数学物理方法 课件 03解析函数的幂级数展开、04留数定理及应用

目录第3章

解析函数的幂级数展开

3.1复变函数项级数3.2幂级数3.3泰勒级数展开3.4洛朗级数展开3.5孤立奇点的分类第1篇复变函数及应用3.1复变函数项级数3.1复变函数项级数我们先看一下复数级数的概念和性质。对于一个复数级数如果它的每一项都可分成实部和虚部，即则式(3.1-1)的前n+1项的和的极限为这样复数级数[式(3.1-1)]的收敛性问题就归结为两个实数级数

及

的收敛性问题。这样，就可以将实数级数的一些性质和规律应用到复数级数上。对于任意小的正数ε，如果存在一个

N，使得n>N

时，有成立，则复数级数[式(3.1-1)]收敛，其中p

为任意的正整数。式(3.1-4)为复数级数[式(3.1-1)]收敛的充分必要条件，也称柯西收敛判据。3.1复变函数项级数若级数[式(3.1-1)]各项的模组成的级数收敛，则称级数[式(3.1-1)]为绝对收敛。绝对收敛的级数一定是收敛的。下面讨论复变函数项级数的性质，其中式(3.1-6)的各项均为复变量z

的函数。如果在某个区域

D上的每一点z，级数[式(3.1-6)]都收敛，那么称其在区域D

上收敛，并记为对于给定的任意小的正数ε>0，如果存在一个与z无关的N(ε)，使得当n>N(ε)时，有则该级数

在区域D内一致收敛。3.1复变函数项级数如果级数[式(3.1-6)]的各项的绝对值构成的级数

收敛，则称该级数为绝对收敛。对于一致收敛的复变函数项级数，它有如下几个性质(这里不作证明)：(1)在区域D

内，如果级数的每一项wk(z)都是连续函数，则其一致收敛的和S(z)也是区域D

内的连续函数。(2)设c为区域D中一条分段光滑的曲线，如果级数的每一项wk(z)是c上的连续函数，则其一致收敛的和S(z)也是c上的连续函数，而且可以沿着c逐项积分，即

3.2幂级数3.2幂级数幂级数是一种简单的复变函数项级数，它的一般形式为其中an(n=0，1，2，…)及z0

都是复常数。可以看到，该级数的每一项都是解析函数。收敛圆及收敛半径：以z0

为圆心，作一个半径为R

的圆周cR

。如果级数[式(3.2-1)]在该圆内绝对收敛，而且在圆外发散，则这个圆是该级数的收敛圆，对应的半径为该级数的收敛半径。有两种方法可以确定一个幂级数的收敛半径：(1)比值判别法级数[式(3.2-1)]各项的绝对值构成的级数为如果3.2幂级数则级数[式(3.2-2)]收敛，从而级数[式(3.2-1)]绝对收敛。若极限

存在，并记为

(2)根值判别法可以看出，当极限

时，级数[式(3.2-1)]绝对收敛；反之，则发散。这样，我们可以定义一个收敛半径

在以z0

为圆心，半径为R的圆内，级数[式(3.2-1)]是绝对收敛的。3.2幂级数求幂级数

的收敛半径。解：用比值判别法[式(3.2-4)]，则有

在如下两节讨论中，我们将用到这个等式。3.3泰勒级数展开3.3泰勒级数展开由前面的讨论可知，一个幂级数的和函数是一个解析函数。现在我们讨论一个相反的问题，即一个解析函数是否可以用幂级数来表示?这是一个非常重要的问题。泰勒定理：设函数

f(z)在以z0

为圆心的圆内解析，则对于圆内任意一点z，可以将

f(z)用幂级数展开，即其中系数an

为c为包含z0

点的圆周。证明：由于f(z)在圆内解析，则由柯西公式，有其中ζ是圆周c上的点。可以将

改写为3.3泰勒级数展开由于，因此根据式(3.2-6)，有将式(3.3-5)代入式(3.3-3)，有再利用柯西公式

它们的收敛半径都为1。3.3泰勒级数展开

解：因为f(z)=ez

在全平面上解析，它在z=0的n阶导数均为1(n=0，1，2，…)。于是有对于f(z)=cosz，由于因此，有同样，对于f(z)=sinz，有3.3泰勒级数展开对于上述简单形式的解析函数，可以用这种方法直接进行展开。对于形式较复杂的解析函数，用这种方法进行展开则比较烦琐。不过，根据泰勒展开的唯一性，可以采用一些较为简单的间接方法，如利用基本公式、幂级数的代数运算、代换、逐项求导等方法来展开，最终的结果保持不变。

则有

解：利用因此，有3.3泰勒级数展开总之，把一个复变函数展开成幂级数的方法与实变函数的情形基本上一样。对于其中的一些基本方法和技巧，需要通过适当的练习才能掌握。3.4洛朗级数展开3.4洛朗级数展开

其中c是位于环内以逆时针方向绕内圆一周的任意一条闭合曲线，见图3-1。式(3.4-1)称为洛朗级数。证明：由于f(z)是环状区域内的解析函数，则根据复连通区域中的柯西公式，有3.4洛朗级数展开

3.4洛朗级数展开将式(3.4-4)和式(3.4-5)分别代入式(3.4-3)右边的两个积分中，则可以得到由复连通区域的柯西定理可知，上式中的两个积分相等。因此，可以得到其中证毕。3.4洛朗级数展开关于洛朗展开，需要如下几点说明：(1)洛朗展开与泰勒展开的不同之处在于它含有(z-z0)的负幂项，而泰勒展开只有(z-z0)的正幂项。这些负幂项与函数

f(z)在z0

点的奇异性有关。(2)尽管洛朗展开的系数an

与泰勒展开的系数an

都可以表示成但对于洛朗展开，an≠f(n)(z0)/n!，这是因为z0

不属于所考虑的环状区域内。(3)如果z0

是函数

f(z)的奇点，则内圆的半径可以无限小，并无限地接近圆心，这时称式(3.4-1)为f(z)在孤立奇点z0

的邻域内的洛朗展开。(4)与泰勒展开一样，洛朗展开也是唯一的。利用这种展开的唯一性，可以使用可能的简便方法将函数在环状区域内展开，最终结果保持不变。

解：由于ez在该环形区域内解析，先在z=0点把它展开成泰勒级数，即

这样有显然，该级数含有负幂项。3.4洛朗级数展开3.4洛朗级数展开

3.4洛朗级数展开上面两种级数的展开式表明：同一个函数在不同的区域中进行展开时，其展开的级数形式不一样。也就是说，对于一个解析函数的洛朗展开，其展开的结果不仅依赖于函数的形式，还依赖于所展开的区域形状(环形区域的半径及圆点)。把函数f(z)=e1/z

在z=0的邻域内展开成洛朗级数。解：根据函数ez

在z=0的展开形式并将z

换成1/z，则可以得到这个级数有无限多的负幂项。

这样有

3.4洛朗级数展开3.4洛朗级数展开

其中展开系数为

3.4洛朗级数展开(2)间接展开法：当z≠0时，有

则3.4洛朗级数展开由于洛朗级数展开的唯一性，式(3.4-8)和式(3.4-10)应相等，即

我们将在第十三章对贝塞尔函数的性质进行详细地讨论。其中展开系数被称为n

阶贝塞尔级数(函数)。3.5孤立奇点的分类3.5孤立奇点的分类在上一节介绍洛朗级数展开时曾提到过一个函数的孤立奇点的概念。现在进一步阐述这一概念。若函数

f(z)在某点z0

不可导，而在z0

的任意小邻域内除z0

外处处可导，则称z0

为函数

f(z)的孤立奇点。若在z0

点的无论多么小的邻域内总能找到除z0

以外的不可导的点，则称z0

为函数

f(z)的非孤立奇点。

根据洛朗级数的展开形式，有如下三种类型的孤立奇点：(1)若在

f(z)的洛朗级数中没有负幂项部分，则称z0

为

f(z)的可去奇点。(2)若在

f(z)的洛朗级数中有有限个负幂项部分，则称z0

为

f(z)的极点。(3)若在

f(z)的洛朗级数中有无穷多个负幂项部分，则称z0

为

f(z)的本性奇点。下面我们进一步分析这三种孤立奇点的差异：3.5孤立奇点的分类(1)可去奇点

(2)极点如果将函数

f(z)在其孤立奇点z0的邻域内展开成洛朗级数，有如下形式其中a-m≠0，且φ(z)=a-m+a-m+1(z-z0)+…为解析函数，则称z0为f(z)的m阶极点。

3.5孤立奇点的分类(3)本性奇点

目录第4章

留数定理及应用

4.1留数定理4.2留数的计算方法4.3留数定理的应用4.4补充内容第1篇复变函数及应用4.1留数定理4.1留数定理

现在以z0

为圆心，作一个圆周线c，并将上式两边沿着c积分，则有利用积分公式(2.1-8)则有4.1留数定理可见，在洛朗级数展开式中，系数a-1

具有独特的地位，它直接与函数

f(z)沿回路c的积分有关。因此，专门给a-1

起了个名字，称为函数

f(z)在z0

的留数(Residue)，通常记为a-1

=Resf(z0)，则留数定理：设函数

f(z)在闭合围道c内除去有限个孤立奇点z1，z2，…，zn

外单值解析，而且在c上没有奇点，则有其中Resf(zk)是函数

f(z)在第k个孤立奇点zk

处的留数。证明：以zk

为圆心，作小的圆周ck(k=1，2，…，n)，使得这些小圆均位于闭合围道c内，且彼此相互隔离，如图4-1所示。这样由复连通区域中的柯西定理，则有然后，把

f(z)展开成洛朗级数，并利用式(4.1-4)，即可以得到留数定理。4.2留数的计算方法4.2留数的计算方法由留数定理可以看出，计算函数

f(z)沿着闭合围道c的积分，可以归结为计算留数Resf(zk)的问题。原则上讲，只要将函数

f(z)在以奇点zk

为圆心的环形区域上展开成洛朗级数，并取该级数的负一次幂的系数a-1就行了。但是，如果能够不对函数

f(z)进行洛朗级数展开而直接计算出留数，那将使计算积分的工作量减轻很多。下面介绍计算留数的方法。1.一阶极点的情况假设函数

f(z)在所考虑的区域D

内有一个极点z0，且是一阶的，则它在z0

点的邻域内的洛朗展开式为将上式两边乘以(z-z0)，然后令z

→z0，则可以得到这就是计算一阶极点的留数的基本公式。若函数

f(z)=P(z)/Q(z)，其中P(z)及Q(z)都在z0

点及其邻域内解析，且z0

是Q(z)的一阶零点及P(z0)≠0，则有其中用到了Q(z)在z0

点的泰勒展开式2.m

阶极点的情况(m

≥2)假设函数

f(z)在所考虑的区域D

内有一个m

阶极点z0，则它在z0

点的邻域内的洛朗展开式为其中a-m≠0。将上式两边同乘以(z-z0)m，则可以得到然后，求导(m-1)次，有最后，令z

→z0，则可以得到留数为这就是求m

阶极点的留数的基本公式。显然，当m=1时，式(4.2-3)即退化为一阶极点的留数计算公式(4.2-1)。

2.m

阶极点的情况(m

≥2)

解：可以将被积函数的分母写为εz2+2z+ε=ε(z-z1)(z-z2)，其中

解：可以看出，该函数有两个极点，分别为三阶极点z=0和一阶极点z=i，它们对应的留数分别为2.m

阶极点的情况(m

≥2)2.m

阶极点的情况(m

≥2)

故该函数沿着单位圆周的积分为可以看出，利用留数定理来计算一个复变函数沿着一个闭合围道的积分，其基本步骤如下：(1)首先确定被积函数在这个闭合围道内的所有极点，并判断每个极点的阶数：(2)利用计算留数的公式，计算出被积函数在该极点的留数：(3)最后，利用留数定理，即可确定出该积分的值。4.3留数定理的应用4.3留数定理的应用

类型一

有理三角函数积分其中被积函数是cosθ

或sinθ

的有理函数，且在0，2π内连续。作积分变量代换z=eiθ，则有

当有理函数在单位圆周c内有n

个孤立奇点时zk

k=1，2，…，n，则由留数定理有

解：令z=eiθ，则有

解：令z=eiθ，则有

类型一

有理三角函数积分

解：首先利用三角函数公式cos2θ=1-2sin2θ，可以把该积分转化成然后令z=eiθ，则有其中类型一

有理三角函数积分类型一

有理三角函数积分由于z1

不在单位圆内，所以由留数定理有由以上讨论可以看出，对于利用留数定理计算这种有理三角函数的积分，其基本步骤为：(1)通过变量替代z=eiθ，把原来的积分(积分区间从0到2π)转化成沿着复平面上一个单位圆的积分，其中圆心位于原点：(2)找出被积函数在单位圆内的所有极点，并判断每个极点的阶：(3)根据计算留数的公式，计算出被积函数在每个极点的留数：(4)最后，根据留数定理，就可以得到积分结果。类型二

无穷积分其中：①

与实变函数

f(x)相对应的复变函数

f(x)在实轴上没有奇点，在上半平面上除有限个奇点外是解析的：②

在实轴及上半平面上，当|z|→∞时，有|zf(z)|→0。要想利用留数定理计算上面的积分，首先需要进行如下操作：(1)设R为一无限大的正常数，则可以将积分[式(4.3-5)]写成(2)以R

为半径，在上半平面作一个半圆形回路，其中半圆周为cR，圆心位于坐标原点，见图4-2。这样则有类型二

无穷积分(3)由于当|z|→∞时，|zf(z)|→0，则则有其中|

上半平面

为函数

f(z)在上半平面的留数之和。说明：(1)如果函数

f(z)在下半平面除有限个奇点外处处解析，则也可以用下半平面的留数定理来计算积分[式(4.3-5)]，其积分结果与式(4.3-6)的右边相似，但相差一个负号。(2)当

f(x)是x

的偶函数时，则有

则由留数定理，有类型二

无穷积分

则由留数定理有类型二

无穷积分对于利用留数定理计算这种无穷积分，其基本步骤如下：(1)对原有的积分路径进行补充，使之变成一个闭合的围道，如上半平面或下半平面的半圆：(2)确定被积函数在上半平面(或下半平面)上的所有极点和极点的阶数，并计算出相应的留数：(3)根据留数定理，即可以得到积分的值。类型三

含有三角函数的无穷积分其中：①m

为大于零的实数：②

与

f(x)对应的复变函数f(z)在上半平面除有限个奇点外处处解析：③

在实轴及上半平面上，当|z|→∞时，有|f(z)|→0。为了完成上面的积分计算，需要引入一个重要的引理，即约当引理：设当|z|→∞时，函数

f(z)在上半平面及实轴上一致趋于零，则其中m>0，cR

是以z=0为圆心、以R

为半径的半圆周，位于上半平面。证明：在，cR

上，设z=Reiθ，则类型三

含有三角函数的无穷积分取R

足够大，使得f(Reiθ)<ε，其中ε

为任意小的正数，则

可见，当R

→∞时，上式的结果趋于零，这就证明了约当引理。下面利用约当引理及留数定理完成式(4.3-8)的积分。在上半平面上，以零点为圆心，以R为半径作一个半圆，对应的半圆周为cR，则有

由公式(4.3-11)，可以得到类型三

含有三角函数的无穷积分由约当引理，显然当R→∞时，上式右边的第二项的积分结果为零。再根据留数定理，有特别地，当

f(x)为偶函数时，则有而当

f(x)为奇函数时，则有

再由公式(4.3-12)，可以得到类型三

含有三角函数的无穷积分关于利用留数定理计算这种含有三角函数的无穷积分，其基本步骤如同前