，此时在上至少有两个不同零点，综上，的取值范围是.故选：A02面积与周长的最值与范围问题正弦定理和余弦定理是求解三角形周长或面积最值问题的杀手锏，要牢牢把握并机敏运用．利用三角公式化简三角恒等式，并结合正弦定理和余弦定理实现边角互化，再结合角的范围、帮助角公式、基本不等式等求其最值．【典例2-1】（2025·青海·模拟猜测）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．(1)求B；(2)若，的面积为S．周长为L，求的最大值．【解析】（1）由正弦定理可得，，所以,所以，即，由，可知，所以，即，由，知.（2）由余弦定理，得，即，所以，即，由于，，所以，所以，又（当且仅当时取等号），所以（当且仅当时取等号），所以（当且仅当时取等号），所以（当且仅当时取等号），即的最大值为.【典例2-2】（2025·陕西汉中·二模）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，请从下列条件中选择一个条件作答：（注：假如选择条件①和条件②分别作答，按第一个解答计分．）①记的面积为S，且；②已知．(1)求角A的大小；(2)若为锐角三角形，且，求周长的取值范围．【解析】（1）选条件①，由，得，整理得，而，所以.选条件②，由及正弦定理，得，而，则，整理得，而，所以.（2）由（1）知，由正弦定理得，因此由为锐角三角形，得，解得，因此，则，于是，，所以周长的取值范围是.【变式2-1】（2025·宁夏银川·二模）已知平面四边形中，.(1)若，求；(2)若的面积为，求四边形周长的取值范围.【解析】（1）在中，由余弦定理得，在中，由余弦定理得，由于，所以，即，解得.（2）由已知，得，在中，，由余弦定理得，则，设，在中，由余弦定理得，则，得，所以，当且仅当时取等号，又，所以四边形周长的取值范围为.【变式2-2】（2025·四川德阳·二模）的内角的对边分别为，已知.(1)求；(2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围.【解析】（1）由于中，，即，而，故，故，又，则；（2）由（1）以及题设可得；由正弦定理得，由于为锐角三角形，，，则，则，则，即，则，即面积的取值范围为.03长度的范围与最值问题对于利用正、余弦定理解三角形中的最值与范围问题，主要有两种解决方法：一是利用基本不等式，求得最大值或最小值；二是将所求式转化为只含有三角形某一个角的三角函数形式，结合角的范围，确定所求式的范围．【典例3-1】（2025·贵州遵义·一模）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．(1)求A；(2)若为锐角三角形，，求b的取值范围．【解析】（1）在中，由及正弦定理，得，则，即，而，于是，又，所以.（2）由（1）知，，由正弦定理得，由为锐角三角形，得，解得，则，,则，所以b的取值范围是.【典例3-2】（2025·宁夏固原·一模）在锐角中，内角的对边分别是，且．(1)求证：；(2)求的取值范围．【解析】（1）由于，所以，则，由正弦定理可得，即，所以，又，故，由，故；（2）由（1）得，由于，所以由正弦定理得，又锐角中，有，解得，所以，则，所以，即，故的取值范围为.【变式3-1】（2025·河北衡水·一模）在中，内角所对的边分别是，三角形面积为，若为边上一点，满足，且.(1)求角；(2)求的取值范围.【解析】（1），，即，由正弦定理得，，，，，，由，得.（2）由（1）知，，由于，所以，，在中，由正弦定理得，即，在中，，，，,，，，，所以的取值范围为.【变式3-2】（2025·陕西安康·模拟猜测）已知锐角中，角，，所对的边分别为，，，其中，，且．(1)求证：；(2)已知点在线段上，且，求的取值范围．【解析】（1）由于，即，由正弦定理可得，又，即，所以，整理得，由余弦定理得，整理得，由正弦定理得，故，即，整理得，又由于为锐角三角形，则，可得，所以，即.（2）由于点在线段上，且，即平分，又，所以，则，在中，由正弦定理得，所以，由于为锐角三角形，且，所以，解得.故，所以.因此线段长度的取值范围.1．在锐角中，角，，的对边分别为，，，且，，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由正弦定理得，即，又为锐角三角形，，又，则，解得，而当时，单调递增，故，所以.故选：C2．已知函数，现有如下说法：①若，函数在上有最小值，无最大值，且，则；②若直线为函数图象的一条对称轴，为函数图象的一个对称中心，且在上单调递减，则的最大值为；③若在上至少有2个解，至多有3个解，则；则正确的个数为（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【解析】对于①，由于时，有最小值，所以，所以，得到，由于在区间上有最小值，无最大值，所以，即，令，得，故①错误；对于②，依据题意，有，得出，即，得到或，故②正确；对于③，令或，则或，故需要上述相邻三个根的距离不超过，相邻四个根（距离较小的四个）的距离超过，即，解得，故③正确，故选：C．3．设函数，当时，方程有且只有两个不相等的实数解，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由已知易知，当时，所以要满足题意有.故选：C4．将函数的图象向左平移个单位长度后，再把横坐标缩短为原来的一半，得到函数的图象．若点是图象的一个对称中心，则的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意可得，所以将的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，再把所得图象上点的横坐标缩短为原来的一半，得到函数的图象，由于点是图象的一个对称中心，所以，解得，又，所以的最小值为．故选：C5．已知函数，若将的图象向左平移个单位后所得的函数图象与曲线关于对称，则的最小值为（

）A． B． C．1 D．【答案】A【解析】函数，的图象向左平移个单位后所得函数，函数的图象与的图象关于直线对称，则，于是对任意实数恒成立，即对任意实数恒成立，因此，解得，而，则，所以当时，取得最小值.故选：A6．（多选题）中，内角，，的对边分别为，，，为的面积，且，，下列选项正确的是（

）A．B．若，则只有一解C．若为锐角三角形，则取值范围是D．若为边上的中点，则的最大值为【答案】ABD【解析】对于A，由于，所以，则，由于，所以，故A正确；对于B，由于，则，，故只有一解，故B正确；对于C，若为锐角三角形，则，，则，则，即，由正弦定理可知：，故C错误；对于D，若D为边上的中点，则，所以由余弦定理知，得，又，所以，当且仅当时取得等号，所以，即，故D正确.故选：ABD.7．已知函数，若的图象在上有且仅有两条对称轴，则的取值范围是．【答案】【解析】由于，由于的图象在上有且仅有两条对称轴，所以，解得，所以的取值范围是．故答案为：.8．已知函数，若，，，则实数的取值范围是.【答案】或【解析】设，，则，所以问题转化为在上存在最大值和最小值，由正弦函数图象可得，，解得，所以，当时，，；当时，，当时，，当时，，当，时，，当时，，而，即，所以时，全部状况的范围的并集为；综上，实数的取值范围是或.故答案为：或.9．已知函数满足，且在区间上恰有两个最值，则实数的取值范围为．【答案】【解析】由于，所以，所以，，即，，所以．当时，．由于在区间上恰有两个最值，且，所以，解得．故答案为：．10．已知函数在区间上单调递减，则的取值范围是.【答案】【解析】当时，，又的单调递减区间为，所以，解得，且，解得，又，所以0，所以的取值范围为.故答案为：11．若函数在区间内单调递减，则的最大值为．【答案】【解析】由题得：，令，则在单调递减，故，由，故，所以的最大值为，故答案为：.12．已知函数，且，将的图象向右平移个单位长度后，与函数的图象相邻的三个交点依次为A，B，C，且，则的取值范围是．【答案】【解析】依题意，函数的值域为，的值域为，由，得，且，解得，，将的图象向右平移个单位长度后，得，在同一坐标系内作出函数的图象，观看图象知，，取中点，连接，由对称性知，，由，得，即，，由，得，则，解得，于是，则，因此，解得，所以的取值范围是.故答案为：13．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，的平分线交AC于点D，且，则的最小值为．【答案】【解析】如图所示，则的面积为，则，所以，明显，故，当且仅当，即时取等号.所以的最小值为.故答案为：.14．在锐角中，角所对边的边长分别为，且.(1)求角；(2)求的取值范围.【解析】（1），，又，，.（2）由（1）可知，，且为锐角三角形，所以，，则，由于，.15．在锐角中，角的对边分别为，且．(1)求角的大小；(2)求的取值范围．【解析】（1）由于，由正弦定理边化角得：，所以，由于在中，，所以，即，又，所以.（2）由（1）可知，所以，所以由于在锐角中，，所以，所以，所以，所以，所以的取值范围为.16．已知锐角的三内角的对边分别是，且，(1)求角的大小；(2)假如该三角形外接圆的半径为，求的取值范围．【解析】（1），由余弦定理可得，化简整理得，又，，又，所以.（2）由于三角形外接圆半径为，所以，，，由（1）得，所以，由于是锐角三角形，且，所以，，，，即.所以的取值范围为.17．在中，角、、的对边分别为、、，．(1)求角，并计算的值；(2)若，且是锐角三角形，求的最大值．【解析】（1）由，得，则，又，所以或.当时，；当时，.（2）若为锐角三角形，则，有，解得.由正弦定理，得，则，所以，其中，又，所以，则，故当时，取到最大值1，所以的最大值为.18．在中，为边上一点，，且面积是面积的2倍．(1)若，求的长；(2)求的取值范围．【解析】（1）设边上的高为，垂足为，由于面积是面积的2倍，所以有，设，由余弦定理可知：，解得或舍去，即；（2）由（1）可知，设，由且，由余弦定理可得：，，在中，由于，所以由正弦定理可知：，由于，所以，于是有，因此的取值范围为..19．记锐角的内角，，的对边分别为，，，已知.(1)证明：；(2)求的取值范围.【解析】（1）证明：由，得，即，由正弦定理可得，即，由余弦定理可得，故，又，故，由，故；（2）由正弦定理可得：，又锐角中，有，，解得，即，即，故.20．记的内角的对边分别为，若，且的面积为.(1)求角；(2)若，求的最小值.【解析】（1），结合余弦定理得，，，，即，又，，故；（2）由（1）知：，，，，又，当且仅当时，长取最小值，此时，长的最小值为.21．已知函数的最小正周期为.(1)求在上的单调递增区间；(2)在锐角三角形中，内角的对边分别为且求的取值范围.【解析】（1）.由于所以故.由解得当时又所以在上的单调递增区间为.（2）由得（所以.由于所以又所以又三角形为锐角三角形，则，则，所以，又，，则，所以的取值范围为.22．已知在中，，(1)求A；(2)若点D是边BC上一点，，△ABC的面积为，求AD的最小值.【解析】（1）由于，所以，由于，，则，故，所以，，（2）由于，则，所以，故，由于的面积为，所以，所以上式当且仅当，即，时取得“”号，所以AD的最小值是.23．在中，角所对的边分别为，且满足．(1)求角；(2)若点在线段上，且满足，求面积的最大值．【解析】（1）由题意得，即，，，，又；（2）解法一：令，则，，，即，①，又，②，联立①②，得（当且仅当时取等号），即，，面积的最