河北省唐山市2025-2026学年度高二年级第一学期期末考试数学试题（原卷版+解析版）

2025-2026学年度高二年级第一学期期末考试数学本试卷共4页，19小题，满分150分，考试时长120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.在数列中，，则（）A. B. C. D.2.已知直线的方程为，则的倾斜角为（）A. B.60° C.120° D.150°3.三棱锥的所有棱长都为分别是的中点，则（）A.-1 B.1 C.-2 D.24.椭圆的左、右焦点分别为，经过的直线交椭圆于两点，若的周长为，则该椭圆的离心率为（）A. B. C. D.5.在正方体中，为棱中点，，则（）A. B. C. D.6.已知圆经过、两点，圆心在直线上，则圆方程为（）A. B.C. D.7.过圆：上的动点作圆的两条切线，切点分别为，则四边形周长的最大值为（）A.8 B.16 C. D.8.经过抛物线焦点直线与抛物线交于两点，若，则（）A.3 B.4 C.5 D.6二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知等差数列的公差为，前项和为，则（）A. B. C. D.10.已知点，动点满足，设动点的轨迹为，下列说法正确的是（）A.的方程为B.上存在点在直线上C.上存在点到点的距离为8D.与圆的公共弦所在的直线方程为11.在正三棱柱中，，则（）A.直线与所成角的正切值为B.直线与平面所成角的余弦值为C.若为直线上一动点，则的最小值为D.三棱锥的外接球的表面积为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知是平面的一个法向量，直线的一个方向向量为，且，则___________．13.已知斜率为1的直线与抛物线交于两点，为坐标原点，，则线段的中点坐标为___________．14.已知双曲线的右焦点为，实轴长为4，渐近线方程为，动点在双曲线左支上，为圆上一点，则的最小值为___________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知等差数列的首项，且．（1）求数列的通项公式；（2）令，求数列的前项和．16.已知圆，直线．（1）求的圆心坐标与半径；（2）求直线被圆截得的弦的长度；（3）过点作圆的切线，求切线所在直线的方程．17.记数列的前项和为，已知，数列满足：．（1）求的通项公式；（2）求证：数列为等差数列，并求的通项公式．18.如图，和所在平面垂直，且．（1）当时，求的值；（2）当时，求点到平面距离；（3）求平面和平面夹角的余弦值．19.已知椭圆经过点，离心率为，直线的方程为．（1）求的方程；（2）过的左焦点的直线与交于两点．（i）求（为坐标原点）面积的最大值；（ii）为上的动点，记直线的斜率之和为，求．2025-2026学年度高二年级第一学期期末考试数学本试卷共4页，19小题，满分150分，考试时长120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.在数列中，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据数列递推公式，先由首项求出，再由求出.【详解】已知，根据递推公式（），当时，；当时，.故选：C.2.已知直线的方程为，则的倾斜角为（）A. B.60° C.120° D.150°【答案】D【解析】【分析】先由方程求出直线的斜率，再求出直线倾斜角即可.【详解】直线的方程为，，故直线的斜率为，设直线的倾斜角为，则，又，即.故选：D.3.三棱锥的所有棱长都为分别是的中点，则（）A.-1 B.1 C.-2 D.2【答案】A【解析】【分析】三棱锥中，由题意可得任意两条棱的夹角为60°，又分别是的中点，再根据数量积的定义求解．【详解】分别是的中点，且，即，又三棱锥的所有棱长都为，任意两条棱的夹角为60°，，故选：A.4.椭圆的左、右焦点分别为，经过的直线交椭圆于两点，若的周长为，则该椭圆的离心率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据椭圆的定义求出，即可求出，从而求出离心率.【详解】由题意及椭圆的定义可知，即，又，，则离心率为.故选：D.5.在正方体中，为棱的中点，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】用、、表示向量、、，利用空间向量基本定理可得出关于、、的方程组，解出这三个未知数的值，即可得出的值.【详解】如下图所示：因为为的中点，所以，又因为，，且，即，显然、、不共面，所以，解得，故.故选：C.6.已知圆经过、两点，圆心在直线上，则圆的方程为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】设圆心，根据结合平面内两点间的距离公式可得出关于的等式，解出的值，可得出圆心的坐标，进而可求出圆的半径，即可得出圆的方程.【详解】根据题意设圆心，因为圆经过、两点，则，所以，解得，故圆心为，圆的半径为，故圆的方程为.故选：C.7.过圆：上的动点作圆的两条切线，切点分别为，则四边形周长的最大值为（）A.8 B.16 C. D.【答案】B【解析】【分析】由勾股定理表示出切线长以及所求周长，根据几何关系可得当共线且按此顺序排列时取得最大值，计算求解即可.【详解】由题意，，四边形周长为，当共线且按此顺序排列时，，则四边形周长最大值为16，故选：B.8.经过抛物线焦点的直线与抛物线交于两点，若，则（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】B【解析】【分析】首先根据焦半径公式并结合条件，得到点的横坐标，即可求得弦长.【详解】由题意得，抛物线的焦点坐标为，准线方程为，设，，，根据抛物线的定义可知①，又，，即②，由①②可得，.故选：B.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知等差数列的公差为，前项和为，则（）A. B. C. D.【答案】ACD【解析】【分析】根据条件列方程组求出首项和公差，再结合等差数列的通项公式和求和公式逐一求解.【详解】由可得，，故A正确；，故B错误；，故C正确；因为，所以，故D正确.故选：ACD10.已知点，动点满足，设动点轨迹为，下列说法正确的是（）A.的方程为B.上存在点在直线上C.上存在点到点的距离为8D.与圆的公共弦所在的直线方程为【答案】AD【解析】【分析】对A，设，由坐标化化简得解；对B，求出圆心到直线的距离与半径比较得解；对C，求出圆心到点的距离分析判断；对D，将两圆方程相减得解.【详解】对于A，设，由，则，化简得，所以点的轨迹的方程为，故A正确；对于B，由的方程为，圆心到直线的距离，所以直线和圆相离，即上不存在点在直线上，故B错误；对于C，设圆的圆心为，半径，则圆心到点的距离为，所以圆上点到点的距离满足，即，故上不存在点到点的距离为8，故C错误；对于D，由，得，所以与圆的公共弦所在的直线方程为，故D正确.故选：AD.11.在正三棱柱中，，则（）A.直线与所成角的正切值为B.直线与平面所成角的余弦值为C.若为直线上一动点，则最小值为D.三棱锥的外接球的表面积为【答案】ACD【解析】【分析】对于A，可通过平移直线找到角，再利用三角函数求解；对于B，可通过建立空间直角坐标系，利用向量法求解；对于C，可通过向量法求解；对于D，可通过确定球心位置，利用勾股定理求出半径，进而求出表面积.【详解】选项A，如图取中点，连接，因为是正三角形，所以，又正三棱柱中平面平面，平面平面，平面，所以平面，因为，所以就是直线与所成的角，在正中，，则，，，，，取中点，连接，则，，，所以选项A正确；选项B，如图以为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，则，，设平面的法向量为，则，令，则，所以，设直线与平面所成角为，则，，所以选项B错误；选项C，，设，则，，当时，取得最小值，所以选项C正确；选项D，设的外接圆半径为，由正弦定理，得，设三棱锥的外接球半径为，球心为到平面的距离为，则，所以外接球的表面积，所以选项D正确.故选：ACD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知是平面的一个法向量，直线的一个方向向量为，且，则___________．【答案】2【解析】【分析】根据平面法向量性质，结合空间向量平行的性质的坐标运算进行求解即可.【详解】，直线的一个方向向量与平面的一个法向量垂直，，解得.故答案为：.13.已知斜率为1的直线与抛物线交于两点，为坐标原点，，则线段的中点坐标为___________．【答案】【解析】【分析】设直线方程，联立直线和抛物线方程，利用韦达定理、向量垂直的条件求出直线方程，进而求出线段的中点坐标.【详解】斜率为1的直线，设直线的方程为，，联立，即，，又，，，则，又，，即，解得或，当时，直线过原点，则点不能构成三角形，故，，设线段的中点坐标为，则，则线段的中点坐标为.故答案为：.14.已知双曲线的右焦点为，实轴长为4，渐近线方程为，动点在双曲线左支上，为圆上一点，则的最小值为___________．【答案】6【解析】【分析】利用已知条件先求出双曲线方程，再利用双曲线定义把转化到，然后再利用到圆上的动点距离转化到圆心的距离，最后易得距离之和的最小值.【详解】双曲线的实轴长为4，得，即，由渐近线方程为，得，即，双曲线方程为，，双曲线的右焦点为，左焦点为，由双曲线的定义得，为圆上一点，圆心，半径，，即，而，的最小值为.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知等差数列的首项，且．（1）求数列的通项公式；（2）令，求数列的前项和．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据等差数列的下标性质和等差数列的通项公式进行求解即可；（2）运用裂项相消法进行求解即可.【小问1详解】因为数列等差数列，所以由，又因为，所以公差，所以.【小问2详解】由（1）得所以.16.已知圆，直线．（1）求的圆心坐标与半径；（2）求直线被圆截得的弦的长度；（3）过点作圆的切线，求切线所在直线的方程．【答案】（1）圆心坐标为，半径为4.（2）（3）或【解析】【分析】（1）通过配方法将圆的一般方程转化为标准方程，进而得到圆心坐标和半径；（2）先求出圆心到直线的距离，再利用勾股定理即可求出弦长；（3）分切线斜率存在和不存在两种情况进行讨论，当斜率存在时，利用圆心到切线的距离等于半径求出斜率，进而得到切线方程.【小问1详解】圆，所以的圆心坐标为，半径为.【小问2详解】圆心到直线的距离，所以.【小问3详解】，故点在圆外，当切线的斜率不存在时，过点的方程为，此时的圆心坐标为到直线的距离为，故直线不是圆的切线；当切线的斜率存在．设切线所在直线的方程为，即，则圆心到直线的距离，整理得，解得或，所以切线所在直线的方程为或.17.记数列的前项和为，已知，数列满足：．（1）求的通项公式；（2）求证：数列为等差数列，并求的通项公式．【答案】（1）（2）证明见解析，【解析】【分析】（1）利用的关系即可求出；（2）利用等差数列的定义即可证明数列为等差数列，进而求出的通项公式.【小问1详解】当时，，当时，，当时，成立，综上，.【小问2详解】因为，等式两边同时除以，可得，又，，所以数列是以为首项，为公差的等差数列，，即.故的通项公式为.18.如图，和所在的平面垂直，且．（1）当时，求的值；（2）当时，求点到平面的距离；（3）求平面和平面夹角的余弦值．【答案】（1）（2）（3）.【解析】【分析】（1）利用面面垂直性质定理证明线面垂直，建立空间直角坐标系，求直线和直线的方向向量，利用向量方法证明结论.（2）求出平面的法向量，利用点到平面距离公式求解即可.（3）分别求出平面和平面的法向量，然后利用平面夹角公式求解即可.【小问1详解】如图，在平面内，过点作交于点；在平面内，过点作交于点．因为平面平面，平面平面，平面，所以平面.以为坐标原点，分别以所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，则，由可得，解得.【小问2详解】设平面的法向量为．当时，，则即取.所以点到平面的距离.【小问3详解】由(2)可知平面的一个法向量为，与的值无关.平面的一个法向量为.所以平面和平面的夹角的余弦值为.19.已知椭圆经过点，离心率为，直线的方程为．（1）求的方程；（2）过的