专题02 函数概念与基本初等函数（新定义高数观点选填压轴题）（教师版）

专题02函数概念与基本初等函数（新定义，高数观点，选填压轴题）名目TOC\o"1-1"\h\u一、函数及其表示 1二、函数的基本性质 4三、分段函数 10四、函数的图象 14五、二次函数 18六、指对幂函数 20七、函数与方程 24八、新定义题 29一、函数及其表示1．（2025·江西·校联考模拟猜测）已知函数，，若对任意的，存在，使，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】函数，当时，，则，则，函数在的值域记为，对任意的，存在，使，则，①当时，，则，则；②当时，由于，则，则，所以，，解得；③当时，由于，则，即，所以，，解得.综上所述，实数的取值范围是.故选：B.2．（2025春·甘肃白银·高二校考期末）已知函数的定义域为则的定义域为【答案】【详解】由已知，的定义域为，所以对于需满足,解得故答案为：.3．（2025春·内蒙古巴彦淖尔·高二校考期末）已知函数定义域为，则函数的定义域为.【答案】【详解】由于函数定义域为，由得定义域为则函数的定义域满足，解得定义域为.故答案为：.4．（2025·全国·高一专题练习）已知函数的值域为，则常数．【答案】7或【详解】由于，所以，，即，由于函数的值域为，所以是方程的两个根，所以，，解得或，所以7或.故答案为：7或.5．（2025·全国·高三专题练习）求函数的值域.【答案】【详解】由，可令原函数可整理为：由于，所以，则，当；当，所以函数的值域为.6．（2025·全国·高三专题练习）当时，求函数的最小值.【答案】【详解】由于，所以，，当且仅当，即时，等号成立，所以函数的最小值为.7．（2025·高一课时练习）若函数满足方程且，则：（1）；（2）．【答案】【详解】令可得：，所以；由①得，②，联立①②可得：.故答案为：①；②.8．（2025·全国·高三专题练习）若满足关系式，则，若，则实数m的取值范围是．【答案】；或．【详解】解：∵满足关系式，∴，①+②×2，得，∴，∴.，即解得或，所以m的取值范围是或．故答案为：；或．二、函数的基本性质1．（2025春·辽宁铁岭·高二昌图县第一高级中学校考期末）已知函数，则不等式的解集是（

）．A． B．C． D．【答案】B【详解】设，由于，可得是R上的奇函数，且在R上单调递增，则在R上单调递增，又由于，则，即，所以，则，解得，所以不等式的解集是.故选：B.2．（2025春·甘肃白银·高二校考期末）已知定义在上的函数在单调递增，且是偶函数，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】∵为偶函数，∴，即函数关于对称，又函数在上单调递增，∴函数在上单调递减，由，可得，整理得，解得或，即不等式的解集为.故选：B.3．（2025秋·重庆九龙坡·高一重庆市杨家坪中学校考期末）若定义在的奇函数在单调递减，且，则满足的的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】由于定义在上的奇函数在上单调递减，且，所以在上也是单调递减，且，所以当时，，当时，，所以由可得：或或,解得或，所以满足的的取值范围是，故选：B.4．（2025·全国·高三专题练习）函数的单调递增区间为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】的定义域满足设，易知：单调递减，在单调递增，在上单调递减.依据复合函数的单调性得到：在上单调递增故选：5．（2025春·河北唐山·高二校联考期末）已知函数，，若，，使得，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】由得，，当时，，∴在单调递减，∴是函数的最小值，当时，为增函数，∴是函数的最小值，又∵，都，使得，可得在的最小值不小于在的最小值，即，解得，故选：A．6．（2025春·广西北海·高二统考期末）设函数的定义域为，满足，且当时，.若对任意，都有成立，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】由于当时，，当时，对任意，因此不行能；当时，，同理当时，，以此类推，当时，必有.当时，令，则或，由于当恒成立，所以故选：B7．（2025·云南·云南师大附中校考模拟猜测）已知函数，的定义域均为，，是偶函数，且，，则（

）A．关于直线对称 B．关于点中心对称C． D．【答案】C【详解】对于A，是偶函数，，又，，是偶函数，∴关于直线对称，所以A错误，对于B，关于点中心对称，所以B错误，对于CD，又，即4是的一个周期；令，可得，又，，，所以C正确，D错误，故选：C.8．（2025春·新疆·高二统考期末）若奇函数的定义域为，且时，，则时，（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】设，则，则，由于函数为奇函数，所以，即时.故选：D9．（2025·云南昭通·校联考模拟猜测）已知函数是定义域为上的奇函数，满足，若，则（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【详解】由于函数是定义域为上的奇函数，则，即，由，得，因此，即，则，于是函数是以4为周期的周期函数，由，得，由，得，，从而，所以.故选：A10．（2025春·安徽黄山·高二统考期末）已知函数是定义在上的偶函数，且，则（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】由题意关于对称，即，且，所以，即，又，所以，即，所以，故的周期为4，则.故选：B11．（多选）（2025秋·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知函数的定义域为，且，，，则（

）A． B．是偶函数C．的一个周期 D．【答案】AC【详解】对于A，由，得，由，得，又，所以，所以，因此A选项正确；对于B，由于，所以函数为奇函数，因此B选项错误；对于C，由于，所以，即，所以，所以函数的周期，因此C选项正确；对于D，将代入，得，，而，将代入，得，将代入，得，所以因此D选项错误.故选：AC.12．（2025春·河北保定·高二校联考期末）定义在上的奇函数满足，当时，，则（

）A．是奇函数 B．的最小正周期为4C．的图象关于点对称 D．【答案】AC【详解】由为上的奇函数，且，得，即有，因此，即的周期为8，对于A，明显，函数是奇函数，A正确；对于B，当时，，则，，明显4不是的周期，B错误；对于C，由选项A知，，因此的图象关于点对称，C错误；对于D，，D错误.故选：AC13．（2025春·辽宁沈阳·高二校考期末）已知定义在上的函数满足，且关于对称，当时，.若，则.【答案】【详解】由于函数关于对称，则，即，所以，，即函数为上的偶函数，又由于，则，即，所以，。则，所以，函数是周期为的周期函数，又由于当时，，则，①在等式中，令可得，即，②联立①②可得，，故当时，，所以，.故答案为：.三、分段函数1．（2025·宁夏银川·银川一中校考模拟猜测）设函数，则（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】A【详解】∵，∴.故选：A．2．（2025春·宁夏银川·高二银川一中校考期末）已知函数是上的增函数，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】由于函数为上的增函数，所以，解得，所以的取值范围是.故选：A.3．（2025春·吉林长春·高一校考开学考试）已知函数满足对任意实数，都有成立，则a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】由于函数满足对任意实数，都有成立，所以函数在R上递减，所以，解得：故选：D.4．（2025春·吉林长春·高二长春外国语学校校考期末）已知定义在R上的奇函数满足，当时，，则（

）A．2 B． C．－2 D．－【答案】A【详解】依题意，，，函数的周期为6，故，在R上的奇函数,，又，则．故选：A．5．（2025春·江苏苏州·高一校联考期末）已知函数，则下列说法错误的是（

）A．是单调递增函数 B．C． D．【答案】C【详解】对于A，函数为连续函数，且当时斜率为正，当时斜率为正，A正确；对于B，，即，则当时，，当时，，所以，即，则，故B正确；对于C，,故C错误；对于D，所以，故D正确.故选：C6．（2025·河南·襄城高中校联考三模）已知函数的最大值为0，则实数a的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】若，即当时，∴的最大值为0，满足题意；若，当时，，不满足题意；若，当时，当时，当时等号成立，满足题意；若，当时，，当时，，当时等号成立，满足题意；若，当时，，当时，，不满足题意；所以；故选：A.7．（2025春·辽宁·高二校联考阶段练习）已知函数若，则（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】D【详解】当时，的值域为，当时，的值域为；当时，的值域为.要使，则，所以，解得.故选：D.8．（2025春·山西太原·高二太原五中校考阶段练习）已知函数，若，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】函数在上为减函数，函数的图像开口向下，对称轴为，所以函数在区间上为减函数，且.所以函数在上为减函数.由得.解得.故选:A.四、函数的图象1．（2025春·云南保山·高二校联考期末）函数的图象可能是（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】由于定义域为，对于AB，，所以为奇函数，函数图象关于原点对称，故都不正确；对于C，时，，所以，所以，故C不正确；对于D，符合函数图象关于原点对称，也符合时，，故D正确.故选：D.2．（2025春·广东韶关·高二统考期末）部分图象大致是（

）A． B．

C．

D．【答案】C【详解】函数的定义域为，定义域关于原点对称，又，可化为所以，故为偶函数，图形关于y轴对称，排解B，D选项；令可得，或，由，解得，，由，解得，所以函数最小的正零点为，当时，，，，排解A，故选：C.3．（2025春·云南楚雄·高二统考期末）函数的部分图象大致为（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】由于的定义域为，关于原点对称，且，所以是偶函数，排解C，D；当时，，排解A，故选：B.4．（2025春·湖北武汉·高一华中师大一附中校考期末）下列四个函数中的某个函数在区间上的大致图象如图所示，则该函数是（

）

A． B． C． D．【答案】B【详解】当时，，.排解A；由偶函数定义可得为偶函数，由题给图象可知函数是奇函数，排解C；当时，.排解D；为奇函数，且当时，，当时，.B均符合题给特征.故选：B.5．（2025春·河北沧州·高二统考期中）函数的图象大致为（

）A．

B．

C．

D．

【答案】C【详解】由于，当时，，所以，所以，，所以所以，即在上恒成立，故B、D项错误；，由可得，，.由可得，，所以在上单调递减；由可得，，所以在上单调递增.所以，在处取得唯一极大值，也是最大值，故A、B错误.故选：C.6．（2025·内蒙古赤峰·统考二模）函数在上的图象大致为（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】，，则则为偶函数，其图像关于y轴对称，排解AB；又时，排解C,故选：D五、二次函数1．（2025秋·陕西咸阳·高一统考期末）已知函数与的图象上不存在关于轴对称的点，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】函数与的图象上不存在关于轴对称的点，直线关于轴对称的直线方程为，则方程在上无解，即在上无解，又函数在上单调递增，在上单调递减，又时，，时，，时，，所以的值域为故实数的取值范围是.故选：D.2．（2025·全国·高三专题练习）已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是．【答案】.【详解】当时，在区间上单调递减，符合题意；当时，函数图象的对称轴为直线，由于f（x）在区间上单调递减，所以，得，所以；当时，函数在区间上单调递减，符合题意．综上，实数的取值范围为.故答案为：3．（2025春·山西运城·高二康杰中学校考阶段练习）已知函数在区间上的最小值为1，则实数的值为.【答案】【详解】函数图象的对称轴为，当，即时，，解得；当，即时，，解得（舍去）或（舍去），综上：.故答案为：4．（2025·江苏·高一假期作业）假如函数定义在区间上，求的值域．【答案】答案见解析【详解】函数，其对称轴方程为x＝1，顶点坐标为，图象开口向上．如图所示，

若顶点横坐标在区间[t，t＋1]左侧时，有，此时，当时，函数值最小，，当时，函数值最大，.∴函数的值域为.如图所示，

若顶点横坐标在区间上时，有，即.当时，函数的最小值为，当时，最大值为，∴函数的值域为；当时，最大值为，所以在上的值域为.如图所示，

若顶点横坐标在区间右侧时，有，即.当，函数的最小值为，最大值为，所以函数的值域为.综上，当时，函数的值域为.当时，函数的值域为；当时，函数的值域为；当时，函数的值域为.六、指对幂函数1．（多选）（2025春·广西南宁·高二宾阳中学校联考期末）已知，则实数，满足（

）A． B．C． D．【答案】AD【详解】对于A，由于，所以，由于，所以，所以，所以A正确；对于C，由，得，所以，所以C错误；对于D，由于，所以，得，所以D正确；对于B，由于，所以，所以B错误.故选：AD2．（多选）（2025春·福建福州·高二福州三中校考期末）已知函数，设（，2，3）为实数，，且，则（

）A．函数的图象关于点对称B．不等式的解集为C．D．【答案】ABD【详解】对A，，函数的图象关于点对称，故A正确；对B，在上单调递增，且，则化为，则，解得，故不等式的解集为，故B正确；对CD，，则可得，且关于点对称，在上单调递增，可得函数图象如下：均在直线上方，其中直线的方程为，则可得，，所以，，，即，故C错误，D正确.故选：ABD.3．（2025春·浙江绍兴·高二统考期末）已知定义在上的函数满足:为奇函数，为偶函数，当时，，则等于（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】定义在上的函数满足：为奇函数，为偶函数，可得，，则，故，可得的最小正周期为4，由于，则，当时，，所以，则,故选:A4．（2025·河南·校联考模拟猜测）已知幂函数的图象过，，（）是函数图象上的任意不同两点，则下列结论中正确的是（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】设幂函数，图象过，则，即，所以且，为增函数，，故有.为增函数，，故有.所以A、B、C错，D对.故选：D5．（2025·吉林白山·统考二模）函数的定义域为R，则实数a的取值范围是（

）．A． B． C． D．【答案】A【详解】当时，，符合题意；当时，由，得．综上所述，．故选：A6．（2025·贵州黔东南·凯里一中校考模拟猜测）已知函数，且，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】函数，则，即，解得，所以的定义域为，且，所以为奇函数，又函数在上单调递减，所以在上单调递减，则在上单调递减，所以不等式，即，等价于，解得，即实数的取值范围是.故选：D七、函数与方程1．（2025·贵州毕节·校考模拟猜测）若函数有唯一零点，则实数（

）A．2 B． C．4 D．1【答案】A【详解】由，得，即函数的图象关于对称，要使函数有唯一的零点，则，即，得．故选：A．2．（2025春·福建福州·高二校考期末）已知函数，则方程的解的个数是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】由可得，则方程的解的个数等于函数的函数图象交点的个数，作出函数的函数图象如下图所示：

由图可知，函数的函数图象有且只有一个交点，即方程的解的个数为.故选：B.3．（2025春·江西南昌·高二南昌二中校考期末）已知函数，若有四个不同的解且，则可能的取值为（）A． B． C． D．【答案】BC【详解】当时，，当时，，当时，，作出函数的图象如下，

则由图象可知，的图象与有4个交点，分别为，由于有四个不同的解且，所以，且，且，，又由于所以即，所以，所以，且，构造函数，由于函数在上都是减函数，所以函数在上单调递减，所以，即，所以.故选：BC.4．（2025春·江苏盐城·高一江苏省响水中学校考期末）已知函数，若函数有五个零点，则实数的取值范围是.【答案】【详解】当时，则，此时，则或，当时，则，此时，则，故问题转为，共有四个零点，画出函数图像如下可知：则，故答案为：5．（2025春·广东广州·高一校考期中）已知函数，若关于x的方程有四个不同的实数根，则实数a的取值范围是．【答案】【详解】设，该直线恒过点，方程有四个不同的实数根，如图作出函数的图象，结合函数图象，则，所以直线与曲线有两个不同的公共点，所以在有两个不等实根，令，实数a满足，解得．

故答案为：6．（2025春·辽宁大连·高二统考期末）已知函数，若存在区间，当时，的值域为，且，其中表示不超过的最大整数，则的取值范围为．【答案】【详解】由题意可知，有两个实数根，即，设，即与有2个交点，并且满足，，，当，，函数单调递增，当，，函数单调递减，并且，当时，，如图，画出函数的图象，

由于，当时，，则，不满足，当，，则，不满足，当，此时，满足，，，所以.故答案为：7．（2025春·河北唐山·高二校联考期末）已知定义在上的函数，满足，当时，，若方程在区间内有实数解，则实数的取值范围为.【答案】【详解】当时，则，所以，即，当时，则，所以，即，则，当时，则，所以，即，画出的图象如下：

由图象可知，当时，方程在区间内有实数解，所以实数的取值范围为.故答案为：八、新定义题1．（2025春·广东·高一统考期末）岭南古邑的番禺不仅拥有深厚的历史文化底蕴，还聚焦生态的进展．下图是番禺区某风景美丽 的公园地图，其外形如一颗爱心．图是由此抽象出来的一个“心形”图形，这个图形可看作由两个函数的图象构成，则“心形”在轴上方的图象对应的函数解析式可能为（

）

A． B．C． D．【答案】C【详解】对于A，（当且仅当，即时取等号），在上的最大值为，与图象不符，A错误；对于B，当时，，与图象不符，B错误；对于C，，当时，；又过点；由得：，解得：，即函数定义域为；又，为定义在上的偶函数，图象关于轴对称；当时，，则函数在上单调递增，在上单调递减；综上所述：与图象相符，C正确；对于D，由得：，不存在部分的图象，D错误.故选：C.2．（2025·全国·高一专题练习）在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个格外重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并构成一般不动点定理的基石.布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹•布劳威尔（L.E.J.Brouwer），简洁的讲就是对于满足肯定条件的图象不间断的函数f(x)，存在一个点x0，使得f(x0)=x0，那么我们称该函数为“不动点“函数.下列为“不动点”函数的是（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】依据题意，即存在使得有解，则函数为“不动点”函数，对A，令，可得，该方程无解，所以不是“不动点”函数，A错误.对B，令，即，由可得该方程无解，所以不是“不动点”函数，B错误.对C，令，即，明显无解，所以不是“不动点”函数，C错误.对D，令，可得，所以为“不动点”函数，D正确.故选：D.3．（2025春·云南红河·高一统考期末）2025年2月27日，学堂梁子遗址入围2025年度全国十大考古新发觉终评项目．该遗址先后发觉石制品300多件，已知石制品化石样本中碳14质量N随时间t（单位：年）的衰变规律满足（表示碳14原有的质量）．经过测定，学堂梁子遗址中某件石制品化石样本中的碳14质量约是原来的倍，据此推想该石制品生产的时间距今约（

）．（参考数据：，）A．8037年 B．8138年 C．8237年 D．8337年【答案】B【详解】由题意，，即，∴，∴，故选：B.4．（2025春·江苏南京·高一校考期中）冈珀茨模型是由冈珀茨提出，可作为动物种群数量变化的模型，并用于描述种群的消亡规律.已知某珍稀物种年后的种群数量近似满足冈珀茨模型：（当时，表示2020年初的种群数量），请猜测从哪一年年初开头，该物种的种群数量将不足2025年初种群数量的一半（

）A．2031 B．2020 C．2029 D．2028【答案】D【详解】，当时，，当时，，年后，该物种的种群数量将不足2020年初种群数量的一半，，由题可知，是大于0的常数，即，两边取对数可得，，，，两边取对数可得，，解得，，故的最小值为6.故选：D.5．（多选）（2025春·广东广州·高一广东试验中学校考阶段练习）高斯是德国