数学物理方法 课件 12球函数

目录第12章

球函数12.1勒让德方程的级数解12.2勒让德多项式的基本性质12.3勒让德多项式的应用举例第3篇

特殊函数12.4连带勒让德函数12.5球函数定义和性质12.6非轴对称情况下拉普拉斯方程的定解问题12.1勒让德方程的级数解12.1勒让德方程的级数解对于勒让德方程其变量x的变化范围是：-1≤x

≤1。该方程是一个变系数的二阶常微分方程，而且在x=±1(即θ=0和θ=π)处具有奇异性。但根据物理问题的性质，通常要求该方程在整个闭区域-1≤x≤1中应有界，这就构成了本征值问题。下面将看到，仅当待定常数λ=l(l+1)时，勒让德方程在整个闭区域中才存在有界解，其中l=0，1，2，…。在一般情况下，很难得到该方程的解析解。但我们注意到，x=0为勒让德方程的一个常点。因此，可以将它的解y(x)在x=0处展开成如下级数其中ck

为展开系数。对式(12.1-2)求导，可以得到12.1勒让德方程的级数解将式(12.1-2)~式(12.1-4)代入方程(12.1-1)，则有进一步化简和变换后，有上式参与求和的各项是相互独立的，要使上式两边相等，只有两边任意项xk的系数相等，即可见系数ck

满足如下递推关系该式表明，所有下标为偶数的系数c2k

可以用c0

来表示，而所有下标为奇数的系数c2k+1

可以用c1

来表示，其中c0

及c1

为常数。这样，勒让德方程(12.1-1)的通解可以表示为12.1勒让德方程的级数解其中而且y0(x)与y1(x)线性无关。下面我们进一步讨论上述级数展开的收敛性。利用幂级数收敛半径公式的比值判别法(3.2-4)，则上述两个级数的收敛半径为可见，对于有限大小的λ(或λ

≤k2)，上述两个级数的收敛半径都是1。但是，可以验证：它们在x=±1处是发散的。也就是说，x=±1为勒让德方程的奇点。如果参数λ

取特殊的值λ=l(l+1)，且l=0，1，2，3，…，情况就不同了。这时有12.1勒让德方程的级数解显然，当k=l时，有cl+2=0。接着，由递推关系有cl+4=0，cl+6=0，…。这样式(12.1-7)和式(12.1-8)两个无穷级数中必有一个为多项式。当l为偶数时，y0(x)为多项式，即而y1(x)仍为无穷级数;当l为奇数时，y1(x)为多项式，即而y0(x)仍为无穷级数。由此可见，仅当参数λ=l(l+1)(l=0，1，2，3，…)时，勒让德方程在闭区间-1≤x

≤1中才存在有界的解。λ=l(l+1)是勒让德方程在自然边界条件下的本征值，对应的多项式为本征函数，即勒让德函数(或多项式)。对应于一个l值，只有唯一的一个多项式。现在我们再确定式(12.1-10)和式(12.1-11)中的系数。如果最高次幂的系数cl被确定，则按照递推公式(12.1-9)可以确定出cl-2，cl-4，…。这意味着所有的系数都能依次被确定。原则上cl

是一个任意的常数，不过如果取12.1勒让德方程的级数解将会使勒让德多项式呈现出最简洁的形式。这样利用递推公式，可以得到令k=l-2，则有类似地，有12.1勒让德方程的级数解借助于归纳法，有这样，可以得到l阶勒让德多项式为其中

N

是求和指标n

的最大值

l/2。由于N

必须是自然数，则有12.1勒让德方程的级数解这样在任何情况下，N

的值都是整数。注意在勒让德多项式中，求和指标n的最小值n=0对应于最高次幂xl，它的系数为式(12.1-12);而求和指标最大值n=N

对应于常数项，它的系数为c0。勒让德多项式的前6项为12.1勒让德方程的级数解由式(12.1-15)，有则当l=2m+1(奇数)及x=0时，有而当l=2m(偶数)时，P2m(x)应含有常数项，即为式(12.1-14)中l=2m的那一项，所以有可以看出：当l为偶数时，Pl(x)为偶函数;当l为奇数时，Pl(x)为奇函数。图12-1显示了勒让德多项式前几项随x

变化的图形。12.2勒让德多项式的基本性质1.勒让德多项式的微分和积分表达式在讨论勒让德多项式的一些性质或计算有关问题时，还需要用到它的其他形式的表达式，如微分和积分表达式。(1)微分表达式勒让德多项式的微分表达式为通常又称它为勒让德多项式的罗德里格斯公式。证明：根据二项式展开定理则有在对上式进行求导时，凡是幂次2l-2n低于l的项在l次求导后将为零，所以只需保留幂次2l-2n

≥l的项，即n

≤l/2的项。这样有1.勒让德多项式的微分和积分表达式(2)积分表达式根据复变函数论中的柯西公式(见

§2.3节)及令f(x)=(x2-1)l，则可以将勒让德多项式的微分表示式用如下回路积分来表示

另外，还可以得到1.勒让德多项式的微分和积分表达式这样，可以把式(12.2-2)变为这就是勒让德多项式的积分表达式。由上面的积分表达式很容易看到2.勒让德多项式的生成函数勒让德多项式最先是由勒让德在讨论势场问题时引入的。我们知道一个位于r'

点的单位点电荷在r点产生的库仑势为其中θ

为位置矢量r和r'

的夹角。设t=r'

/r

及x=cosθ，则可以将上面的库仑势改写为假设|t|<1，并注意到|x|<1，则可以将函数(1+t2-2tx)-1/2作泰勒展开：下面证明展开系数al(x)就是勒让德多项式。根据复平面上泰勒展开系数的积分表示式[见式(3.3-2)]，则有其中c为复平面上包含原点z=0的闭合围道，而且闭合围道内没有根式的奇点。引入变换2.勒让德多项式的生成函数则有这样将以上各式代入式(12.2-10)，则可以得到其中c'是u平面上与c相应的、正向绕u=x

一周的围道。上式正是勒让德多项式Pl(x)的积分表达式，见式(12.2-2)。这样有2.勒让德多项式的生成函数通常称(1+t2-2tx)-1/2

为勒让德多项式Pl(x)的生成函数，而上式为勒让德多项式的生成函数公式。对于x=±1，由式(12.2-12)可以得到故有这与式(12.2-4)和式(12.2-5)是一致的。这样，根据式(12.2-12)，单位点电荷的库仑势可以表示为3.勒让德多项式的递推关系利用上面给出的生成函数公式，可以给出相邻的勒让德多项式之间的关系式，即递推关系式。将式(12.2-12)两边对t求导，则可以得到将上式两边乘以(1+t2-2tx)，则有再利用公式(12.2-12)，上式改写为进一步对上式整理后可以得到将上式左边第一项和第二项分别替换l+1→l及l-1→l，再比较两边tl

的系数，即可以得到如下递推关系将式(12.2-12)两边对x求导，则可以得到3.勒让德多项式的递推关系将上式两边乘以(1+t2-2tx)，并再利用公式(12.2-12)，则有整理后，比较两边tl+1

的系数，即可以得到递推关系

上述递推关系很重要，尤其是式(12.2-19)。后面将看到，利用这些递推关系式，可以简化含勒让德多项式的积分。4.勒让德多项式的正交完备性两个不同本征值λk=k(k+1)和λl

=l(l+1)的两个本征函数Pk(x)和Pl(x)在区间[-1，1]正交，即(1)勒让德多项式的正交性如果变量从x

回到原来的角变量θ，则上式变为按照本征函数的模的一般定义，见式(8.5-13)，勒让德多项式Pl(x)的模为(2)勒让德多项式的模将勒让德的生成函数公式4.勒让德多项式的正交完备性两边进行平方，并对x

从-1到1积分，则有其中利用了勒让德多项式的正交性关系式(12.2-21)。式(12.2-24)左边的积分为4.勒让德多项式的正交完备性这样，将式(12.2-25)代入式(12.2-24)，并比较两边t2l的系数，即可以得到勒让德多项式的模为这样可以把勒让德多项式的正交性关系式写成

解：利用勒让德多项式的递推公式(12.2-19)则有注意到：无论l是奇数还是偶数，均有Pl(1)=1;另一方面，由于l为偶数，则l+1和l-1均为奇数，因此有Pl+1(0)=0和Pl-1(0)=0。这样，有4.勒让德多项式的正交完备性

解：利用递推关系式(12.2-15)，即则有可见：当k=l-1时，有当k=l+1时，有而对于其他情况，该积分的值均为零。4.勒让德多项式的正交完备性(3)勒让德多项式的完备性勒让德多项式Pl(x)不但是正交的，而且还是完备的，即位于区间[-1，1]内的函数f(x)可以以Pl(x)作为基函数，进行广义傅里叶级数展开其中cl

为展开系数。将上式两边同乘以Pk(x)，并对x在区间[-1，1]上积分，以及利用勒让德多项式的正交性关系式(12.2-27)，可以得到以勒让德多项式为基函数，在区间[-1，1]上把函数f(x)=2x3+3x+4展开成广义傅里叶级数。解：本题不必应用一般的展开式(12.2-28)。由于f(x)是x的三次多项式，因此可以令将勒让德多项式的前四项的表示式分别代入上式，则可以得到比较两边同次幂的系数，则可以得到所以有12.3勒让德多项式的应用举例12.3勒让德多项式的应用举例勒让德多项式在电磁学、热学、量子力学等领域中有着重要的应用，尤其是借助于勒让德多项式，可以研究拉普拉斯方程的定解问题。由第八章的讨论可以知道，在轴对称性条件下，拉普拉斯方程在球坐标系中的一般解为[见式(8.4-20)]其中Al

及Bl为待定系数，应由实际问题中的具体边界条件来确定。

下面举例进行说明。一个半径为r=a的导体球壳，球面上的电势分布为u(a，θ)=u0cos2θ，分别求球壳内外任一点的电势分布。解：由于边界条件与角度φ无关，显然该问题具有对称性，因此电势空间分布的一般形式应由式(12.3-1)给出，但在球壳内外，其具体形式是不同的。(1)在球壳内(r<a)，考虑到电势在球心处(r=0)应有限，因此要求系数Bl=0，则电势分布为为了确定系数Al，把上式代入边界条件，有12.3勒让德多项式的应用举例即

把上式代入式(12.3-4)，有比较该式两边同阶Pl(x)的系数，可以得到这样球壳内部电势的分布为12.3勒让德多项式的应用举例(2)在球壳外(r>a)，考虑到电势在无穷远处(r→∞)应有限，因此要求系数Al=0，则电势分布为同样，由边界条件可以确定出系数Bl

为这样球壳外部的电势分布为当边界函数u(a，θ)=f(θ)的形式比较复杂时，就不能由上面的简单方法来确定展开系数，这时需要利用勒让德多项式的正交性来确定，见式(12.2-29)。如当r<a时，展开系数Al为当r>a

时，展开系数Bl

为12.3勒让德多项式的应用举例在一个均匀分布的电场E0

中放置一个均匀介质小球。设球的半径为a，介电常数为ε。求介质球内外的电场分布。解：介质球的球心为坐标系的原点，取电场E0

的方向为z

轴的方向。显然，该问题具有轴对称性。当介质球放到均匀的电场中时，将在球面上产生极化现象，即在球面上出现束缚电荷。反过来，束缚电荷的出现又会改变球外的原有电场分布。但是，无论在球内还是在球外，电势u(r，θ)仍满足拉普拉斯方程这样在球内外的电势分布为其中系数Al，Cl

和Dl

由边界条件确定。在无穷远处(r→∞)，介质球的存在对原来的均匀电场E0

没有影响。由于选取E0

的方向沿z轴方向，所以在无穷远处，电场的各分量为：Ex=0，Ey=0，Ez=E0。这样，在无穷远处的边界条件为12.3勒让德多项式的应用举例即把这个边界条件代入式(12.3-12)，可以得到这样球外的电势分布则变为由于电势在球面连续，则有

12.3勒让德多项式的应用举例

比较两边的系数，有12.3勒让德多项式的应用举例由此可以解得将以上系数分别代入式(12.3-11)和式(12.3-16)，则最终得到的球内外电势分布为其中A0

是常数，与电势的零点选取有关。12.3勒让德多项式的应用举例根据式(12.3-19)，又可以把球内的电势改写成由此可见，球内的电场大小为方向仍沿着z

轴，而且是均匀的。

也就是说，在球内电场仍是均匀分布的，只不过变弱了(ε>1)。由式(12.3-19)还可以看到，在球外电场不再是均匀分布的，它由两部分组成，即原来的均匀电场E0

和一个极化电场Ep(r，θ)。设一个半径为a的均匀介质球，其介电常数为ε。在离球心为b(b>a)的地方放置一个电量为q的点电荷。求在介质球内外的电势分布。解：取介质球的球心为坐标原点，z轴通过点电荷所在的位置，见图12-2。显然该问题具有轴对称性，与角度φ无关。电荷将在介质球表面产生极化电荷，从而在介质球的内外产生极化电场。除了在介质球的表面和点电荷所在的位置外，在介质球的内外其他地方均没有电荷存在，故电势满足拉普拉斯方程(具有轴对称性)12.3勒让德多项式的应用举例在球的内部，考虑到球心处(r→0)的电势应有限，则电势分布为其中Al为待定系数。在球的外部，电势由两部分组成，一部分是来自于球面极化电荷产生的电势up(r，θ)，另一部分是由点电荷产生的电势uq(r，θ)，即考虑到球面上极化电荷产生的电势在无穷远处(r

→∞)应有限，则其中Dl

为待定系数。点电荷在球外产生的电势为这里我们采用了静电单位。特别是对于a<r<b的情况，根据勒让德多项式的生成函数公式(12.2-14)，则有12.3勒让德多项式的应用举例待定系数Al

和Dl可以由边界条件来确定。与前面的例子相同，在球面上电势和电位移矢量的法线分量都连续，即将式(12.3-22)和式(12.3-23)分别代入上面的边界条件，则可以得到分别比较上面两个方程两边Pl(cosθ)的系数，则可以得到12.3勒让德多项式的应用举例由此可以解出则球内外的电势分布为12.4连带勒让德函数12.4连带勒让德函数前面已经看到：在非轴对称性情况下，拉普拉斯方程或亥姆霍兹方程的解与方位角φ有关，即u(r，θ，φ)=R(r)Θ(θ)Φ(φ)。这时函数Θ(θ)满足如下连带勒让德方程其中x=cosθ，y(x)=Θ(θ)，m

≥0。

下面只讨论λ=l(l+1)的情形，并求出连带勒让德方程在-1≤x

≤1的解。1.连带勒让德方程的解原则上，可以仿照

§12.1节的方法在x=0点的邻内域求解连带勒让德方程的级数解，但这种方法较为繁琐。下面采用一种较为简便的方法来求解。令1.连带勒让德方程的解则有分别把以上三个式子代入方程(12.4-1)，则可以得到将以上方程两边对x

求导，则有可

以看出，如果把方程(12.4-3)中的m

变成m+1，把u变成u'，则方程(12.4-3)就变成了方程(12.4-4)。另一方面，当m=0时方程(12.4-3)就是勒让德方程。因此推断出，方程(12.4-3)是由勒让德方程求导m

次的结果，即方程(12.4-3)的解为1.连带勒让德方程的解这样连带勒让德方程(12.4-1)的解为

或对于固定的m，要求当m=0时，连带勒让德多项式即退化为勒让德多项式，即当m

≥1，l=1，2时，连带勒让德多项式的表示式为对于其他情况，可以由式(12.4-6)得到连带勒让德多项式的具体形式。2.连带勒让德多项式的微分表示式根据式(12.4-6)及勒让德多项式Pl(x)的微分表示式(12.2-1)，则立刻可以得到连带勒让德函数的微分表示式

这里不进行证明。3.连带勒让德函数的性质(1)正交性：作为施图姆-刘维尔方程本征值问题的特例，对于同一阶m

而不同次l的连带勒让德函数在区间(-1，1)应该是正交的，即或

把连带勒让德函数的微分表示式(12.4-11)代入上式，经过繁琐的分部积分后，可以得到即3.连带勒让德函数的性质(3)完备性：作为施图姆

刘维尔方程本征值问题的特例，可以把定义在区间[-1，1]上的函数

f(x)展开成如下广义傅里叶级数其中展开系数为类似地，可以把定义在区间[0，π]上的函数

f(θ)展开成如下广义傅里叶级数其中展开系数为12.5球函数定义和性质1.球函数的定义由前面的讨论可知，经过分离变量后，可以把球函数Y(θ，φ)=Θ(θ)Φ(φ)所满足的方程转化成如下两个方程及其中m

及λ为常数。对于式(12.5-2)，利用周期性边界条件Φ(φ)=Φ(φ+2π)，可以得到其实数形式的解或复数形式的解其中A，B

及C

均为常数。而式(12.5-3)为连带勒让德方程，它的本征解及本征值分别为其中D

是常数。1.球函数的定义这样，我们可定义两种形式的球函数，即实数形式的球函数和复数形式的球函数。根据式(12.5-4)和式(12.5-6)，实数形式的球函数为其中m=0，1，2，3，…，l;l=0，1，2，3，…，记号{}表示列举的函数式是线性独立的，可以任取其一。根据式(12.5-5)和式(12.5-6)，复数形式的球函数为

2.球函数的性质

对于复数形式的球函数式(12.5-9)，同样有如下正交关系2.球函数的性质

利用如下已知的积分结果2.球函数的性质则可以得到实数形式的球函数的模为其中对于复数形式的球函数，它的模平方为即2.球函数的性质(3)完备性若用实数形式的球函数作为基函数，可以把球面S

上(即0≤θ

≤π，0≤φ

≤2π)的函数

f(θ，φ)展开成如下广义傅里叶级数其中展开系数为若用复数形式的球函数作为基函数，则可以将函数

f(θ，φ)展开成为其中展开系数为2.球函数的性质(4)归一化的球函数物理学中常采用归一化的球函数，其定义为利用式(12.5-9)