压轴题型03 函数与导数经典常考压轴小题（教师版）

压轴题型03函数与导数经典常考压轴小题命题猜测有关函数与导数常见经典压轴小题的高考试题，考查重点是零点、不等式、恒成立等问题，通常与函数性质、解析式、图像等均相关，需要考生具有规律推理、直观想象和数学运算核心素养.同时，对于实际问题，需要考生具有数据分析、数学建模核心素养.估计猜测2025年高考，多以小题形式消灭，也有可能会将其渗透在解答题的表达之中，相对独立．具体估量为：（1）导数的计算和几何意义是高考命题的热点，多以选择题、填空题形式考查，难度较小．（2）应用导数争辩函数的单调性、极值、最值多在选择题、填空题靠后的位置考查，难度中等偏上，属综合性问题．高频考法（1）函数嵌套、零点嵌套问题（2）零点问题（3）导数的同构思想（4）双重最值问题（5）构造函数解不等式01函数嵌套、零点嵌套问题解决嵌套函数零点个数的一般步骤(1)换元解套,转化为与的零点.(2)依次解方程,令,求,代入求出的值或推断图象交点个数.【典例1-1】（上海市浦东新区上海市试验学校2025届高三学期第三次月考数学试题）已知函数是定义在的偶函数，当时，，若函数有且仅有个不同的零点，则实数取值范围.【答案】【解析】由于，由，可得或，由函数是定义在上的偶函数，当时，，当时，，如下图所示：由于，由图可知，直线与函数的图象有个交点，所以，直线与函数的图象有个交点，由图可得.综上所述，实数的取值范围是.故答案为：.【典例1-2】（安徽省合肥市六校联盟2025-2025学年高三学期期中联考数学试题）已知函数，，若函数有6个零点，则实数的取值范围为.【答案】【解析】画出的图象如下：由于最多两个零点，即当，或时，有两个不等零点，要想有六个零点，结合函数图象，要和分别有3个零点，则且，即的两个不等零点，则要满足，解得，故实数的取值范围为故答案为：【变式1-1】（海南省琼中黎族苗族自治县琼中中学2025届高三高考全真模拟卷（二）数学试题）已知函数，若函数有6个零点，则的值可能为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题可得，，在上单调递减，在上单调递增，则据此可作出函数大致图象如图所示，令，则由题意可得有2个不同的实数解，，且，则，观看选项可知，满足题意.故选：C．【变式1-2】（河南省部分重点高中2025-2025学年高三阶段性考试（四）数学试题）已知函数若函数恰有8个零点，则的最小值是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】设，由于有8个零点，所以方程有4个不同的实根，结合的图像可得在内有4个不同的实根，即在内有2个不同的实根，可知，即可求得结果．画出函数的图像如图所示，设，由，得.由于有8个零点，所以方程有4个不同的实根，结合的图像可得在内有4个不同的实根.所以方程必有两个不等的实数根，即在内有2个不同的实根，结合图像由图可知，，故，即的最小值是2.故选：B02零点问题（1）直接法：直接依据题设条件构造关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；（2）分别参数法：先将参数分别，转化成球函数值域的问题加以解决；（3）数形结合法：先将解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．【典例2-1】（2025·海南省直辖县级单位·模拟猜测）已知函数的图象在区间内恰好有对关于轴对称的点，则的值可以是（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C【解析】令，，由于与的图象关于轴对称，由于函数的图象在区间内恰好有对关于轴对称的点，所以问题转化为与的图象在内有个不同的交点，在同一平面直角坐标系中画出与的图象如下所示：由于，当时，，结合图象及选项可得的值可以是，其他值均不符合要求,.故选：C【典例2-2】（2025·四川成都·三模）若函数大于0的零点有且只有一个，则实数的值为（

）A．4 B． C． D．【答案】D【解析】函数有且仅有一个正零点，即方程有且仅有一个正根，令，则，当时，，当时，，当时，，即函数在和上单调递增，在上单调递减，且，时，，时，，时，，可作出图象如下，方程有且仅有一个正根，所以.故选：D.【变式2-1】（2025·北京海淀·一模）已知，函数的零点个数为，过点与曲线相切的直线的条数为，则的值分别为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】令，即时，，解得，时，，无解，故，设过点与曲线相切的直线的切点为，当时，，则有，有，整理可得，即，即当时，有一条切线，当时，，则有，有，整理可得，令，则，令，可得，故当时，，即在上单调递增，当时，，即在上单调递减，由，，故在上没有零点，又，故在上必有唯一零点，即当时，亦可有一条切线符合要求，故.故选：B.【变式2-2】（2025·甘肃武威·模拟猜测）已知函数有3个零点，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】将的图象向左平移2个单位长度，可得函数的图象，所以原题转化为“函数有3个零点”，即争辩直线与函数图象交点的个数问题．由于的定义域为，且，所以为奇函数．由于，所以在区间上为减函数，且曲线在点处的切线方程为．当时，；当时，；当的，，作出的图象．如图：由图知：当时，直线与函数的图象有3个交点．故实数的取值范围是．故选：C.03导数的同构思想同构式的应用：（1）在方程中的应用：假如方程和呈现同构特征，则可视为方程的两个根（2）在不等式中的应用：假如不等式的两侧呈现同构特征，则可将相同的结构构造为一个函数，进而和函数的单调性找到联系。可比较大小或解不等式。<同构小套路>①指对各一边，参数是关键；②常用“母函数”：，；查找“亲戚函数”是关键；③信手拈来凑同构，凑常数、、参数；④复合函数（亲戚函数）比大小，利用单调性求参数范围.【典例3-1】（2025·陕西商洛·三模）已知，对任意的，不等式恒成立，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由题意，不等式即，进而转化为，令，则，当时，，所以在上单调递增.则不等式等价于恒成立.由于，所以，所以对任意恒成立，即恒成立.设，可得，当单调递增,当单调递减．所以有最大值，于是，解得．故选：B【典例3-2】（2025·全国·模拟猜测）若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】依题意得，，故，令，则，令可得，所以时，，则在上单调递减，时，，则在上单调递增；且当时，，当时，；则由，得，则令，则，故当时，，单调递减，当时，单调递增，故，则，则实数的取值范围为.故选：D．【变式3-1】（2025·高三·四川雅安·开学考试）当时，恒成立，则的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由题意，当时，恒成立，所以在上恒成立，即在上恒成立，令，可得，所以在上单调递增，所以在上恒成立，即在上恒成立，令，可得，当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以，所以，解得，所以实数的取值范围为.故选：D.【变式3-2】（2025·高三·安徽·开学考试）若关于的不等式恒成立，则实数的最大值为（

）A．2 B． C．3 D．【答案】B【解析】由题意得，，即，令，由于，，所以函数在上单调递增，则不等式转化为，所以，则.令，则，则当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以当时，有最小值，即，则的最大值为.故选：B04双重最值问题解决双重最值问题常用秘籍：（1）利用不等式的性质（2）利用确定值不等式（3）利用均值不等式（4）分类争辩（5）构造函数【典例4-1】（2025·广东韶关·二模）定义，对于任意实数，则的值是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】设，则，得，设，则，令，，所以函数在上单调递减，在上单调递增，故，即，得，所以，得，即.故选：A【典例4-2】（2025·贵州·三模）以表示数集中最大（小）的数.设，已知，则.【答案】【解析】由，得，设，则，由，当且仅当时，取等号，所以.故答案为：.【变式4-1】（2025·高三·江苏·阶段练习）若，，则.【答案】【解析】由题意知，和的地位上相同，类似的：和的地位上也相同，（1）若最大，设，要使得最小，则其余的数尽可能的大，其中最大取，此时，剩下也要尽可能大，取，则，由于，要使得尽可能大，则，此时，解得；（2）若最大，设，与（1）中类似，时，最小，同样，要使得最小，则最大，此时，可得，解得.综上可得.故答案为：.【变式4-2】（2025·湖北·一模）记，分别表示函数在上的最大值和最小值．则．【答案】2【解析】由，设为变量，，令，当时，，当时，，当时，，最大值只可能在或或处取得，所以的最大值为，所以，当时，原式的最小值为2．或者由在时的最大值只可能在或或处取得，令，当时，，当时，，当时，，结合图象可得原式的最小值为2．故答案为：2.05构造函数解不等式1、对于，构造，2、对于，构造3、对于，构造，4、对于，构造5、对于，构造，6、对于，构造7、对于，构造，8、对于，构造9、对于，构造，10、对于，构造11、对于，构造，12、对于，构造13、对于，构造14、对于，构造15、；；；16、；．【典例5-1】（2025·辽宁·模拟猜测）已知是定义在上的奇函数，也是定义在上的奇函数，则关于的不等式的解集为（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由于，故，故，由于是定义在上的奇函数，故，故，故，故，此时，故为上的减函数，而等价于，即即，故或故选：A.【典例5-2】（2025·湖南邵阳·二模）已知函数的定义域为为的导函数.若，且在上恒成立，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】设函数，可得，所以函数在上单调递减，由，可得，即，可得，所以，即不等式的解集为.故选：D.【变式5-1】（多选题）（2025·全国·模拟猜测）已知函数是定义在上的函数，是的导函数，若，且，则下列结论正确的是（

）A．函数在定义域上有微小值．B．函数在定义域上单调递增．C．函数的单调递减区间为．D．不等式的解集为．【答案】BC【解析】令，则，又得：，由得：，令得：，当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以，即，所以单调递增，所以B正确，A不正确；由且定义域为得：，令，解得，即的单调递减区间为，故C正确．的解集等价于的解集，设，则，当时，，此时，即在上递减，所以，即在上成立，故D错误．故选：BC【变式5-2】（2025·山东潍坊·模拟猜测）设奇函数定义在上，其导函数为，且，当时，，则关于的不等式的解集为．【答案】【解析】依据题意构造函数，则由是奇函数，则,所以是偶函数，由时，，所以当，，当时，，故在单调递增，在单调递减，又，所以,所以当时，转化为,所以，当时，转化为，所以，故答案为：1．（2025·贵州贵阳·一模）已知函数，若方程存在三个不相等的实根，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由于方程存在三个不相等的实根，所以函数有三个零点，当时，，所以，所以当时，；当时，，所以在上单调递减，在单调递增，，又当时，；当时，，所以图象如图；当时，，所以，所以当时，；当时，，所以在上单调递减，在单调递增，，又当时，；当时，，所以图象如图，所以当即时函数有三个零点，即方程存在三个不相等的实根，故选：C.2．若函数有唯一极值点，则下列关系式肯定成立的是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】，令，，若，则或，此时单调，不存在极值点，故不符合题意，若，则方程有两个实数根，由于有唯一极值点，故只能有一个正实数根，若另一个实数根为0，此时，明显满足条件，若令一个实数根为负根，则，故，结合选项可知，肯定成立，故选：C3．若方程在上有两个不同的根，则a的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】，，令，，即与，有两个不同的交点，则，，令，即，解得，令，即，解得，故在上单调递增，在上单调递减，故在处取得极大值，也是最大值，，且当时，，当时，，当时，趋向于0，故,故选：A4．已知函数，，若函数恰有6个零点，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】当时，，，令，得，当时，，单调递增，当时，，单调递减，又，，当趋近于时，趋近于0，结合对数函数的图象及确定值的意义可作出函数的图象如图所示．令，则，数形结合可知要使有6个零点，则有两个不相等的实数根、，不妨令，有如下两种状况：若，但，故排解此种状况，若，对于二次函数开口向上，又，则，得，综上，实数的取值范围是．故选：A5．设函数，则函数的零点的个数为（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C【解析】由，可得令可得，即，在坐标系中分别作出函数和的图象，如图：由于，，，所以在上两函数的图象有两个交点；同理，，所以在上两函数的图象有两个交点；，所以在上两函数的图象没有交点；当时，恒有，所以两函数的图象无交点，所以由图象可知两个函数的交点个数为6个，零点个数为6个，故选：C6．已知函数，若存在实数满足，则错误的是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】，故的图象如图所示，考虑直线与图象的交点，则，且，，故BD正确.由可得即，整理得到，故C正确.又，由可得，但，故，故，故A错误.故选：A.7．若函数，则函数零点的个数为（

）A．1 B．2 C．1或2 D．1或3【答案】A【解析】，令，则，则函数零点的个数即为函数图象交点的个数，令，当时，，则，所以函数在上单调递增，且，当时，，当时，，则，所以函数在上单调递增，且，又当时，当时，，作出函数的大致图象如图所示，由图可知函数的图象有且仅有一个交点，所以函数零点的个数为个.故选：A.8．函数零点的个数为（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【解析】令，可得，则函数零点的个数为与的交点个数，明显与均关于对称，又当时，，当时，，再结合两个函数的图象，可得与有5个交点，故函数零点的个数为5，故C正确.故选：C9．已知定义在上的函数满足，且，则（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由变形得，从而有，，所以，由于，所以，则，则，故当时，，当时，，所以在上单调递增，在单调递减，所以，，又，而，所以，所以.故选：D.10．已知函数，若函数有4个零点，则的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】作出的图象，如图所示令，可得，由题意可知：函数的零点个数即为与的交点个数，若，则，可得，设切点坐标为，切线斜率为，则切线方程为，代入点，可得，解得，此时切线斜率为；若，则，可得，设切点坐标为，切线斜率为，则切线方程为，代入点，可得，解得，此时切线斜率为；结合图象可知的取值范围为.故选：D.11．若不等式在上恒成立，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】当时，可化为，令，则，所以在上单调递减．令，则，所以在上单调递增，所以，因此当时，．所以，即．则不等式可化为，所以在上恒成立，因此，即实数的取值范围为．故选：A．12．已知函数是定义在的奇函数，当时，，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】令，当时，，当时，，在上单调递减；又为的奇函数，，即为偶函数，在上单调递增；又由不等式得，当，即时，不等式可化为，即，由在上单调递减得，解得，故；当，即时，不等式可化为，即，由在上单调递增得，解得，故；综上所述，不等式的解集为：．故选：D．13．已知函数及其导函数的定义域均为，且恒成立，，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由，有，令，则，所以在区间上单调递增．又，得，所以，所以，解得．故选：A14．已知函数的导数为，对任意实数，都有，且，则的解集为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由，可得，令，结合，则，所以在R上递减，故，则原不等式解集为.故选：A15．对任意，若不等式恒成立，则a的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由，得，即，所以.令，设，则当时单调递减，当时，单调递增，故当，故故，则，即.记，则，当单调递增，当单调递减，所以，故由，得，即，当时，上式取等号，所以.综上，的取值范围为故选：D.16．已知函数，若对，都有，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】函数，，，令，明显函数在上单调递增，而不等式为，因此，，令函数，求导得，当时，，递增，当时，，递减，因此，于是，解得，所以实数的取值范围是.故选：B17．已知不等式在上恒成立，则实数a的最小值为（

）A．1 B． C． D．【答案】C【解析】由于，可得，构造函数，则，且，当时，，此时函数单调递减，当时，，此时函数单调递增，由于求的最小值，只需考虑的情形，由于，则，，所以，，可得，则，令，其中，则，所以，函数在上单调递减，故，所以，，即，解得.因此，实数的最小值为.故选：C.18．（多选题）已知函数为定义在上的奇函数，若当时，，且，则（

）A． B．当时，C． D．不等式解集为【答案】ACD【解析】构造函数，其中，由于函数为定义在上的奇函数，则，所以，故函数为偶函数，当时，，所以函数在上单调递减，在上单调递增，由于，则，则.由于，所以，即，，故A正确；不妨取，则，，B错误；由于偶函数在上单调递增，则，即，整理可得，C正确；当时，由可得，解得，当时，由可得，解得.综上所述，不等式解集为，D正确.故选：ACD.19．（多选题）设函数，则（

）A．0 B．C． D．【答案】BD【解析】由，的对称性可知，,故D正确.而，故，等号当时取得，因此所求最小值为．故选：BD20．（多选题）定义在上的函数的图像如图所示，则（

）A．函数恰有4个零点B．函数恰有3个零点C．函数恰有5个零点D．函数恰有8个零点【答案】ACD【解析】对A：由于，所以直线与的图像恰有4个公共点，则函数恰有4个零点，A正确.对B：由于，所以直线与的图像只有2个公共点，则函数恰有2个零点，B错误.对C：由图像可知有3个零点，则，，，数形结合可知无解，有2个不相等的实根，所以函数零点的个数为，C正确.对D：由图可知直线与的图像有4个交点，设交点的横坐标为，则，，，，数形结合可知无解，有2个不相等的实根，有2个不相等的实根，有4个不相等的实根，所以函数零点的个数为，D正确.故选：ACD21．已知定义在上的函数满足为的导函数，当时，，则不等式的解集为.【答案】【解析】令，所以，由于，所以，化简得，所以在上是偶函数，由于，由于当，，所以，在区间上单调递增，又由于为偶函数，全部在上单调递减，由，得，又由于，所以，