上海市长宁区2025-2026学年第一学期高二数学教学质量调研试题（原卷版+解析版）

2025学年第一学期高二数学教学质量调研试卷（考试时间90分钟，本卷满分100分）一、填空题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．答案填在答题纸相应位置）．1.用适当的符号填空：如图，已知长方体，则直线______平面．2.若圆柱的底面半径是1，母线长为2，则这个圆柱的体积是___________.3.在元旦迎新会时，某班级将40名学生的姓名写成纸条放进抽奖箱，混合均匀后抽取5名学生进行奖励，则学生A被抽到获奖的概率为______．4.若一个球的表面积是，则这个球的体积是______．5.已知直线，，若，则实数a的值为___________.6.如图是一个正方体的平面展开图，在该正方体中，线段、所在的直线中，与直线异面的是______．7.命题：“若空间中的三条直线、、两两相交，则直线、、在同一平面上．”是______命题（填“真”或“假”）．8.已知平面和平面外一点，则下列说法中，正确的是______．（写出所有判断正确的序号）①过点有且只有一条直线与平面垂直；②过点有且只有一个平面与平面垂直；③过点有且只有一条直线与平面平行；④过点有且只有一个平面与平面平行．9.已知直线，直线经过点，且与直线的夹角是，则直线的方程是______．10.甲、乙两人罚球时，“甲命中”与“乙命中”相互独立，已知甲罚球命中的概率是0.6，两个人中至少有一人罚球命中的概率是0.9，则乙罚球命中的概率是______．11.小明为了解自己每天花在体育锻炼上的时间（单位：min），连续记录了6天数据：132，m，128，n，136，126，若该样本的中位数和平均数均为131，则该样本的标准差是______．12.已知三棱锥中，是等边三角形，，，与平面所成角的余弦值为，则______．二、选择题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）．13.已知直线和直线异面，直线，，平面，平面，则直线与平面的位置关系是（）A.平行； B.垂直； C.斜交； D.不确定．14.某营养学研究人员用随机抽样的方法获得了A高校部分大学生平均每日摄取的热量（单位：千大卡，1千大卡＝1000千卡），其频率分布直方图如右图所示，已知每日摄取热量在内的人数是10人，则①样本量为100人；②图中的值为2；③估计该校大学生每日平均摄取热量约1.74千大卡；以上说法中，正确的个数是（）A3个； B.2个； C.1个； D.0个．15.关于棱柱的说法中不正确的是（）A.有两个面互相平行，其余各面都是四边形且相邻两个四边形的公共边都互相平行，这些面所围成的多面体是棱柱；B.由一个平面多边形（包含多边形内部）沿某一方向平移形成的空间图形叫做棱柱；C.有两个面是互相平行且全等的平面多边形，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱；D.有两个面是互相平行且全等的平面多边形，其余不在这两个面上的棱都相互平行的多面体是棱柱．16.在棱长为2的正方体中，、、分别是棱、、的中点，点是正方体表面上的任意一点，且直线与平面无交点，则点的轨迹长度是（）A.； B.； C.； D.．三、解答题（本大题共5小题，共52分．解答要写出文字说明、证明过程或演算步骤）．17.某果园种植了三个品种苹果树，共计500棵，其中品种250棵，品种150棵，品种100棵，采用分层抽样的方法抽取10棵果树，估计苹果产量．（1）应抽取品种苹果树多少棵？（2）若测得所抽取的10棵果树的产量（单位：kg）分别为25、25、28、32、20、26、30、26、31、30，在图中画出10棵果树产量分布的茎叶图，并用经验概率估计果树产量不小于30kg的概率．18.已知四棱锥中，底面是正方形，平面，且，点、分别是、中点，点为线段上一点．（1）求直线和所成角大小；（2）确定点的位置，使平面平面，并证明．19.甲和乙两人进行象棋比赛，假设每局比赛的结果互不影响，且设甲赢的概率为．（1）若两人采用“三局两胜”（先赢得两局者为胜，最多三局结束比赛）比赛模式，最终胜者会获得100元奖金，且．第一局比赛甲胜后，因突发事件比赛终止，问：怎样分配100元奖金才公平？（2）若，比赛模式可在“一局定胜负”或“三局两胜”中选择一种，问：哪种比赛模式对甲有利？为什么？20.已知直角坐标系中，三个不同的点，，．（1）过点的直线与线段相交，求直线的倾斜角的取值范围；（2）若从点发出的光线，由直线上的点反射后，经过点射出，求点的坐标．21.如图，等腰直角三角形中，，．（1）点是边的中点，点是边上一点（不与重合），将三角形沿逆时针翻折，点的对应点是，设二面角的大小为；①若点是边的中点，，求四棱锥的体积；②是否存在点和，使得，若存在，请指出点的位置和的大小，若不存在，请说明理由；（2）四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”，空间中取一点，使得、、、四点可组成“鳖臑”，且该四面体的体积为，求的长（直接写出答案即可）．2025学年第一学期高二数学教学质量调研试卷（考试时间90分钟，本卷满分100分）一、填空题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．答案填在答题纸相应位置）．1.用适当的符号填空：如图，已知长方体，则直线______平面．【答案】【解析】【分析】根据线面的位置关系解答即可.【详解】因为直线在平面内，所以直线平面.故答案为：2.若圆柱的底面半径是1，母线长为2，则这个圆柱的体积是___________.【答案】【解析】【分析】直接根据圆柱的体积公式计算即可得出答案.【详解】解：圆柱的母线长即为圆柱的高，则这个圆柱的体积.故答案为：3.在元旦迎新会时，某班级将40名学生的姓名写成纸条放进抽奖箱，混合均匀后抽取5名学生进行奖励，则学生A被抽到获奖的概率为______．【答案】##【解析】【分析】利用简单随机抽样的概念计算即可.【详解】由题意可知每个学生被抽取的概率为.故答案为：4.若一个球的表面积是，则这个球的体积是______．【答案】##【解析】【分析】由球的表面积公式先求出球的半径，即可求出球的体积.【详解】设球半径为，则，解得（舍去），所以这个球的体积.故答案为：5.已知直线，，若，则实数a的值为___________.【答案】或【解析】【分析】根据可求出结果.【详解】因为，所以，解得或，故答案为：或.6.如图是一个正方体的平面展开图，在该正方体中，线段、所在的直线中，与直线异面的是______．【答案】【解析】【分析】还原正方体并确定各线所在位置，进而判断直线的位置关系．【详解】展开图还原后与重合，则与交于点，即与共面，平面，平面，故与直线异面的是直线．故答案为：．7.命题：“若空间中的三条直线、、两两相交，则直线、、在同一平面上．”是______命题（填“真”或“假”）．【答案】假【解析】【分析】利用举反例的方法判断命题的真假．【详解】假设空间中的三条直线、、为墙角的三条直线，它们两两相交于同一点，但直线、、不在同一平面上，故命题为假命题．故答案为：假．8.已知平面和平面外一点，则下列说法中，正确的是______．（写出所有判断正确的序号）①过点有且只有一条直线与平面垂直；②过点有且只有一个平面与平面垂直；③过点有且只有一条直线与平面平行；④过点有且只有一个平面与平面平行．【答案】①④【解析】【分析】利用空间中点、线、面位置关系判定即可.【详解】由空间中点、线、面的位置关系可知：过平面外一点有且仅有一条直线与平面垂直，故①正确；过平面外一点有无数个平面与平面垂直，故②错误；过平面外一点有无数条直线与平面平行，故③错误；过平面外一点有且只有一个平面与平面平行，故④正确；故答案为：①④9.已知直线，直线经过点，且与直线的夹角是，则直线的方程是______．【答案】或.【解析】【分析】分类讨论结合直线夹角的定义计算即可.【详解】设的倾斜角为，易知的斜率为，与的夹角正切值为，所以或，所以直线的方程为或.故答案为：或.10.甲、乙两人罚球时，“甲命中”与“乙命中”相互独立，已知甲罚球命中的概率是0.6，两个人中至少有一人罚球命中的概率是0.9，则乙罚球命中的概率是______．【答案】##【解析】【分析】利用独立事件概率的乘法公式计算即可.【详解】设乙罚球命中的概率为p，则.故答案为：11.小明为了解自己每天花在体育锻炼上的时间（单位：min），连续记录了6天数据：132，m，128，n，136，126，若该样本的中位数和平均数均为131，则该样本的标准差是______．【答案】【解析】【分析】利用中位数与平均数的概念先确定，再根据方差与标准差的算法计算即可.【详解】由题意可知，所以，将已知数据排序有，该组数据的中位数为第3个和第4个数据的平均数，所以第3个和第4个数据的和为262，不妨设，则第3个和第4个数据应为，则，经验证符合题意，则该组数据的方差为，所以标准差为.故答案为：12.已知三棱锥中，是等边三角形，，，与平面所成角的余弦值为，则______．【答案】3【解析】【分析】利用四面体的几何性质，结合等边、等腰三角形的性质，利用勾股定理计算相关边长，进而求解．【详解】作的中点，连接，，是等边三角形，，即为与平面所成角，作为在平面内的投影，则在上，，，，，，，在直角中，，．故答案为：3．二、选择题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）．13.已知直线和直线异面，直线，，平面，平面，则直线与平面的位置关系是（）A.平行； B.垂直； C.斜交； D.不确定．【答案】B【解析】【分析】把线面平行转化为线线平行，再利用线面垂直判定定理判断直线与平面的位置关系．【详解】平面，平面，直线和直线异面，在平面内可找到两条相交直线，使得，直线，，，是平面内的两条相交直线，平面，故B正确．故选：B．14.某营养学研究人员用随机抽样的方法获得了A高校部分大学生平均每日摄取的热量（单位：千大卡，1千大卡＝1000千卡），其频率分布直方图如右图所示，已知每日摄取热量在内的人数是10人，则①样本量为100人；②图中的值为2；③估计该校大学生每日平均摄取热量约为1.74千大卡；以上说法中，正确的个数是（）A.3个； B.2个； C.1个； D.0个．【答案】A【解析】【分析】根据频率分布直方图的性质及平均数的算法计算即可.【详解】由频率分布直方图可知在区间内的频率为，则样本量为，所以①正确；由频率分布直方图可知，所以②正确；则该组数据的平均数为，所以③正确.故选：A15.关于棱柱的说法中不正确的是（）A.有两个面互相平行，其余各面都是四边形且相邻两个四边形的公共边都互相平行，这些面所围成的多面体是棱柱；B.由一个平面多边形（包含多边形内部）沿某一方向平移形成的空间图形叫做棱柱；C.有两个面是互相平行且全等的平面多边形，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱；D.有两个面是互相平行且全等的平面多边形，其余不在这两个面上的棱都相互平行的多面体是棱柱．【答案】C【解析】【分析】根据棱柱的概念一一分析选项即可.【详解】对于A，这是棱柱的严格定义，两个互相平行的面是底面，其余各面为四边形，且相邻四边形的公共边互相平行，符合棱柱的本质特征，故A正确；对于B，这是棱柱的“平移生成”定义，一个平面多边形沿某一方向平移形成的空间图形，正是棱柱的形成方式，故B正确；对于C，这个说法错误，反例：将两个全等的平行四边形按错位方式拼接，使其余各面虽为平行四边形，但整体不是棱柱，因为相邻面的公共边不满足“互相平行且方向一致”的要求，故C错误；对于D，这个说法是正确的，两个平行且全等的平面多边形为底面，其余不在这两个面上的棱都相互平行，满足棱柱的判定条件，故D正确.故选：C16.在棱长为2的正方体中，、、分别是棱、、的中点，点是正方体表面上的任意一点，且直线与平面无交点，则点的轨迹长度是（）A.； B.； C.； D.．【答案】D【解析】【分析】利用面面平行判定定理结合已知条件求出的轨迹，再求出点的轨迹长度．【详解】、、分别是棱、、的中点，，平面，平面，平面，平面，所以平面，平面，又平面，平面平面，直线与平面无交点，等价于平面，平面，且平面平面，平面时，平面，是正方体表面的点，轨迹为平面与正方体表面的交线，即的三边，正方体边长为2，，，，点的轨迹长度为，故D正确．故选：D．三、解答题（本大题共5小题，共52分．解答要写出文字说明、证明过程或演算步骤）．17.某果园种植了三个品种的苹果树，共计500棵，其中品种250棵，品种150棵，品种100棵，采用分层抽样的方法抽取10棵果树，估计苹果产量．（1）应抽取品种苹果树多少棵？（2）若测得所抽取的10棵果树的产量（单位：kg）分别为25、25、28、32、20、26、30、26、31、30，在图中画出10棵果树产量分布的茎叶图，并用经验概率估计果树产量不小于30kg的概率．【答案】（1）3；（2）作图见解析；【解析】【分析】（1）根据分层抽样的概念计算即可；（2）根据茎叶图作法及经验概率计算即可.【小问1详解】易知，所以抽取品种苹果树为棵；【小问2详解】茎叶图如下：由图可知果树产量不小于30kg的概率为.18.已知四棱锥中，底面是正方形，平面，且，点、分别是、的中点，点为线段上一点．（1）求直线和所成角的大小；（2）确定点的位置，使平面平面，并证明．【答案】（1）（2）中点，证明见解析【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出相应点坐标及相关向量坐标，利用向量夹角余弦公式求解；（2）利用多面体的几何性质，结合面面平行判定定理证明结论．【小问1详解】已知底面是正方形，平面，以为坐标原点，建立如下图所示空间直角坐标系，，点、分别是、的中点，则，，，直线和所成角为．【小问2详解】为的中点，，，令，则，，当时，，为的中点，此时，，；，，，，平面，平面，平面，又，平面，平面平面．19.甲和乙两人进行象棋比赛，假设每局比赛结果互不影响，且设甲赢的概率为．（1）若两人采用“三局两胜”（先赢得两局者为胜，最多三局结束比赛）比赛模式，最终胜者会获得100元奖金，且．第一局比赛甲胜后，因突发事件比赛终止，问：怎样分配100元奖金才公平？（2）若，比赛模式可在“一局定胜负”或“三局两胜”中选择一种，问：哪种比赛模式对甲有利？为什么？【答案】（1）甲应该分得元，乙分得元；（2）“三局两胜”对甲有利，理由见解析【解析】【分析】（1）分局，局比赛，求出甲获胜的概率，从而得到最终甲获胜的概率，根据甲、乙最终获胜的概率分钱；（2）分别算出两种情况的甲获胜的概率，然后作差比大小，决定最后的有利情况.【小问1详解】若两局比完，甲第局获胜，概率为；若三局比完，甲第局输，第局赢，概率为；故比完比赛，甲获胜概率为，则乙获胜的概率为，因此甲应该分得元，乙分得元.【小问2详解】“三局两胜”对甲有利，理由如下：“一局定胜负”甲获胜的概率是；“三局两胜”甲连胜两局或者第三局赢，前两局赢一次输一次，则概率为.因为，而且，故，即，即，于是“三局两胜”更有利.20.已知直角坐标系中，三个不同的点，，．（1）过点的直线与线段相交，求直线的倾斜角的取值范围；（2）若从点发出的光线，由直线上的点反射后，经过点射出，求点的坐标．【答案】（1）;（2）.【解析】【分