广东省广州荔湾区广雅中学2026届高二上数学期末学业质量监测模拟试题含解析

广东省广州荔湾区广雅中学2026届高二上数学期末学业质量监测模拟试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知圆与直线至少有一个公共点，则的取值范围为（）A. B.C. D.2．设，则当数列{an}的前n项和取得最小值时，n的值为（）A.4 B.5C.4或5 D.5或63．已知F(3,0)是椭圆的一个焦点，过F且垂直x轴的弦长为，则该椭圆的方程为（）A.+=1 B.+=1C.+=1 D.+=14．已知圆：，是直线的一点，过点作圆的切线，切点为，，则的最小值为（）A. B.C. D.5．下列说法或运算正确的是（）A.B.用反证法证明“一个三角形至少有两个锐角”时需设“一个三角形没有锐角”C.“，”的否定形式为“，”D.直线不可能与圆相切6．若数列满足，，则该数列的前2021项的乘积是（）A. B.C.2 D.17．下列说法中正确的是（）A.存在只有4个面的棱柱 B.棱柱的侧面都是四边形C.正三棱锥的所有棱长都相等 D.所有几何体的表面都能展开成平面图形8．中国剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹，用于装点生活或配合其他民俗活动的民间艺术.如图所示的圆形剪纸中，正六边形的所有顶点都在该圆上，若在该圆形剪纸的内部投掷一点，则该点恰好落在正六边形内部的概率为（）A. B.C. D.9．一盒子里有黑色、红色、绿色的球各一个，现从中选出一个球.事件选出的球是红色，事件选出的球是绿色.则事件与事件（）A.是互斥事件，不是对立事件 B.是对立事件，不是互斥事件C.既是互斥事件，也是对立事件 D.既不是互斥事件也不是对立事件10．已知定义在上的函数的导函数为，且恒有，则下列不等式一定成立的是（）A. B.C. D.11．校庆当天，学校需要在靠墙的位置用围栏围起一个面积为200平方米的矩形场地.用来展示校友的书画作品.靠墙一侧不需要围栏，则围栏总长最小需要（）米A.20 B.40C. D.12．从直线上动点作圆的两条切线，切点分别为、，则最大时，四边形（为坐标原点）面积是（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．如图所示四棱锥，底面ABCD为直角梯形，，，，，是底面ABCD内一点（含边界），平面MBD，则点O轨迹的长度为_____________.14．点P(8，1)平分椭圆x2+4y2＝4的一条弦，则这条弦所在直线的方程是_______.15．写出一个同时具有性质①②的函数___________.（不是常值函数），①为偶函数；②.16．若直线与曲线没有公共点，则实数的取值范围是____________三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图，在长方体中，，，，M为上一点，且（1）求点到平面的距离；（2）求二面角的余弦值18．（12分）已知数列满足且（1）求证：数列为等差数列，并求数列的通项公式；（2）设，求数列的前n项和为.19．（12分）四棱锥，底面为矩形，面，且，点在线段上，且面.（1）求线段的长；（2）对于（1）中的，求直线与面所成角的正弦值.20．（12分）已知抛物线上的点到其焦点F的距离为5.（1）求C的方程；（2）过点的直线l交C于A，B两点，且N为线段的中点，求直线l的方程.21．（12分）已知函数.（1）求曲线在处的切线方程；（2）求曲线过点的切线方程.22．（10分）已知O为坐标原点，双曲线C：（，）的离心率为，点P在双曲线C上，点，分别为双曲线C的左右焦点，.（1）求双曲线C的标准方程；（2）已知点，，设直线PA，PB的斜率分别为，.证明：为定值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】利用点到直线距离公式求出圆心到直线的距离范围，从而求出的取值范围.【详解】圆心到直线的距离，当且仅当时等号成立，故只需即可.故选：C2、A【解析】结合等差数列的性质得到，解不等式组即可求出结果.【详解】由，即，解得，因为,故.故选：A.3、C【解析】根据已知条件求得，由此求得椭圆的方程.【详解】依题意，所以椭圆方程为.故选：C4、A【解析】根据题意，为四边形的面积的2倍，即，然后利用切线长定理，将问题转化为圆心到直线的距离求解.【详解】圆：的圆心为，半径，设四边形的面积为，由题设及圆的切线性质得，，∵，∴，圆心到直线的距离为，∴的最小值为，则的最小值为，故选：A5、D【解析】对于A：可以解决；对于B:“一个三角形至少由两个锐角”的反面是“只有一个锐角或没有锐角”；对于C：全称否定必须是全部否定；对于D：需要观察出所给直线是过定点的.【详解】A：，故错误；B：“一个三角形至少由两个锐角”的反面是“只有一个锐角或没有锐角”，所以用反证法时应假设只有一个锐角和没有锐角两种情况，故错误；C：的否定形式是，故错误；D：直线是过定点（-1，0），而圆，圆心为（2，0），半径为4，定点（-1，0）到圆心的距离为2-（-1）=3＜4，故定点在圆内，故正确；故选：D.6、C【解析】先由数列满足，，计算出前5项，可得，且，再利用周期性即可得到答案.【详解】因为数列满足，，所以，同理可得，…所以数列每四项重复出现，即，且，而，所以该数列的前2021项的乘积是.故选：C.7、B【解析】对于A、B：由棱柱的定义直接判断；对于C：由正三棱锥的侧棱长和底面边长不一定相等，即可判断；对于D：由球的表面不能展开成平面图形即可判断【详解】对于A：棱柱最少有5个面，则A错误；对于B：棱柱的所有侧面都是平行四边形，则B正确；对于C：正三棱锥的侧棱长和底面边长不一定相等，则C错误；对于D：球的表面不能展开成平面图形，则D错误故选：B8、D【解析】设圆的半径，求出圆的面积与正六边形的面积，再根据几何概型的概率公式计算可得；【详解】解：设圆的半径，则，则，所以，所以在该圆形剪纸的内部投掷一点，则该点恰好落在正六边形内部的概率;故选：D9、A【解析】根据事件的关系进行判断即可.【详解】由题意可知，事件与为互斥事件，但事件不是必然事件，所以，事件与事件是互斥事件，不是对立事件.故选：A.【点睛】本题考查事件关系的判断，考查互斥事件和对立事件概率的理解，属于基础题.10、D【解析】构造函数，用导数判断函数单调性，即可求解.【详解】根据题意，令，其中，则，∵，∴，∴在上为单调递减函数，∴，即，，则错误；，即，则错误；，即，则错误；，即，则正确；故选：.11、B【解析】在出矩形中，设，得到，结合基本不等式，即可求解【详解】如图所示，在矩形中，设，则，根据题意，可得矩形围栏总长为因为，可得，当且仅当时，即时，等号成立，即围栏总长最小需要米.故选：B.12、B【解析】分析可知当时，最大，计算出、，进而可计算得出四边形（为坐标原点）面积.【详解】圆的圆心为坐标原点，连接、、，则，设，则，，则，当取最小值时，，此时，，，，故，此时，.故选：B.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】绘出如图所示的辅助线，然后通过平面平面得出点轨迹为线段，最后通过求出、的长度即可得出结果.【详解】如图，延长到点，使且，连接，取上点，使得，作，交于点，交于点，连接，因为，所以，因为，又，所以，，因为，，，所以平面平面，因为平面，面，所以点轨迹为线段，因为，，所以，因为，，，所以，因为底面为直角梯形，所以，，，，故答案为：.14、【解析】结合点差法求得正确答案.【详解】椭圆方程可化为，设是椭圆上的点，是弦的中点，则，两式相减并化简得，即，所以弦所在直线方程为，即.故答案为：15、（答案不唯一）【解析】利用导函数周期和奇偶性构造导函数，再由导函数构造原函数列举即可.【详解】由知函数的周期为，则，同时满足为偶函数，所以满足条件.故答案为：（答案不唯一）.16、；【解析】可化简曲线的方程为，作出其图形，数形结合求临界值即可求解.【详解】由可得，所以曲线为以为圆心，的下半圆，作出图形如图：当直线过点时，，可得，当直线与半圆相切时，则圆心到直线的距离，可得：或（舍），若直线与曲线没有公共点，由图知：或，所以实数的取值范围是：，故答案为：三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）【解析】（1）以A为原点，以AB、AD、所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量求解，（2）求出和的法向量，利用空间向量求解【小问1详解】以A为原点，以AB、AD、所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系由，，，，所以，，，因此，，，设平面的法向量，则，，所以，取，则，，于是，所以点到平面的距离【小问2详解】由，，设平面的法向量，则，，所以，取，则，，于是，由（1）知平面的法向量为，记二面角的平面角为，则，由图可知二面角为锐角，所以所求二面角的余弦值为18、（1）证明见解析，；（2）.【解析】（1）对递推公式进行变形，结合等差数列的定义进行求解即可；（2）运用裂项相消法进行求解即可.【小问1详解】因为，且，所以即，所以数列是公差为2的等差数列.又，所以即；【小问2详解】由（1）得，所以.故.19、（1）1（2）【解析】（1）根据线面垂直得到，再由相似比得方程可求解；（2）建立空间直角坐标系，求平面的法向量，运用夹角公式先求线面角的余弦值，再转化为正弦值即可.小问1详解】面，在矩形中，易得：；【小问2详解】如四建立空间直角坐标系：则，，由题意可知：为平面的一个法向量，，，直线与面所成角的正弦值为.20、（1）（2）【解析】（1）根据抛物线的定义可得，求得，即可得出答案；（2）设，利用点差法求出直线l的斜率，再利用直线的点斜式方程即可得出答案.【小问1详解】解：由抛物线定义可知：，解得：，∴C的方程为；【小问2详解】解：设，则，两式作差得，∴直线l的斜率，∵为的中点，∴，∴，∴直线l的方程为，即（经检验，所求直线符合条件）.21、（1）；（2）.【解析】（1）首先求导函数，计算，接着根据导数的几何意义确定切线的斜率，最后根据点斜式写出直线方程即可;（2）因为点不在曲线上，所以设切点为，根据导数的几何意义写出切线