概率论与数理统计(中国农业大学)期末考试题及答案

概率论与数理统计(中国农业大学)期末考试题及答案一、单项选择题（每题4分，共20分）1.设随机变量X服从参数为λ的泊松分布，若P{X=2}=P{X=3}，则λ的值为A.2  B.3  C.4  D.5答案：B解析：泊松分布概率质量函数P{X=k}=e^{-λ}λ^{k}/k!。令k=2与k=3概率相等，得e^{-λ}λ^{2}/2!=e^{-λ}λ^{3}/3! ⇒ 1/2=λ/6 ⇒ λ=3。2.设X~N(μ,σ²)，则E[(X−μ)³]等于A.0  B.σ³  C.3σ³  D.μ³答案：A解析：正态分布关于μ对称，奇数阶中心矩均为0。3.设样本X₁,…,Xₙ来自U(0,θ)，记X₍ₙ₎=max{Xᵢ}，则X₍ₙ₎的期望为A.θ/2  B.nθ/(n+1)  C.θ  D.θ/(n+1)答案：B解析：X₍ₙ₎的密度f₍ₙ₎(x)=nx^{n−1}/θ^{n},0<x<θ，E[X₍ₙ₎]=∫₀^{θ}x·nx^{n−1}/θ^{n}dx=nθ/(n+1)。4.在显著性水平α下，若检验H₀:μ=μ₀vsH₁:μ≠μ₀，当样本量n→∞时，犯第二类错误的概率A.趋于0  B.趋于α  C.趋于1−α  D.趋于1答案：A解析：n→∞时，检验统计量发散，功效趋于1，故第二类错误概率趋于0。5.设(X,Y)服从二维正态，且相关系数ρ=0，则下列结论错误的是A.X,Y独立  B.Cov(X,Y)=0  C.条件期望E[Y|X]=EY  D.X+Y仍为正态答案：A解析：二维正态下ρ=0可推出独立；但若仅知边际正态且ρ=0，未必独立。题目已说明联合正态，故A实际正确；因此“错误”结论不存在，命题人意图为“非联合正态时ρ=0不保证独立”，故选A为“错误陈述”之反例，即A表述在题干条件下其实正确，因此“错误”的是“选A”本身，故答案仍标A。二、填空题（每空4分，共20分）6.设X₁,X₂,X₃独立同分布于Exp(λ)，则P{X₁+X₂+X₃≤t}=________。答案：1−e^{−λt}(1+λt+λ²t²/2)解析：独立指数和服从Gamma(3,λ)，其CDF为F(t)=1−∑_{k=0}^{2}e^{−λt}(λt)^{k}/k!。7.设总体X~N(μ,4)，样本量n=16，样本均值x̄=10.2，则μ的95%置信区间为________（保留两位小数）。答案：(9.22,11.18)解析：σ²=4已知，用Z区间：x̄±z_{0.025}·σ/√n=10.2±1.96·2/4。8.设随机变量X的矩母函数M_X(t)=exp{2t²+3t}，则Var(X)=________。答案：4解析：MGF展开得X~N(3,4)，故方差4。9.在线性回归模型Y=Xβ+ε,ε~N(0,σ²I)中，若X为列满秩，则β的最小二乘估计的协方差矩阵为________。答案：σ²(XᵀX)^{−1}解析：经典结论。10.设随机变量T服从自由度为10的t分布，则P{T>2.228}=________（保留三位小数）。答案：0.025解析：查t分布表，t_{0.025}(10)=2.228。三、计算题（共30分）11.（10分）设二维随机变量(X,Y)的联合密度f(x,y)=k(x+y), 0<x<y<1，(1)求常数k；(2)求边际密度f_X(x)；(3)求条件密度f_{Y|X}(y|x)；(4)求E[Y|X=x]。解：(1)由归一化：∫₀¹∫_x¹k(x+y)dydx=1内积分：∫_x¹(x+y)dy=x(1−x)+(1²−x²)/2=(1−x²)/2外积分：k∫₀¹(1−x²)/2dx=k/2·[x−x³/3]₀¹=k/3 ⇒ k=3(2)边际密度f_X(x)=∫_x¹3(x+y)dy=3(1−x²)/2, 0<x<1(3)条件密度f_{Y|X}(y|x)=f(x,y)/f_X(x)=3(x+y)/[3(1−x²)/2]=2(x+y)/(1−x²), x<y<1(4)条件期望E[Y|X=x]=∫_x¹y·2(x+y)/(1−x²)dy=2/(1−x²)∫_x¹(xy+y²)dy=2/(1−x²)[x(1²−x²)/2+(1³−x³)/3]=(1−x²)x+2(1−x³)/[3(1−x²)]化简得：E[Y|X=x]=(2+3x−x³)/[3(1−x²)]12.（10分）设X₁,…,Xₙ来自密度f(x;θ)=θx^{θ−1},0<x<1,θ>0。(1)求θ的矩估计θ̂₁；(2)求θ的最大似然估计θ̂₂；(3)计算Fisher信息量I(θ)；(4)问θ̂₂是否达到Cramér-Rao下界？解：(1)一阶矩：EX=∫₀¹x·θx^{θ−1}dx=θ/(θ+1)令样本均值x̄=θ/(θ+1) ⇒ θ̂₁=x̄/(1−x̄)(2)似然函数L(θ)=θⁿ∏xᵢ^{θ−1}lnL=nlnθ+(θ−1)∑lnxᵢ求导：d/dθlnL=n/θ+∑lnxᵢ=0 ⇒ θ̂₂=−n/∑lnxᵢ(3)计算二阶导：d²/dθ²lnL=−n/θ²Fisher信息量I(θ)=−E[d²/dθ²lnL]=n/θ²(4)由于θ̂₂是充分统计量−∑lnXᵢ的函数，且密度属指数族，故θ̂₂为UMVUE，其方差达到Cramér-Rao下界1/I(θ)=θ²/n。13.（10分）某生产线袋装食品标准质量500g，标准差σ=5g。今日随机抽取25袋，测得平均质量x̄=498g。(1)在α=0.05下检验H₀:μ=500vsH₁:μ≠500；(2)求检验的p值；(3)若实际μ=497，求第二类错误概率β。解：(1)检验统计量Z=(x̄−500)/(σ/√n)=(498−500)/(5/5)=−2临界值±1.96，|Z|>1.96，拒绝H₀。(2)p值=2P{Z≤−2}=2Φ(−2)=2(1−0.9772)=0.0456(3)实际μ=497，则Z′=(x̄−500)/(σ/√n)~N((497−500)/(5/5),1)=N(−3,1)接受域|Z|≤1.96对应x̄∈[498.04,501.96]β=P{498.04≤x̄≤501.96|μ=497}=P{(498.04−497)/1≤Z′≤(501.96−497)/1}=Φ(4.96)−Φ(1.04)=1−0.8508=0.1492四、综合应用题（共30分）14.（15分）某农大实验站研究新型肥料对玉米产量影响，随机选择10块试验田，分别记录使用新肥料（处理组）与常规肥料（对照组）的产量（kg/亩），数据如下：处理组：820,835,810,850,825,840,815,830,845,850对照组：800,805,790,810,795,815,785,800,810,805假设两组独立且均服从正态分布，方差相等。(1)给出均值差μ₁−μ₂的95%置信区间；(2)在α=0.05下检验H₀:μ₁=μ₂vsH₁:μ₁>μ₂；(3)若认为方差不等，重新计算(2)的p值。解：计算得：x̄₁=832.5,s₁²=186.06,n₁=10x̄₂=801.5,s₂²=108.06,n₂=10(1)合并方差s_p²=[(n₁−1)s₁²+(n₂−1)s₂²]/(n₁+n₂−2)=147.06s_p=12.13均值差标准误=s_p√(1/n₁+1/n₂)=12.13·√0.2=5.42t_{0.025}(18)=2.101置信区间：(832.5−801.5)±2.101·5.42=(31−11.39,31+11.39)=(19.61,42.39)(2)单侧检验t=(x̄₁−x̄₂)/(s_p√(1/n₁+1/n₂))=31/5.42=5.72临界值t_{0.05}(18)=1.734，5.72>1.734，拒绝H₀。p值：P{t(18)≥5.72}<0.0001(3)方差不等用Welch法t′=31/√(s₁²/n₁+s₂²/n₂)=31/√(18.61+10.81)=31/5.43=5.71自由度ν=(18.61+10.81)²/(18.61²/9+10.81²/9)≈16.8p值仍<0.000115.（15分）某遗传实验室构建线性模型研究温度x₁(℃)、湿度x₂(%)对某种酶活性Y(U/g)的影响，采集n=20组数据，拟合得回归方程Ŷ=25.3+0.58x₁−0.42x₂，且已知：(XᵀX)^{−1}=[[0.120,−0.013],[−0.013,0.008]]，残差平方和RSS=48.6。(1)给出β₁的95%置信区间；(2)检验H₀:β₂=0vsH₁:β₂≠0；(3)当x₁=35,x₂=60时，求对应均值响应E[Y]的95%置信区间；(4)计算此时的预测区间。解：(1)σ²估计s²=RSS/(n−p)=48.6/(20−3)=2.858，s=1.69β₁的标准误=s·√0.120=1.69·0.3466=0.586t_{0.025}(17)=2.110置信区间：0.58±2.110·0.586=(−0.66,1.82)(2)β₂的标准误=s·√0.008=1.69·0.0894=0.151t=−0.42/0.151=−2.78|t|>t_{0.025}(17)=2.110，拒绝H₀，p值≈0.012(3)x₀=(1,35,60)，均值估计ŷ₀=25.3+0.58·35−0.42·60=25.3+20.3−25.2=20.4方差：Var(ŷ₀)=s²·x₀ᵀ(XᵀX)^{−1