数学物理方法 课件 13柱函数、14量子力学中的特殊函数

目录第13章

柱函数13.1贝塞尔方程的级数解13.2贝塞尔函数的基本性质13.3贝塞尔方程的本征值问题第3篇

特殊函数13.4贝塞尔方程本征值问题的应用举例13.5虚宗量贝塞尔函数13.6球贝塞尔函数13.1贝塞尔方程的级数解13.1贝塞尔方程的级数解可以把贝塞尔方程写成如下一般形式其中ν

可以是整数，也可以是半整数。可以看到，x=0是该方程的一个奇点。下面将方程(13.1-1)的解y(x)在x=0的邻域内(|x|>0)进行级数展开，即其中ρ

为待定常数，ck

为展开系数，且要求c0≠0。对式(13.1-2)两边求导，则有将方程(13.1-1)两边同乘以x2，并分别把式(13.1-2)~式(13.1-4)代入，则可以得到13.1贝塞尔方程的级数解比较上式中x

的同次幂的系数，有可见，由于要求c0≠0，则有下面分两种情况进行讨论：(1)当ρ=ν

时，则有根据上面的关系，可以看到所有奇次幂的系数均为零，只有偶次幂的系数不为零，即13.1贝塞尔方程的级数解由此可递推出其中c0为常数。利用高等数学中的

Γ函数的定义及其递推关系式13.1贝塞尔方程的级数解则可以把系数c2k

表示为可见只要知道了零次幂的系数c0，那么所有偶次项的系数c2k

就可以确定下来。通常取将式(13.1-13)代入式(13.1-12)，则有利用c2k+1=0，并将式(13.1-14)代入式(13.1-2)，则可以得到方程(13.1-1)的一个特解为称Jν(x)为ν

阶贝塞尔函数。13.1贝塞尔方程的级数解(2)当ρ=-ν

时，类似地，可以得到方程(13.1-1)的另外一个特解为当ν

不是整数时，可以证明Jν(x)与J-ν(x)是线性无关的。这是因为当x

→0时，Jν(0)的值有限，而J-ν(0)→∞，则Jν(x)/J-ν(x)的比值不可能是一个常数。例如，当ν=1/2时，有

则可以把J1/2(x)表示为13.1贝塞尔方程的级数解当ν=-1/2时，利用则有可见J1/2(x)与J-1/2(x)线性无关。这样当ν

不是整数时，贝塞尔方程(13.1-1)的通解为其中c1

及c2

为常数。不过，通常也把贝塞尔方程的通解表示为其中为诺伊曼函数。显然，当ν

不是整数时，Nν(x)与Jν(x)也是线性无关的。13.1贝塞尔方程的级数解当ν=m

为正整数时，根据式(13.1-15)及Γ函数的性质则有当ν=-m

为负整数时，类似地可以得到可以证明，这时Jm(x)与J-m(x)是线性相关的，也就是说Jm(x)与J-m(x)是方程(13.1-1)的两个线性相关的解。根据Γ函数的定义式，可知：当式(13.1-24)中的k-m≤0时，Γ(k-m+1)→∞，即1/Γ(k-m+1)→0，因此有令l=k－m，则有13.1贝塞尔方程的级数解可见有即Jm(x)与J-m(x)是线性相关的。由式(13.1-23)，还可以看到Jm(x)有如下特征：

13.1贝塞尔方程的级数解而且是贝塞尔方程的一个解，与Jm(x)线性无关(这里不做证明)。当x

→0时，诺伊曼函数具有奇异性显然，当ν=m

为整数时，式(13.1-22)的右端为一个不定式，但它的极限存在这样，当ν=m

为整数时，贝塞尔方程(13.1-1)的通解为13.1贝塞尔方程的级数解其中c1

及c2为常数。通常，又可以把贝塞尔函数Jν(x)和诺伊曼函数

Nν(x)进行如下线性组合并称其为第一种和第二种汉克函数。显然，它们也是线性无关的。与诺伊曼函数一样，汉克函数在x=0也具有奇异性。当ν=m

及x

→0时，有这样，也可以把贝塞尔方程(13.1-1)的通解表示为通常称贝塞尔函数、诺伊曼函数和汉克函数分别为第一类、第二类和第三类柱函数。13.2贝塞尔函数的基本性质1.贝塞尔函数的生成函数

其中x

为实变量，t为复变量，且0<|t|<∞。如果令t=ieiθ，则有这就是平面波函数按照贝塞尔函数的展开式。1.贝塞尔函数的生成函数如果令t=eiθ，则有比较上式两边的实部和虚部，可以得到如果在式(13.2-4)和式(13.2-5)中令θ=π/2，则可以得到1.贝塞尔函数的生成函数根据式(13.2-1)，有比较两边t的同次幂的系数，则可以得到如下加法公式如果在式(13.2-8)中令y=-x

及m=0，并利用Jm(0)=δm，0

及J-k(-x)=Jk(x)，则可以得到如下求和公式2.贝塞尔函数的积分表示式在

§3.4节中，根据洛朗级数的展开式，曾得到整数阶贝塞尔函数的积分表示式为见式(3.4-11)，其中m=0，±1，±2，±3，…。由于上式的被积函数是一个周期函数，因此可以把积分区间变为[-π，π]，即

如果再把式(13.2-12)中的x

变为-x，并利用Jm(-x)=(-1)mJm(x)，则又可以得到由于sin(xsinθ－mθ)和cos(xsinθ－mθ)分别是奇函数和偶函数，则又可以把式(13.2-11)变为这就是

m阶贝塞尔函数的实数形式的积分表示式。由这个积分还可以看出贝塞尔函数的绝对值是小于1的，即这与式(13.2-9)是一致的。3.贝塞尔函数的递推关系根据贝塞尔函数的级数表示式(13.1-15)，可以得到即类似地，可以得到如果在式(13.2-17)中取ν=0，则可以得到如果把式(13.2-16)和式(13.2-17)的左边展开，则得到3.贝塞尔函数的递推关系将式(13.2-19)和式(13.2-20)相减，则有将式(13.2-19)和式(13.2-20)相加，则有式(13.2-21)和式(13.2-22)是贝塞尔函数的两个重要的基本递推关系。当ν=n为整数时，根据贝塞尔函数的生成函数关系式[见式(13.2-1)]，也可以得到上面的递推关系。利用递推关系式(13.2-16)和(13.2-17)，可以得到如下含贝塞尔函数的不定积分3.贝塞尔函数的递推关系例如，取m=0时，由式(13.2-24)可以得到可以看出，上面得到的递推关系式都是贝塞尔函数的线性关系式。由于诺伊曼函数Nν(x)是正、负阶贝塞尔函数的线性组合，因此上面得到的递推关系也适用于Nν(x)。此外，根据式(13.1-32)，汉克函数是贝塞尔函数和诺伊曼函数的线性组合，因此汉克函数也满足上面得到的递推关系式。这样，如果令Zν(x)表示ν阶的第一、第二及第三类柱函数，则有或4.贝塞尔函数的渐近表示式

将以上两式代入方程(13.1-1)，则可以得到

其中θ是相角。这样，由式(13.2-30)可以得到贝塞尔函数在x

→∞时的行为是4.贝塞尔函数的渐近表示式其中Aν

与θν

是两个与ν相关的常数。将式(13.2-31)两边对x微分，并保留低阶小量，则可以得到由贝塞尔函数的递推公式(13.2-17)，可以得到

显然有如下递推关系4.贝塞尔函数的渐近表示式由此可以得到另一方面，根据前面的讨论可知，当ν=1/2时，有将上式与式(13.2-31)比较，有则利用式(13.2-34)，可以得到这样，最后得到贝塞尔函数Jν(x)的渐近式为4.贝塞尔函数的渐近表示式类似地，还可以得到诺伊曼函数和汉克函数的渐近式为在一些数学物理教科书中，通常是采用最陡下降法给出贝塞尔函数的渐近形式，但推导过程非常繁琐，而本书介绍的推导方法则相对简单得多。13.3贝塞尔方程的本征值问题1.贝塞尔方程的本征值由前面的讨论可知，m

阶贝塞尔方程在半径为a

的圆柱内的本征解为其中μ为本征值，由柱侧面的齐次边界条件来确定。在一般情况下，柱侧面的齐次边界条件是或其中常数α

和β不同时全为零。下面分三种情况进行讨论。(1)对于第一类齐次边界条件，即α=0，这时有1.贝塞尔方程的本征值

1.贝塞尔方程的本征值

2.贝塞尔函数的正交性作为施图姆

刘维尔本征值问题的特例，对于不同本征值的同阶贝塞尔函数在区间0≤r

≤a

是正交的，即其中权重因子为r。注意：该正交性关系是在柱侧面(r=a)为齐次边界条件下成立的。3.贝塞尔函数的模

将上式对r积分，则可以得到再对上式左边第二项进行分部积分，得3.贝塞尔函数的模由于当m≠0时，有Ri(0)=Jm

(0)=0，故不论m

是否为零，上式左边第二项在积分下限的取值都等于零，这样有3.贝塞尔函数的模

4.贝塞尔函数的完备性如果函数f(r)在区间0≤r

≤a

内连续，则可以展开成如下广义傅里叶级数形式其中展开系数为13.4贝塞尔方程本征值问题的

应用举例13.4贝塞尔方程本征值问题的应用举例考虑一个半径为a

的无限长圆柱，其初始温度为u0，表面温度维持在零度。求圆柱内部的温度分布。解：圆柱内部瞬时温度场分布u满足如下热传导方程对应的初始条件和边界条件分别为采用圆柱坐标系(r，φ，z)，并取z

轴的方向沿着柱的对称轴，显然温度场的空间分布u

与方位角φ

无关。另一方面，由于假设圆柱是无限长的，则温度场的空间分布u

也与变量z无关，它只是径向变量r和时间变量t的函数，即u=u(r，t)。这样，热传导方程(13.4-1)简化为13.4贝塞尔方程本征值问题的应用举例令u(r，t)=R(r)T(t)，可以对方程(13.4-4)进行分离变量，得到其中μ是常数，即本征值。对边界条件(13.4-3)进行分离变量，有方程(13.4-5)是零阶贝塞尔方程，在r=0有界的解是常数μ

由边界条件(13.4-7)确定，即由零阶贝塞尔函数J0(x)的零点xi

来确定13.4贝塞尔方程本征值问题的应用举例其中0<x1<x2<…。这样，可以把式(13.4-8)改写成把本征值μi

代入方程(13.4-6)，则可以得到它的解为其中ci

为常数。根据上面的结果，则满足方程(13.4-1)和齐次边界条件(13.4-3)的特解为为了得到满足初始条件(13.4-2)的解，需要对该特解进行叠加常数ci由初始条件来确定。由式(13.4-2)，则有13.4贝塞尔方程本征值问题的应用举例

13.4贝塞尔方程本征值问题的应用举例

最后，可得方程(13.4-1)的最终解为

13.4贝塞尔方程本征值问题的应用举例考虑一个匀质圆柱，其半径为a，高度为h，侧面绝热，上下底面的温度分别保持为f2(r)及f1(r)。求圆柱内部的稳态温度分布。解：采用柱坐标系，并取坐标的原点在圆柱下底面的中心，z

轴沿着圆柱的轴。圆柱内部的稳态温度分布u

服从拉普拉斯方程对应的边界条件为及由于所考虑的问题具有轴对称性，因此温度场u的空间分布与方位角φ

无关，只是径向变量r

和轴向变量z的函数，即u=u(r，z)。这样方程(13.4-16)简化为13.4贝塞尔方程本征值问题的应用举例令u(r，z)=R(r)Z(z)，可以对方程(13.4-19)进行分离变量，得到其中μ

是常数。同时对边界条件(13.4-17)进行分离变量，有当μ>0时，方程(13.4-20)为零阶贝塞尔方程。考虑到在r=0处，该方程的解应有界，则有

13.4贝塞尔方程本征值问题的应用举例这样可以把式(13.4-23)改写为在这种情况下，方程(13.4-21)的解为其中Ai及Bi

为常数。这样方程(13.4-16)的特解为当μ=0时，考虑到边界条件(13.4-22)，则方程(13.4-16)的解应为常数，即R(r)=常数。可以将这个常数归结到Z(z)的表示式中，因此，可以取R(r)的形式为在这种情况下，方程(13.4-21)的解为13.4贝塞尔方程本征值问题的应用举例其中A0及B0

为常数。这样方程(13.4-16)的另一个特解为对以上得到的特解进行叠加，方程(13.4-16)的通解为为了确定常数A0，B0，Ai

及Bi，把该通解代入边界条件(13.4-18)，有将上面两式的两边分别乘以r，并对r进行积分，同时利用贝塞尔函数的正交性，可以得到13.4贝塞尔方程本征值问题的应用举例

这样根据式(13.4-33)和式(13.4-34)，就可以确定出常数A0，B0，Ai及Bi的值，进而确定出方程(13.4-16)的通解。13.4贝塞尔方程本征值问题的应用举例考虑一个横截面为环状的无限长圆柱体，其内外半径分别为a

和b。当该圆柱做径向振动时，假设其内表面固定，外表面自由。在初始时刻，圆柱处于静止，但有一个初始速度，为f(r)。求任意时刻该圆柱的振动过程及本征振动频率。解：圆柱体的振动方程为其中c为振动传播的速度。对应的边界条件是及初始条件为13.4贝塞尔方程本征值问题的应用举例在柱坐标系中，考虑到该问题具有轴对称性及圆柱的长度是无限的，则可以把方程(13.4-36)简化为设则可以得到其中ω

为待定的本征振动圆频率。同时对边界条件(13.4-37)进行分离变量，有13.4贝塞尔方程本征值问题的应用举例方程(13.4-41)是一个零阶贝塞尔方程，它在区域a

≤r≤b内的一般解为其中k=ω/c，A

和B

为常数。利用边界条件(13.4-43)，可以得到由于常数A和B

不能同时为零，则有

通过求解这个方程的根ki，就可以确定该问题的本征值及本征振动圆频率ωi=cki。13.4贝塞尔方程本征值问题的应用举例由式(13.4-45)，可以得到将其代入式(13.4-44)，有把本征频率ωi

代入方程(13.4-42)，可以得到这样振动方程(13.4-39)的一般解为其中已把式(13.4-47)中的常数Ai/N0(kia)合并到常数Ci

和Di

中。13.4贝塞尔方程本征值问题的应用举例将式(13.4-49)代入初始条件(13.4-38)，则有

这样，一旦知道函数

f(r)的具体形式，就可以计算出系数

Di，进而可以确定出方程(13.4-39)的一般解。13.5虚宗量贝塞尔函数13.5虚宗量贝塞尔函数第八章在讨论拉普拉斯方程在柱坐标系中分离变量时，如果柱的侧面具有非齐次边界条件，但其上下底为齐次边界条件，曾得到如下m

阶虚宗量贝塞尔方程[见式(8.3-12)]其中x

是实变量。很容易看出，如果令z=ix，可以把方程(13.5-1)变为自变量为z

的贝塞尔方程。也就是说，虚宗量贝塞尔方程的解可以用实变量贝塞尔函数来表示。这样，方程(13.5-1)的解可以用Jm(ix)表示。为了保证方程(13.5-1)的解是实数，通常把它的解表示为将贝塞尔函数的级数表示式(13.1-23)代入，则可以得到Im(x)就是m

阶虚宗量贝塞尔函数，或第一类虚宗量贝塞尔函数。利用J-m(x)=(-1)mJm(x)及式(13.5-2)，不难证明有13.5虚宗量贝塞尔函数这说明I-m

(x)与Im(x)是线性相关的。为了能构造出方程(13.5-1)的另外一个线性无关的解，引入一个新的函数

当ν≠m(整数)时，Kν(x)与Iν(x)线性无关。此外，还可以看到当ν

→m

时，可以证明，式(13.5-6)的极限

Km(x)存在，且与Im(x)线性无关：13.5虚宗量贝塞尔函数由式(13.5-3)，可以得到，当x=0时，有这说明虚宗量贝塞尔函数Im(x)在x=0点是有界的。而对于第二类虚宗量贝塞尔函数Km(x)，在x=0附近，有这说明Km(x)在x=0点无界，这一点与Im(x)相反。利用贝塞尔函数和汉克函数的渐近表示，见式(13.2-37)式和(13.2-39)式，则可以得到Im(x)和Km(x)在x→∞时的渐近行为可见，Km(x)在x

→∞时是有界的，而Im(x)则是无界的。13.5虚宗量贝塞尔函数根据柱函数的递推关系式(13.2-27)和(13.2-28)，不难证明对于第一类和第二类虚宗量贝塞尔函数，存在如下递推关系利用I-m(x)=Im(x)及

K-m(x)=Km(x)，并由式(13.5-13)和式(13.5-15)，可以得到由于Im(x)和

Km(x)是线性无关的，因此在一般情况下，虚宗量贝塞尔方程(13.5-1)的通解为其中c1

及c2为常数。在求解泛定方程的定解问题时，需要考虑Im(x)和Km(x)在x=0和在x→∞的行为来确定解的形式。13.5虚宗量贝塞尔函数设一半径为a，高为h

的圆柱体，其上下两端的温度保持为零，侧面温度保持为恒温u0。求圆柱体内部的稳态温度分布。解：由于考虑的是稳态温度分布，则柱内的温度分布函数u

满足拉普拉斯方程根据边界条件，可知该问题具有轴对称性，即温度u只是r和z的函数，与角度φ

无关，因此方程(13.5-20)简化为对应的边界条件为令u(r，z)=R(r)Z(z)，对方程(13.5-21)和边界条件(13.5-23)进行分离变量，可以得到13.5虚宗量贝塞尔函数其中λ

为待定的常数。显然，由式(13.5-24)可以确定出本征值和本征函数：将本征值λn

代入方程(13.5-25)，则有其中kn=nπ/h。方程(13.5-28)即为零阶虚宗量贝塞尔方程，其解为零阶第一类虚宗量贝塞尔函数I0(knr)和第二类虚宗量贝塞尔函数K0(knr)的线性组合。但考虑到在r=0处的解应有界，故其解只能是Rn(r)=I0(knr)。这样方程(13.5-21)的特解为13.5虚宗量贝塞尔函数将上面得到的特解进行叠加，有其中系数cn

由边界条件确定。将上式代入边界条件(13.5-22)，有利用正弦函数的正交性，可以得到可见，只有当n

为奇数2l+1时，系数cn

才不为零。将cn

代入式(13.5-30)，最后得到13.6球贝塞尔函数13.6球贝塞尔函数第八章在讨论亥姆霍兹方程在球坐标系中分离变量时，曾得到球贝塞尔方程[见式(8.4-27)]其中l=0，1，2，…。对于k≠0，如果令则可以得到半整数阶(l+1/2)贝塞尔方程

球贝塞尔函数：13.6球贝塞尔函数球诺伊曼函数：球汉克函数：

这样，由zl-1(x)和zl(x)即可推算出zl+1(x)。根据式(13.1-18)和式(13.1-19)给出的J1/2(x)和J-1/2(x)的表示式，可以得到13.6球贝塞尔函数利用式(13.6-9)，进一步可以得到可以看到，当l为整数时，球贝塞尔函数jl(x)可以用初等函数来表示。根据诺伊曼函数的定义式[见式(13.1-22)]，则有再根据球诺伊曼函数的定义式(13.6-6)，可以将球诺伊曼函数nl(x)用球贝塞尔函数j-l(x)来表示13.6球贝塞尔函数取l=0及l=-1，可以得到n0(x)=-j-1(x)及n-1(x)=j0(x)。根据式(13.6-10)及式(13.6-11)，则有利用式(13.6-9)，进一步可以得到同样当l为整数时，球诺伊曼函数也可以用初等函数来表示。13.6球贝塞尔函数由汉克函数的定义式[见式(13.1-32)]及球汉克函数的定义式[见式(13.6-7)及式(13.6-8)]，则可以得到再利用前面得到的jl(x)和nl(x)的表示式，可以得到13.6球贝塞尔函数根据球贝塞尔函数及球诺伊曼函数的定义式(13.6-4)和(13.6-6)，以及贝塞尔函数的级数表示式(13.1-15)，很容易看到：当x

→0时，有及另一方面，当x

→∞时，根据贝塞尔函数和诺伊曼的渐近表示式(13.2-37)和(13.2-38)，可以得到这样，借助于球贝塞尔函数和球诺伊曼函数的渐近表示式，可以进一步得到球汉克函数的渐近表示式13.6球贝塞尔函数根据第八章的讨论可知，球贝塞尔方程是施图姆

刘维尔方程的一个特例，因此对于不同本征值ki

和kj(i≠j)的球贝塞尔函数在区间0≤r≤a内应是正交的，即其中权重因子为r2。另一方面，由于本征函数jl(kir)是完备的，因此在该区间上的函数f(r)可以以jl(kir)作为基函数进行展开其中展开系数为

13.6球贝塞尔函数一个匀质的小球，其半径为r0。初始时刻球的温度为f(r，θ)，表面温度维持在零度。求小球内部的温度分布。解：取球坐标系，坐标原点选在球心处，对应的定解问题是考虑到问题的对称性，温度场与方位角φ

无关，即u=u(r，θ，t)。同时，考虑到在球心处的温度场应有限。这样对泛定方程分离变量u(r，θ，t)=R(r)Θ(θ)T(t)，可以得到方程的特解为其中本征值k

由齐次边界条件确定，即13.6球贝塞尔函数由l阶球贝塞尔函数的零点xi，即可以确定出对不同本征值的特解进行叠加，则泛定方程的通解为其中系数Ali

由初始条件确定，即根据勒让德函数的正交性及球贝塞尔函数的正交性，可以得到

目录第14章

量子力学中的特殊函数14.1薛定谔方程14.2简谐振子的波函数与厄密函数第3篇

特殊函数14.3氢原子的波函数与广义拉盖尔函数14.1薛定谔方程14.1薛定谔方程在量子力学描述中,认为微观粒子具有波粒二象性,并可以用一个概率波函数ψ(r,t)来描述微观粒子的状态。在任意时刻t在空间r处单位体积内发现一个粒子的概率为|ψ(r,t)|2。在全空间内,发现该粒子的概率应为1,即该式是波函数的归一化条件。波函数ψ(r,t)满足薛定谔方程

为粒子的哈密顿算子,μ

是微观粒子的质量,V(r)是微观粒子所处的势场。由于方程(14.1-2)是一个线性齐次方程,因此可以采用分离变量法求解。令14.1薛定谔方程并代入方程(14.1-2),可以得到如下两个方程其中E

为本征值。式(14.1-5)为定态薛定谔本征方程或本征方程,它表明u(r)函数是哈密顿算子

的本征函数。方程(14.1-6)的解为其中c1

为常数。这样任意时刻的波函数为对于自由粒子,即没有势场V(r)存在时,方程(14.1-5)变为其解为14.1薛定谔方程其中c2

为常数,。将式(14.1-10)代入式(14.1-8),可以得到t时刻自由粒子的波函数为其中ω=E/ћ,A=c1c2。式(14.1-11)是一个典型的平面波的表示式。当粒子的运动处于束缚状态下,哈密顿算子

的本征值为一系列的离散值,本征函数也为一系列的离散函数,即由于薛定谔方程是线性的,应服从叠加原理,因此t时刻束缚态粒子的波函数为其中ωn

=En/ћ,cn

为叠加系数。假设在初始时刻t=0粒子的波函数为将其代入式(14.1-13),则有14.1薛定谔方程可以证明,哈密顿算子是厄密算子,它的本征函数满足正交归一性条件,即

将式(14.1-13)代入波函数归一化条件(14.1-1),并利用式(14.1-16),则可以得到本征值En

及本征函数un

的形式取决于哈密顿算子的形式,即取决于势场V(r)的形式。在下面两节,我们分别以简谐振子和氢原子为例,来介绍如何求解方程(14.1-12)以及确定出本征值和本征函数。尤其是我们将看到,对于这两种势场,本征函数将与一些特殊函数有关。14.2简谐振子的波函数与

厄密函数14.2简谐振子的波函数与厄密函数在经典力学中,一个质量为μ的弹簧振子,在弹性力f=-kx

的作用下,将做简谐振动

这里我们取参考势能为零。可见简谐振子的势能V(x)是一个抛物型的势阱,见图14-1。

谐振子的运动要受到该势阱的约束,其最大位移为|xmax|=A。对于氢原子,原子核外只有一个电子,而且电子在内部库仑力的作用下绕原子核运动。

作为一种简化描述,可以近似地认为电子绕氢原子核的运动类似于一个简谐振子的运动。

氢原子核外面的电子运动要受到相互作用势的约束。14.2简谐振子的波函数与厄密函数1.厄密方程在量子力学描述中,简谐振子的运动状态具有波粒二象性,其波函数u(x)服从的本征方程为其中E

为简谐振子的本征能量。方程(14.2-3)左边括号中的第二项即为简谐振子的势能,见式(14.2-2)。为了便于求解方程(14.2-3),引入如下无量纲参数和变量这样可以把方程(14.2-3)约化为这是一个变系数的二阶常微分方程。当ζ

→±∞时,有λ

≪ζ2,则方程(14.2-5)简化为14.2简谐振子的波函数与厄密函数显然它的解为

,但考虑到当ζ→±∞时,u(ζ)应有限,故c1=0,即考虑到上面的渐近解,可以令则方程(14.2-5)变为该方程称为厄密方程。2.厄密函数下面采用级数展开法求解方程(14.2-9),即将该方程的解在ζ=0处展开成幂级数将上式代入方程(14.2-9),则可以得到14.2简谐振子的波函数与厄密函数要使上式两边相等,只有ζk

前面的系数相等,即即可以得到如下递推关系由此可以看到,如果给定了c0

和c1,就可以分别确定出所有偶次幂的系数c2k

和所有奇次幂的系数c2k+1,其中c0

和c1

是独立选取的。由此可以给出方程(14.2-9)的两个线性无关的解:这样方程(14.2-9)的通解为14.2简谐振子的波函数与厄密函数我们进一步讨论上述级数在ζ→±∞处的收敛行为。对于有限的λ值,当k→∞时,由递推关系式(14.2-11)可以得到

它的两个相邻系数的比值为14.2简谐振子的波函数与厄密函数

这样厄密方程(14.2-9)的解在ζ

→±∞时无界,即这不满足波函数的标准条件。为了确保波函数u(ζ)在ζ→±∞时有限,需要对幂级数展开式(14.2-10)进行截断,使之变成一个有界的多项式。由递推关系式(14.2-11)可以看到,如果取常数λ(与本征值E)为则当k=n时,有cn+2=0。这样就可以把幂级数展开进行截断,使之变成一个多项式。由此,可以把式(14.2-11)改写为如果cn

被确定,利用这个递推关系,则可以依次确定出系数cn-2,cn-4,…的值。通常规定常数cn

的值为14.2简谐振子的波函数与厄密函数这样有依次类推,可以得到一般项为将式(14.2-22)代入式(14.2-10),则得到方程(14.2-9)的有界解为14.2简谐振子的波函数与厄密函数通常称

Hn(ζ)为厄密函数或多项式。在(14.2-23)式中,M

是求和指标的最大值。由于它必须是整数,因此取由式(14.2-23),可以得到厄密多项式的前4项为根据以上结果,我们可以得到一维量子谐振子的本征能量为对应的本征波函数为

14.2简谐振子的波函数与厄密函数3.厄密多项式的递推关系利用式(14.2-23),对厄密多项式进行求导,则有因此有14.2简谐振子的波函数与厄密函数依次对上式求导n-1,则有将λn=2n+1代入方程(14.2-9),可以得到厄密多项式

Hn(ζ)满足的方程为分别将式(14.2-28)和式(14.2-29)代入方程(14.2-32),则得到如下递推关系如果用n

来替代n-1,则又可以把该递推关系改写成14.2简谐振子的波函数与厄密函数4.厄密多项式的正交性和模

下面确定厄密多项式的微分表达式。引入函数14.2简谐振子的波函数与厄密函数则可以得到根据上面的递推关系,可以得到再令14.2简谐振子的波函数与厄密函数把它代入方程(14.2-39),则可以得到函数Wn(ζ)所满足的方程可以看出,方程(14.2-41)正是厄密方程(14.2-32),因此有

Wn(ζ)=Hn(ζ)。这样由式(14.2-37)式和式(14.2-40),可以得到厄密多项式的微分表示式为利用厄密多项式的微分表示式,可以计算出厄密多项式的模,即将厄密多项式的微分表示式(14.2-42)代入,并进行分部积分,则可以得到14.2简谐振子的波函数与厄密函数

对上式右边再依次分部积分n-1次,则有利用式(14.2-31)的结果,最后可以得到厄密多项式的模为借助于厄密多项式的模,我们可以确定出谐振子本征波函数(14.2-27)中的归一化因子An。根据波函数的归一化条件并利用式(14.2-27),则有14.2简谐振子的波函数与厄密函数将式(14.2-44)代入,则得到归一化系数为这样归一化的谐振子的本征函数为利用式(14.2-25),可以得到前4个归一化的本征函数为14.2简谐振子的波函数与厄密函数由于厄密方程是施图姆-刘维尔方程的特例,因此厄密多项式也具有完备性,即对于任意在区间(-∞,∞)内连续的函数f(ζ),可以用厄密多项式展开成广义傅里叶级数利用厄密多项式的正交性和模的表示式,可以得到展开系数为14.3氢原子的波函数与

广义拉盖尔函数14.3氢原子的波函数与广义拉盖尔函数对于有心力场,即相互作用势仅是距离为r

的函数时,哈密顿算子为这时定态薛定谔方程(14.1-5)为对于有心力场,可以采用球坐标系来求解方程(14.3-2)。利用球坐标系中的拉普拉斯算子,可以把方程(14.3-2)写成类似于第八章的讨论,我们采用分离变量法求解方程(14.3-2)。令14.3氢原子的波函数与广义拉盖尔函数可以得到径向函数R(r)和球函数Y(θ,φ)所满足的方程分别为其中λ为待定常数。再进一步对方程(14.3-6)进行分离变量,Y(θ,φ)=Θ(θ)Φ(φ),可以得到函数Θ(θ)和Φ(φ)所满足的方程,其中前者所满足的方程为连带勒让德方程,见第八章。由第十二章的讨论可知,仅当λ=l(l+1)(l=0,1,2,…)时,勒让德方程或连带勒让德方程在θ=0和θ=π处才存在有界解。方程(14.3-6)的解可以用归一化的球函数来表示,其中m=0,±1,±2,±3,…,±l,l=0,1,2,3,…,见

§12.5节。将λ=l(l+1)代入方程(14.3-5),则有可见方程(14.3-8)的解依赖于势场V(r)的形式。下面我们分两种情况进行讨论。14.3氢原子的波函数与广义拉盖尔函数1.自由粒子的径向波函数当粒子远离势场中心时,可以近似地认为V(r)=0,这时可以认为粒子是自由的。在这种情况下,方程(14.3-8)变为

其中jl(kr)是球贝塞尔函数,见

§13.6节。对于这种自由粒子,定态薛定谔方程的一般解为其中clm

为叠加系数。如果所考虑的问题具有轴对称性(如粒子散射),则波函数与方位角φ

无关,这时式(14.3-11)退化为在

§14.1节中,我们已经得到自由粒子的波函数为u(r)=c2eik·r,见式(14.1-10)。

因此有这就是平面波按球面波展开的公式,可以证明叠加系数为cl=(2l+1)il

。14.3氢原子的波函数与广义拉盖尔函数2.广义拉盖尔方程对于氢原子,原子核外面只有一个电子,而且电子与原子核之间的相互作用势为库仑势这里我们已假定原子核不动,其中心为坐标原点,r

为电子到原子核中心的距离。对于一些类氢离子,如He+,Li2+

及Be3+

等,由于它们的原子核外也只有一个电子,因此它们的势能也可以用库仑势来描述其中Z

为原子核的价数。这样对氢原子和类氢离子,方程(14.3-8)则变为这里μ是电子的质量。为了便于求解,引入函数

χ(r)则可以把方程(14.3-16)改写为14.3氢原子的波函数与广义拉盖尔函数由于库仑力的作用,电子在原子核外面做轨道运动时要受到约束。电子被束缚时的运动状态为“束缚态”,其特点是本征能量小于零,即E<0。在如下讨论中,我们只考虑束缚态的情况。为了便于求解,引入无量纲的参数和无量纲的变量这样方程(14.3-18)就变为在没有求解方程(14.3-21)之前,让我们首先分析一下在x→∞和x

→0的情况下其解的行为。对于x

→∞的情况,方程(14.3-21)左边括号中的第一项和第三项均为小量,因此有很显然该方程在x

→∞时的有界解为χ(x)=Ae-x/2,其中A

为常数。而在x

→0时,方程(14.3-21)左边括号中的第一项和第二项均为小量,因此有14.3氢原子的波函数与广义拉盖尔函数它在x

→0时的有界解为χ(x)=Bxl+1,其中B

为常数。基于以上分析,在一般情况下,可以令方程(14.3-21)的解为则有将式(14.3-24)及式(14.3-26)代入方程(14.3-21),可以得到如下关于y(x)的方程其中方程(14.3-27)为标准的n

阶广义拉盖尔方程。14.3氢原子的波函数与广义拉盖尔函数3.广义拉盖尔多项式由于广义拉盖尔方程(14.3-27)是一个变系数的二阶常微分方程,而且x=0是它的一个常点,因此我们可以把它的解在x=0及其领域上展开成如下形式的幂级数将式(14.3-29)代入方程(14.3-27),可以得到要使上式两边相等,只有xk

前面的系数相等,即可见一旦给定了零次幂的系数c0,由这个递推关系式就可以确定出k

次幂的系数ck。但是我们注意到,该级数的收敛半径为无穷大,即14.3氢原子的波函数与广义拉盖尔函数因此,当x

→∞时,级数式(14.3-29)不收敛。为了使级数式(14.3-29)在x

→∞时收敛,必须对该级数进行截断,使之变为一个多项式。由式(14.3-30)可以看到,如果取常数n

为整数(n=0,1,2,3,…),就可以把该级数进行截断,即当k>n

时,有ck=0,即由此可以得到14.3氢原子的波函数与广义拉盖尔函数在如下讨论中,取常数c0

的值为将式(14.3-32)和式(14.3-33)代入级数式(14.3-29)中,并把求和顺序倒过来写(即从k=n

开始),则有

如果在式(14.3-34)中取s=0,则有14.3氢原子的波函数与广义拉盖尔函数其中Ln(x)为拉盖尔多项式,它的前几项为将式(14.3-19)与式(14.3-28)联立,可以得到氢原子及类氢原子的本征能量为其中为主量子数。

可见氢原子及类氢原子的本征能量是离散的,且小于零。根据式(14.3-19),这时可以把参数α

写成14.3氢原子