圆锥曲线压轴大题题型归纳（学生版）

圆锥曲线压轴大题题型归纳

内容导航

热点内容解读..........................................................................................................................................2

热点题型突破..........................................................................................................................................3

题型一弦长、面积最值..................................................................................................................3

题型二面积比..................................................................................................................................6

题型三三点共线问题.....................................................................................................................9

题型四四点共圆............................................................................................................................11

题型五定点问题............................................................................................................................13

题型六点在定直线上....................................................................................................................15

题型七定值问题............................................................................................................................18

题型八斜率定值问题....................................................................................................................21

题型九定比点差法........................................................................................................................25

题型十双切线................................................................................................................................28

热点限时训练........................................................................................................................................31

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热点内容解读

近三年：

1、圆锥曲线解答题是近3年高考数学的压轴题或次压轴题，分值高，综合性强，难度大，是区分考生数学

能力和学科素养的关键题型。其考查内容稳定，核心围绕“几何条件代数化”与“代数运算结构化”展开。

2、从近几年高考命题来看，圆锥曲线大题的考查呈现出稳定的模型化特征：

题型结构稳定：通常以两问形式呈现。第一问多为求标准方程，考查定义与基本量计算；第二问为综

合论证与探究，考查直线与圆锥曲线的位置关系，涉及定点、定值、范围、最值、存在性等问题。

核心方法固定：“设线联立消元，韦达定理搭桥”是解决第二问的通用流程。解题的关键在于将题目中

的几何条件(如垂直、共线、角度、面积等)翻译成关于直线与曲线交点的坐标(或韦达定理结果)的代数

关系式。当然遇到特殊问题时，可以考虑用齐次式、定比点差法、非对称韦达等方法去解决问题。

运算能力至上：在明确的解题思路下，能否准确、高效地完成复杂的代数运算是取得高分的基础。运

算过程中涉及大量的多项式展开、合并、因式分解，以及巧妙的整体代换。

预测2026年：

圆锥曲线大题的命题将保持其稳定中有创新的特点，具体趋势如下：

1.模型内核不变，设问方式创新：“直线联立曲线”的核心模型不会改变，但设问角度将更加灵活。例

如，定点定值问题可能隐藏得更深，或与向量、平面几何定理更紧密地结合。

2.对几何转化能力要求更高：题目中给出的原始条件可能不是直接的垂直或共线，而是需要通过几何

性质(如角平分线、中位线、相似、圆的性质)进行一步或几步转化，才能得到可用的代数关系。“几何优

先”的分析策略将越发重要。

3.运算设计更具导向性：计算量依然会保持较大，但运算过程会设计得更具“结构性”，引导考生使用韦

达定理进行整体代换，或利用对称性简化运算。死算、硬算将难以完成。

4.与导数、函数知识的结合可能重现：在求解范围、最值问题时，可能会涉及构造函数并利用导数工具

进行分析，提升问题的综合深度。

5.探索性、开放性增强：如“是否存在常数λ使得某结论成立”或“请指出点的位置，并证明”等设问，考查

学生的探究与逆向思维能力。

2

热点题型突破

题型一弦长、面积最值

解|题|策|略

求弦长、面积最值这类问题的核心是：将几何量(弦长、面积)表示为某个变量的函数，然后通过代数方法

求该函数的最值。

一、设参建模

设直线：根据题意设出直线方程。如果直线过定点，使用点斜式y=k(x-x)+y最为常见。如果直线

与y轴平行，需单独考虑。00

设交点：设出直线与圆锥曲线两个交点的坐标A(x,y),B(x,y)。

二、联立方程1122

将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去x或y，得到一个关于x(或y)的一元二次方程。

三、表达目标量

1、弦长公式

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设M(x1，y1)，N(x2，y2)根据两点距离公式|MN|=(x1-x2)+(y1-y2)．

2

①设直线为y=kx+m上，代入化简，得|MN|=1+k|x1-x2|;

②设直线方程为=+，代入化简，得||=+2|-|

xtymMN、1ty1y2

2、三角形的面积

①SΔ=×底·高(通常选弦长做底，点到直线的距离为高)

②SΔ=×水平宽·铅锤高

③在平面直角坐标系xOy中，已知△OMN的顶点分别为O(0，0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，三角形的面

积为S=|x1y2-x2y1|．

四、求最值

目标量(弦长或面积)通常表示为一个关于参数(如斜率k)的函数f(k)。

定义域优先：在求最值前，必须确定参数的取值范围。

常用求最值方法：

配方法：适用于二次函数。

基本不等式法：适用于能化为a+b≥2ab或ab形式的结构，特别注意“一正二定三相等”。

导数法：当函数形式复杂(如分式、高次)时，这是最通用的方法。求导，找驻点，判断单调性。

1.(2025·全国一卷·高考真题)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为，下顶点为A，右顶点

为B，|AB|=10．

(1)求C的方程；

(2)已知动点P不在y轴上，点R在射线AP上，且满足|AP|⋅|AR|=3．

(i)设P(m,n)，求R的坐标(用m，n表示)；

(ⅱ)设O为坐标原点，Q是C上的动点，直线OR的斜率为直线OP的斜率的3倍，求|PQ|的最大值．

3

2.(2025·安徽安庆·模拟预测)已知椭圆Ca>b>0(的离心率为，过椭圆的焦点且与短

轴平行的弦长为1.

(1)求椭圆C的方程；

(2)设点M为椭圆上位于第一象限内一动点，A，B分别为椭圆的左顶点和下顶点，

(i)求点M到直线AB距离的最大值；

(ii)设直线MB与x轴交于点C，直线MA与y轴交于点D，求△MCD面积的最大值.

4

3.(2025·四川达州·模拟预测)过抛物线C:x2=2py(p>0(的焦点作平行于x轴的直线被抛物线C截得的

弦长为4，已知点P(0,-2(,Q(4,2(，设过点P的直线l与抛物线C交于点A,B，且直线QA交抛物线C

于点M(点M与点A不重合).

(1)求抛物线C的方程；

(2)设直线MB交以PQ为直径的圆于点D,E，求|DE|的最小值.

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题型二面积比

解|题|策|略

求面积比的核心在于将面积的比值转化为线段比、坐标比或直接面积表达式之比，然后利用韦达定理和

“设而不求”的思想进行整体代换，最终化为一个变量的函数来求解或证明定值、或求范围。

1.利用几何关系转化比值

共线或共点三角形：如果两个三角形有公共顶点或底边在同一直线上，它们的面积比往往等于对应底边

或高线的比值。这是最有效的简化方法。

平行线：题目中若存在平行线，必然产生相似三角形，要充分利用其带来的比例关系。

分解复杂图形：对于复杂的多边形面积比，可以将其分割成若干个三角形面积之和或差，然后分别计算这

些三角形的面积，再求比值。

2.“设而不求”的极致运用

不仅对交点坐标“设而不求”，对于比值中出现的复杂项，有时可以将其视为一个整体，在化简过程中可能

会被约去，从而避免繁琐的计算。

3.变量归一化

当问题中有多个变量时，要努力利用已知条件(如点共线、线垂直等)找到变量之间的关系，减少自由变

量的个数，最终将比值化为单变量函数或常数。

4.(2025·北京·高考真题)已知椭圆Ea>b>0(的离心率为，椭圆E上的点到两焦点的距

离之和为4.

(1)求椭圆E的方程；

(2)设O为坐标原点，点M(x0,y0((x0≠0(在椭圆E上，直线x0x+2y0y-4=0与直线y=2，y=-2分别

交于点A，B．设△OAM与△OBM的面积分别为S1,S2，比较的大小．

6

5.(2025·广东茂名·二模)已知双曲线Ca>0,b>0(的实轴长为23，离心率为.

(1)求双曲线C的标准方程：

(2)过点Q(1,0(的直线l与C的左、右两支分别交于A，B两点，点M(2,3(，直线BM与直线x=3交

于点N.

(i)证明：直线AN的斜率为定值；

(ii)记S1，S2分别为△QBM，△ABN的面积，求的取值范围.

7

22

6.(2025·上海浦东新·三模)已知曲线C:x-y=2，第一象限内点P在曲线C上.F1(-2,0)、F2(2,0)，连接

PF2并延长与曲线C交于Q点，以P为圆心，|PF2|为半径的圆与线段PF1交于点N，

记△PF2N，△PF1Q的面积分别为S1，S2.

(1)若λ=1，求点P的坐标；

(2)若点P的坐标为(x0,y0(，求证x；

(3)求的最小值.

8

题型三三点共线问题

解|题|策|略

在圆锥曲线大题中证明三点共线是一个经典问题。其核心思想是：将几何共线关系转化为代数关系式。利用

三点A(x,y),B(x,y),C(x,y)共线的充要条件：任意两点的斜率相等，或向量共线，或点C满足

直线的方程。

AB112233

一、斜率相等：从三点中任意选择两点构成两条直线，证明两直线斜率相等，注意斜率不存在的情况。

—→——→—→

二、向量共线：如果向量AB与向量AC(或BC)共线(即平行)，则A,B,C三点共线。

三、点在直线上：求出直线AB的方程，然后证明点C的坐标满足该方程。

7.(2025·宁夏·三模)已知抛物线C:x2=2py(p>0(的焦点F与椭圆y2=1的上顶点重合，点O为坐

标原点.

(1)求抛物线C的标准方程及其准线方程；

(2)过点F的直线l交抛物线C于P,Q两点，且|PQ|=8，求直线l的方程；

(3)设点M是抛物线C的准线上任意一点，直线MA,MB分别与抛物线C相切于点A,B，证明：A,B,F

三点共线.

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8.(2025·山东泰安·模拟预测)已知双曲线C的中心为坐标原点，过点(2,0)，其中一条渐近线的方程为y=

(1)求双曲线C的方程；

(2)设双曲线C的左、右顶点分别为A、B，过点(4,0)的直线l交双曲线C于M、N两点.直线BM与直

线x=1交于点G，证明：A、G、N三点共线.

9.(2025·辽宁·模拟预测)设椭圆方程为c，0(为其左右焦点，过椭圆上

点Q(c,yQ(的椭圆切线方程为2x+2y=4

(1)求出椭圆方程；

(2)设点C(-2,t((t≠0(,M，点B为椭圆右顶点，过M作椭圆的不与轴垂直的切线，切点为点

P，求证：C、P、B三点共线．

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题型四四点共圆

解|题|策|略

以四点共圆为背景的圆锥曲线大题是压轴题中的经典类型，最经典例题为2021年新高考I卷中的21题。

其核心在于“如何将几何的圆问题转化为可操作的代数条件”。

四点共圆中常用的几何性质有以下几点

一、对角互补

当四点在某种对称结构下，常可简化为两组对边的斜率互为相反数。则直接转化为直线的斜率关系，非常

适合与韦达定理结合。

二、相交弦定理(幂定理)

若四点共圆，两条弦AC，BD相交于P点，满足PA·PB=PC·PD。

对于四点共圆问题，要建立起强大的信心：它看似是“圆”的问题，但本质上是通过一些优美的几何定理(如

对角互补)，被转化成了一个纯粹的直线斜率关系问题，从而能够完美地融入我们熟悉的韦达定理和“设而

不求”的框架中予以解决。

10.(2025·广东·模拟预测)已知抛物线Γ:y2=2px(p>0(的焦点为F，点E(4,m(在Γ上，且|EF|=5．

(1)求抛物线Γ的方程；

(2)直线l经过点F，且与Γ交于A、B两点．

①点P是抛物线上位于A、B之间的动点，设点P到直线l的距离d的最大值为dl，求dl的最小值；

②设线段AB的垂直平分线与Γ交于M、N两点，若A、M、B、N四点共圆，求直线l的方程．

11

11.(2025·陕西西安·二模)已知F(1,0(为椭圆Ca>b>0(的右焦点，过点P(2,m((0<m<

b)作与x轴平行的直线，该直线与椭圆C交于M,N两点(点M在第一象限)，当m时，|MN|=

2|PM|.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)若直线PF与y轴交于点Q，证明：M,N,F,Q四点共圆.

12.(2025·湖北鄂州·一模)已知抛物线W:y2=4x，点P是W上位于第一象限内的一点，过P作W的切线交

y轴于点Q.过原点O作PQ的平行线交W于点A，过A作OP的平行线交W于点B，BP交OA于点

N.

(1)求tan∠OPQ的最大值；

(2)证明：直线QN经过AB的中点；

(3)若OQAB四点共圆，求P点的坐标.

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题型五定点问题

解|题|策|略

圆锥曲线中的定点问题是绝对的核心考点。其本质是：证明无论参数如何变化，某条直线恒过某个定点，或

某个动点恒在一条定直线上。

核心思想：找到动直线(或动点)方程中参数(如斜率k)的“不变部分”。将方程整理为关于参数的恒等式，

令其系数为零，即可求出定点(或定直线)。

一：直接推导

1.设参：设出动直线的方程。通常已知直线过某个定点或已知斜率，常用点斜式：y=kx+m。

2.寻找关系：利用题目条件(如直线与圆锥曲线相切、相交，或与其他几何条件如垂直、中点等相关)，找到一

个关于k和m的关系式。

3.消参定型：将找到的k和m关系式代回原始的直线方程y=kx+m中。得到只含一个参数的解析式。

关键步骤：将此方程整理为关于参数k的方程，要使这个方程对所有k值都成立，则k的系数和常数项必须

同时为零。

对于y-C=k(x-D)形式，定点显然是(D,C)。

对于更复杂的形式，将方程按k的幂次项整理，令各项系数为零，解方程组即可求出定点(x,y)。

二：先猜后证法

当直接推导复杂或难以进行时，此方法能指明方向，简化计算。

猜定点：特殊位置法：取参数(如斜率k)的两个特殊值(如0,斜率不存在(竖直直线),1,-1等)，画出两条对

应的特殊位置直线。求交点：解这两条特殊直线的交点，该点即为猜測的定点(x0,y0)。

证定点：则动直线的方程可以化简为y-y0=f(k)(x-x0)。(f(k)为参数k的解析式)

13.(2025·甘肃定西·模拟预测)已知双曲线Ca>0,b>0(与双曲线E有共同的

渐近线，且C的焦距为4.

(1)求C的方程；

(2)过C的左焦点F且斜率为k的直线l与C的左支交于A,B两点.

(i)求k的取值范围；

(ii)记点P(1,0(，直线AP,BP与C的右支分别交于点M,N，证明：直线MN过定点.

13

14.(2025·重庆·三模)已知双曲线Ca>0,b>0(的左、右焦点分别为F1、F2，焦距为26，虚轴

长为22，左、右顶点分别为A、B，P为直线l:x=1上一点，直线PA与直线PB分别与C交于另一点

K、T(不与A、B重合)，设直线KT的方程为x=my+n.

(1)求C的标准方程.

(2)证明：2m2+n2-4>0且m2≠2.

(3)试问直线KT是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由.

15.(2025·山东·模拟预测)已知双曲线Ea>0,b>0(，过点P(p,0((p>a(作两条互相垂直的

直线l1,l2.

(1)求两条直线l1,l2与双曲线E的交点个数，并说明理由；

(2)若a≠b，直线l1交E于A,B两点，直线l2交E于C,D两点，M,N分别为弦AB和CD的中点，证明：

直线MN过定点.

14

题型六点在定直线上

解|题|策|略

将动点的坐标表示为某个参数(通常是斜率k)的函数，然后消去这个参数，得到一个关于x,y的二元一

次方程，即为定直线方程。

主要步骤为：1、设参并表示动点2、建立关系3、消参4、得到定直线方程

在解题过程中，可以使用几何性质转化，先猜后证等方法帮助解决计算问题

16.(2025·湖南岳阳·三模)已知抛物线E的顶点在坐标原点O处，对称轴为x轴，且过点T(2,-4(，A，B是

E上两个动点．

(1)求抛物线E的标准方程；

(2)已知C是E上一点，且E的焦点F为△ABC的重心，设C的横坐标为t，求t的取值范围；

(3)已知P为直线OT在第二象限内一点，直线PA，PB与抛物线E分别相切于A，B两点，设PA，PB

与y轴分别交于M，N两点，证明：直线AN与直线BM的交点在定直线上．

15

17.(2025·甘肃白银·二模)已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F，点E(n,2)是C上一点，且|EF|=5，记

O为坐标原点，过点F的直线l1与C相交于A，B两点．

(1)求抛物线C的方程与准线l的方程；

(2)求4|AF|+|BF|的最小值；

——→——→

(3)已知P，M分别是抛物线C与准线l上的动点，若C在点P处的切线l2交y轴于点Q，且MN=MP

—→

+MQ，试判断点N是否在定直线上，若在，请求出定直线的方程；若不在，请说明理由．

16

18.(2025·浙江·二模)已知F是椭圆Ea>b>0(的右焦点，椭圆离心率e，且椭圆上任意

一点与点F距离的最大值为3.

(1)求椭圆E的方程；

(2)点M(x1,y1((x1>0,y1>0(在椭圆E上，椭圆在点M处的切线l交x轴于点P.

①求|FP|-4|FM|的最小值；

②设A1,A2分别为椭圆E的左、右顶点，不垂直x轴的直线MF交椭圆于另一点N，直线NA1与直线

MA2交于点Q，问直线MN与直线PQ的交点R是否在一条定直线上？若是，求出该直线方程；若不是，

请说明理由.

\

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题型七定值问题

解|题|策|略

将待证的目标量(如斜率积、线段乘积、面积等)用参数(通常是斜率k)表示出来，通过代数运算消去参

数，若结果是一个常数，则定值得证。

常见的定值类型有：

1、斜率的和、积、比为定值

2、线段长度、乘积或倒数和为定值

3、面积为定值

4、向量数量积为定值

“先猜后证”：取参数的特殊值(如k=0,k=1,k→∞)，快速计算出目标量的值。这个值很可能就是定

值。这不仅能预知结果、增强信心，还能用来验证最终化简结果是否正确。

“设而不求”的极致运用：不仅对交点坐标“设而不求”，对于复杂的中间量，也保持其整体形式，在后续运

算中可能会相互抵消。

参数关系式的挖掘：定值问题的核心往往在于题目中隐藏的参数关系。

19.(2025·广东广州·模拟预测)在平面直角坐标系中，已知点A(1,0(，点P为圆C:(x+1)2+y2=16上任意

一点，线段PA的垂直平分线l交半径PC于点Q，当点P在圆上运动时，记点Q的轨迹为W.

(1)求W的方程；

(2)若点P(-1,4(，试判断直线l与W的位置关系，并说明理由；

(3)设点P为圆C上异于(3,0)和(-5,0)的任意一点，若直线l与直线x=±2分别交于点M,N，求证：

M,N两点的纵坐标之积为定值.

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20.(2025·浙江杭州·一模)已知F(1,0(是椭圆Ca>b>0(的右焦点，过F作直线l交椭圆于

A,B两点，其中A在x轴上方.当AB⊥x轴时，|AB|=3.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)设P(4,0(，

(i)求证：∠APF=∠BPF；

(ii)设点M在椭圆C上，点N是△FMP的外接圆与椭圆C的另一个交点(异于M)，若MF平分∠AMB，

且，求cos∠ANB的值.

19

21.(2025·浙江·三模)已知双曲线E的焦距为25，右顶点为A，直线l与双曲线

E相交于P，Q两点，且与E的一条渐近线相交于点B(2,1(．

(1)求双曲线E的方程；

(2)是否存在直线l，使得△ABP与△ABQ的面积相等？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理

由；

——→——→

(3)若直线AP，AQ分别与y轴相交于M，N两点，证明：|AM+AN|为定值．

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题型八斜率定值问题

解|题|策|略

斜率的和、积、商为定值问题。

常规的解决问题的方式依然是从1、设参；2、根据题目条件得到式子；3、化简算出定值来解决。

定值模型：

1、已知P(x0,y0(是圆锥曲(椭圆、双曲线或抛物线)上的定点，不过P点的直线l交曲线于A、B两点，若

kPA+kPB=0,则kAB为定值且有kAB+kP=0(kP为P点处切线的斜率)

2、根据圆锥曲线第三定义的拓展，椭圆与双曲线上有关于原点对称的两点A，B，则异于A、B的点P有

2

kPA.kPB=e-1(斜率均存在的情况)

22.(2025·四川成都·模拟预测)在直角坐标系xOy中，设F为抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点，M为抛物

—→——→—→——→

线C上位于第一象限内的点.当FO.FM=0时，有|FO-FM|=5.

(1)求抛物线C的方程；

(2)设直线FM与抛物线C的另一个交点为N，点M，N在直线x=-1上的射影分别为点M/，N/，过点

F且与FM垂直的直线与直线x=-1相交于点P，证明：P是线段M/N/的中点；

—→——→

(3)设过定点(6,-4(的直线l与抛物线C交于A，B两点.若FO.FM=-3，且A，B两点的横坐标均与

点M的横坐标不相等，试判断直线MA，MB的斜率之积是否为定值.如果是定值，请求出该定值；如果

不是定值，请求出其取值范围.

21

23.(2025高三·全国·专题练习)已知椭圆Ca>b>0(的短轴长为2，A，B分别是C的左、右

顶点，O为坐标原点，OA的中点为P，过点P的直线l与C交于M，N两点.

(1)当l⊥x轴时，求|MN|.

(2)若AM⊥AN，且直线l的斜率大于0，

(i)求C的方程；

(ii)证明：直线AN与BM的斜率之比为定值.

22

24.(2025·四川·模拟预测)已知椭圆Ca>b>0(的离心率为，左、右焦点分别为F1,F2，上、

下顶点分别为B1,B2，且四边形F1B1F2B2的面积为83．

(1)求椭圆C的方程；

(2)设P,Q为椭圆上异于B1,B2的两点，记直线B1P,B2Q的斜率分别为k1,k2，且k2=3k1．

①证明：直线PQ过定点D；

②设直线B1P与直线B2Q交于点E，记直线DE的斜率为k3，求的值．

23

25.(2025·安徽安庆·模拟预测)已知椭圆Ca>b>0(的右焦点为F(1,0(，右顶点为A，直线l:

x=2与x轴交于点M，且|AM|=a|AF|．

(1)求椭圆C的方程．

(2)设点B为直线l:x=2上的动点，过B作C的两条切线，分别交y轴于点P,Q．证明：直线BP,BF,

BQ的斜率成等差数列．

24

题型九定比点差法

解|题|策|略

定比点差法是解决圆锥曲线中涉及线段定比分点或中点问题的一柄利器。它绕开了传统的联立和韦达定

理，直接从点的坐标关系入手，具有思路清晰、计算简捷的特点。

核心思想：“设分点，代曲线，作差化简”

—→—→

直线与圆锥曲线相交于A、B两点，若P点满足线性关系AP=λPB(λ≠-1),，通过将A，B坐标代入曲线

方程，然后利用定比分点坐标公式作差，直接建立起点P坐标与斜率kAB的关系，从而

解决问题。

定比点差法通过巧妙地构造方程间的加权差，利用平方差公式和定比分点公式，直接沟通了分点坐标、曲线

参数和弦的斜率，实现了“化曲为直”，是解决此类结构化问题的典范方法

26.(2025·全国·模拟预测)已知椭圆C的左、右焦点分别为F1,F2，左、右顶点分别为

A1，A2，点P在椭圆C上，满足直线PA1,PA2的斜率之积为，且△PF1F2面积的最大值为2．

(1)求椭圆C的方程；

—→

(2)过点M(-1,1(的直线与椭圆C交于A,B两点，同时与直线l:x-2y+4=0交于点N，假设NA=

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λAM，NB=μBM，判断λ+μ是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．

25

27.(2025·浙江·二模)已知椭圆C:，过T(4,0(作椭圆C在第四象限的切线l1，其中切点为A.设

B(x0,y0(是椭圆第一象限上的动点(x0>1(，过B作椭圆C的另一条切线l2，交x轴于D点.

(1)求切线l1的方程；

(2)过B点垂直于x轴的直线与直线OA交于F点，求△OBF面积的最大值；

(3)直线DF和切线l1相交于E点，过D点作OE的平行线交切线l1于K点.问：是否存在实数λ,使得

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AE+λKE=0成立？若存在，求出λ的值，若不存在，说明理由.

26

2

28.(2025·湖南·模拟预测)已知抛物线E:y=2px(p>0(焦点为F，准线为l，P(x0,23(为E上一点，PM

⊥l，垂足为M，且∠MPF=60°.

(1)求E的标准方程；

(2)过点Q(a,0((其中a<0)且斜率为k的直线与E交于A(x1,y1(，B(x2,y2(两点，C，D是E上的两点

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(异于A，B)，且满足AF=λFC，BF=μFD.

(i)证明：λ=x1，μ=x2；

(ii)是否存在k和a，使得?若存在，求k和a的所有取值；若不存在，请说明理由.

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题型十双切线

解|题|策|略

高考题当中，通常以圆锥曲线内接三角形当中两条边与一个圆相切时，证明第三条边也与圆相切，这里

我们就需要用到同构方程，再利用点到直线距离证明其等于半径.其背景为彭赛列闭合定理。(典型例

题2021年全国甲卷理科20题)

——→—→

29.(2025·河北·模拟预测)抛物线y2=4x的焦点为F，其上有两点A、B，OA.OB=5，AB与x轴正半轴交

于点E.

(1)求以FE为直径的⊙M的方程；

(2)证明：取抛物线上的一点Q(Q的横坐标不为1)，总有该抛物线上的另外两点S、T，使⊙M为△QST

的内切圆.

28

30.(2025·上海·模拟预测)已知抛物线Γ：x2=y，圆C：x2+(y-2(2=1，O为坐标原点.

(1)求抛物线Γ的焦点坐标和准线方程；

(2)已知点P(2,2(，M、N是抛物线Γ上的两个点，满足直线PM，PN均与圆C相切，判断并证明直线

MN与圆C的位置关系；

(3)若直线l：y=kx+m(k≠0(分别与抛物线Γ交于点A(x1,y1(，B(x2,y2((x1<x2(，与圆C交于点

S(x3,y3(、T(x4,y4((x3<x4(，且△OAT与△OBS面积相等，求m的取值范围.

29

31.(2024·湖北荆州·模拟预测)已知等边△OMN三个顶点均在抛物线Γ:y2=2px(p>0)上，其中O是坐标

原点，且△OMN的内切圆C的半径r=1.

(1)求抛物线Γ及圆C的方程；

(2)如果过抛物线上一点P可以作圆C的两条切线，且两条切线分别交抛物线Γ于不同于P的两点Q,

R，试判断此时直线QR与圆C的位置关系.

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热点限时训练

(建议用时：120分钟)

32.(2025·河北邯郸·一模)已知椭圆Ca>b>0(的离心率为，短轴的一个顶点到长轴的

一个顶点的距离为3，O为坐标原点，T(2,0(.

(1)求C的方程；

(2)若C上存在不关于x轴对称的两点M,N，使得∠MTN恰好被x轴平分，求△MTN面积的取值范围；

(3)过T的直线l/与C交于不同的两点A,B,椭圆在A,B两点处的切线相交于P,Q为线段AB的中点，

证明：O,P,Q三点共线.

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33.(2025·甘肃白银·模拟预测)已知双曲线Ca>0,b>0(的左、右焦点分别为F1,F2，|F1F2|=

25，且点F2到C的渐近线的距离为2．

(1)求C的方程；

(2)记C的左顶点为A，过点E(2,0)的直线l与C交于M,N两点(异于点A)．

(ⅰ)证明：直线AM,AN的斜率之积为定值；

(ⅱ)过点E分别作直线AM,AN垂线，垂足分别为P,Q，记△AEP，△AEQ的面积分别为S1,S2，求S1S2

的最大值．

32

34.(2025·广东茂名·一模)在平面直角坐标系xOy中，椭圆Ea>b>0(的长轴长为4，离心率

为，直线l交E于A,B两点.

(1)求E的方程；

(2)若直线l过E的右焦点，当△OAB面积最大时，求|AB|；

(3)若直线l不过原点，M为线段AB的中点，直线OM与E交于P,Q两点，已知P,Q,A,B四点共圆，证

明：|AB|<23.

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35.(2025·浙江金华·一模)如图，已知点P到两点F1(-2,0(，F2(2,0(距离的乘积为8，点P的轨迹记为曲线

Γ,Γ与x轴交点分别记为M,N．

(1)求曲线Γ的方程；

(2)求△PMN的周长的取值范围；

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(3)过P作直线分别交y=±x于两点A,B，且AP=λPB(λ>1)，若△OAB的面积为18，求λ的最小值．

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36.(2025·四川成都·三模)如图，在直角坐标系xOy中，已知F是拋物线Γ:x2=2py(p>0)的焦点，过点F的

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直线交抛物线Γ于A，B两点，且满足OA⋅OB=-3.

(1)求p的值；

(2)已知点T(0,3)，直线AT，BT与拋物线Γ的另一个交点分别为C，D，直线CD交y轴于点P，交直线

AB于点N.抛物线Γ在