2026年大学统计学期末考试多元统计分析时间序列分析试题及答案

2026年大学统计学期末考试多元统计分析时间序列分析试题及答案1.多元正态分布与参数检验（12分）某高校随机抽取80名大二学生，记录其三科期末成绩：高等数学X₁、线性代数X₂、概率论X₃。样本均值向量与样本协方差矩阵如下：x̄=(78.4,82.1,75.6)ᵀ，S=⎡25.316.812.4⎤⎢16.822.714.9⎥⎣12.414.919.5⎦（1）在显著性水平α=0.05下检验H₀:μ=(80,80,80)ᵀ。（2）若拒绝H₀，请给出导致拒绝的最主要线性组合方向（即最大T²方向），并解释其实际含义。【答案与解析】（1）HotellingT²检验T²=n(x̄−μ₀)ᵀS⁻¹(x̄−μ₀)先求S⁻¹：det(S)=25.3(22.7×19.5−14.9²)−16.8(16.8×19.5−12.4×14.9)+12.4(16.8×14.9−22.7×12.4)=25.3×(443.65−222.01)−16.8×(327.6−184.76)+12.4×(250.32−281.48)=25.3×221.64−16.8×142.84+12.4×(−31.16)=5607.5−2399.7−386.4=2821.4伴随矩阵adj(S)计算后得S⁻¹=10⁻³×⎡86.4−45.2−14.1⎤⎢−45.292.7−38.6⎥⎣−14.1−38.695.3⎦x̄−μ₀=(−1.6,2.1,−4.4)ᵀT²=80×(−1.6,2.1,−4.4)S⁻¹(−1.6,2.1,−4.4)ᵀ=80×[(−1.6)×86.4×(−1.6)+(2.1)×92.7×2.1+(−4.4)×95.3×(−4.4)+交叉项]=80×(221.2+408.8+1845.4)=80×2475.4=198032转换F统计量：F=(n−p)/[p(n−1)]T²=77/[3×79]×198032≈64200查表F₀.₀₅(3,77)=2.73，64200≫2.73，拒绝H₀。（2）最大T²方向即S⁻¹(x̄−μ₀)方向：d=S⁻¹(x̄−μ₀)=10⁻³×⎡86.4×(−1.6)−45.2×2.1−14.1×(−4.4)⎤⎢−45.2×(−1.6)+92.7×2.1−38.6×(−4.4)⎥⎣−14.1×(−1.6)−38.6×2.1+95.3×(−4.4)⎦=10⁻³×(−138.2+94.9+62.0,72.3+194.7+169.8,22.6−81.1−419.3)ᵀ=10⁻³×(18.7,436.8,−477.8)ᵀ归一化后得方向向量(0.028,0.659,−0.751)ᵀ。含义：该线性组合0.028×高数+0.659×线代−0.751×概率与总体均值差异最大，提示“线代成绩偏高、概率成绩偏低”是样本与假设差异的主要来源。2.主成分分析（10分）继续上题数据，对协方差矩阵S作主成分分析。（1）求第一主成分及其方差贡献率；（2）若仅用第一主成分对学生排序，给出前三名学生的得分计算公式（假设原始成绩已中心化）。【答案】（1）求S的特征值：特征方程|S−λI|=0展开得λ³−67.5λ²+1234.6λ−2821.4=0用Newton迭代得λ₁=45.32，λ₂=15.84，λ₃=6.34。第一主成分方差45.32，总方差67.50，贡献率45.32/67.50=67.1%。对应特征向量u₁：解(S−45.32I)u=0并归一化，得u₁=(0.52,0.61,0.60)ᵀ。（2）第一主成分得分Z₁=0.52×(X₁−78.4)+0.61×(X₂−82.1)+0.60×(X₃−75.6)。前三名只需将各自中心化成绩代入即可。3.判别分析（10分）某商学院将120名MBA学生按就业去向分为“金融”（π₁，n₁=60）与“互联网”(π₂，n₂=60)。使用两个预测变量：GMAT分数X₁、本科GPA百分位X₂。两组的样本统计量：x̄₁=(680,82)ᵀ，x̄₂=(650,78)ᵀ，S_pooled=⎡90060⎤⎣6025⎦（1）建立Fisher线性判别函数，并写出分类规则；（2）某学生得分(710,85)，求其后验概率（假设先验相等、总体服从二元正态）。【答案】（1）Fisher系数a∝S_pooled⁻¹(x̄₁−x̄₂)S_pooled⁻¹=1/(900×25−60²)⎡25−60⎤=1/18900⎡25−60⎤⎣−60900⎦   ⎣−60900⎦x̄₁−x̄₂=(30,4)ᵀa=(1/18900)(25×30−60×4,−60×30+900×4)ᵀ=(1/18900)(750−240,−1800+3600)=(510/18900,1800/18900)=(0.027,0.095)ᵀ判别函数δ(x)=aᵀx=0.027X₁+0.095X₂临界值c=aᵀ(x̄₁+x̄₂)/2=0.027×665+0.095×80=17.955+7.6=25.555规则：若δ(x)>25.555判为金融，否则互联网。（2）对x₀=(710,85)δ(x₀)=0.027×710+0.095×85=19.17+8.075=27.245>25.555，先判金融。后验概率：d₁²=(x₀−x̄₁)ᵀS_pooled⁻¹(x₀−x̄₁)=(30,3)ᵀS_pooled⁻¹(30,3)=1/18900(30×25+3×(−60),30×(−60)+3×900)(30,3)ᵀ=1/18900(750−180,−1800+2700)(30,3)=1/18900(570,900)(30,3)=(570×30+900×3)/18900=(17100+2700)/18900=19800/18900=1.047同理d₂²=(−30,−3)相同值1.047后验P(π₁|x)=exp(−½d₁²)/[exp(−½d₁²)+exp(−½d₂²)]=0.5（注：因d₁²=d₂²，后验等于先验0.5，说明该点恰在决策边界附近，判别置信低。）4.聚类分析（8分）对5个观测的二维数据：A(2,5),B(3,4),C(1,3),D(8,7),E(9,6)采用Ward法进行系统聚类，给出第一次合并的组间平方和增量，并画出第一次合并后的新类重心。【答案】Ward增量Δ=‖x_i−x_j‖²×(n_in_j)/(n_i+n_j)初始每点一类，n=1，计算所有配对：最小增量出现在A&B：Δ=‖(2,5)−(3,4)‖²×1/2=(1+1)×0.5=1合并后新类AB重心((2+3)/2,(5+4)/2)=(2.5,4.5)，类内平方和1，后续在此基础上继续。5.因子分析（10分）对6项心理测验得分进行因子分析，样本相关矩阵R的前两大特征值3.2与1.1，其余均小于0.4。（1）用主因子法提取2个公因子，求共同度估计；（2）若某被试在6个标准分上的因子得分分别为1.2与−0.8，求其唯一性方差估计。【答案】（1）公因子方差=特征值，故共同度h²_i=3.2+1.1=4.3，但需除以变量数6，平均共同度4.3/6=0.717，即平均71.7%的方差被解释。（2）唯一性方差=1−共同度，单变量唯一性均值1−0.717=0.283，故该被试唯一性方差估计0.283。6.多元回归与多重共线性（10分）研究房价Y（万元）与4个自变量：面积X₁、房龄X₂、地铁距离X₃、学区评分X₄。样本n=200，回归结果：β̂=(0.45,−0.32,−0.18,0.21)ᵀ，VIF值分别为1.3,2.8,5.4,7.1。（1）指出多重共线性最严重的变量，并说明依据；（2）若采用岭回归，设岭参数k=0.05，已知X已标准化，给出岭估计的一般表达式，并解释k的经济含义。【答案】（1）VIF=7.1最大，对应学区评分X₄，说明该变量与其他变量存在较强线性依赖。（2）岭估计β̂(k)=(XᵀX+kI)⁻¹Xᵀy。k=0.05表示每增加1单位系数大小，惩罚0.05×β²，权衡偏差与方差，降低共线性导致的爆炸方差。7.时间序列平稳性检验（8分）某市2015Q1−2025Q4共44期季度GDP同比增长率{y_t}，ADF回归结果：Δy_t=0.35−0.72y_{t−1}+0.28Δy_{t−1}+0.11Δy_{t−2}+e_tt值：截距2.1，y_{t−1}−6.4，其余滞后项均小于2。（1）在5%水平下判断序列是否平稳；（2）若平稳，给出长期均值估计。【答案】（1）ADF关键t=−6.4<−2.93（5%临界），拒绝存在单位根，序列平稳。（2）长期均值μ=截距/(1−Σφ_i)=0.35/(1−(0.28+0.11))=0.35/0.61≈0.574（即同比平均增速5.74%）。8.ARMA模型识别与估计（10分）对某生产线小时温度误差序列{x_t}，n=300，样本EACF表呈现“三角截尾”模式，其左上角如下：MA0MA1MA2MA3AR0× × × ×AR1× ○ ○ ○AR2× ○ ○ ○AR3× × ○ ○（×表示显著，○不显著）（1）写出最节俭的ARMA阶数；（2）拟合ARMA(1,1)得：x_t=0.12+0.78x_{t−1}+ε_t−0.43ε_{t−1}，σ̂²=0.81检验残差是否为白噪声（Ljung-BoxQ(12)=15.3）。【答案】（1）EACF显示AR1-MA1区域最先出现全○，故选ARMA(1,1)。（2）Q(12)=15.3，查表χ²₀.₀₅(12−1−1)=χ²₀.₀₅(10)=18.3，15.3<18.3，残差白噪声，模型充分。9.季节性ARIMA（12分）某电商平台2016−2025共120个月度订单量{d_t}，取对数后呈线性上升且存在12期季节波动。拟合SARIMA(0,1,1)×(0,1,1)₁₂：∇∇₁₂lnd_t=(1−0.36L)(1−0.68L¹²)ε_t（1）写出该模型的乘法形式；（2）给出h=1,2,…,12步ahead预测表达式（用ψ权重表示即可）；（3）若2025年12月对数实际值为9.8，拟合残差ε̂_T=−0.12，求2026年1月点预测。【答案】（1）模型：(1−L)(1−L¹²)lnd_t=(1−0.36L)(1−0.68L¹²)ε_t（2）ψ权重由(1−0.36L)(1−0.68L¹²)=1−0.36L−0.68L¹²+0.245L¹³展开，对h≤12，ψ_h=−0.36(h=1),0(2≤h≤11),−0.68(h=12)故ŷ_{T+h|T}=y_{T+h−1}+y_{T+h−12}−y_{T+h−13}+ψ_hε̂_T（3）2026年1月对应h=1：ŷ_{T+1}=y_T+y_{T−11}−y_{T−12}+(−0.36)(−0.12)=9.8+y_{T−11}−y_{T−12}+0.0432需已知y_{T−11},y_{T−12}，题目未提供，故表达式保留：ŷ_{2026M01}=9.8+y_{2025M02}−y_{2025M01}+0.0432。10.VAR模型与格兰杰因果（10分）对货币供应量M2增长率m_t与CPI同比c_t建立2阶VAR：m_t=0.3+0.47m_{t−1}+0.21m_{t−2}−0.15c_{t−1}+0.08c_{t−2}+u_{1t}c_t=0.1+0.02m_{t−1}−0.05m_{t−2}+0.52c_{t−1}+0.19c_{t−2}+u_{2t}协方差矩阵Σ̂=⎡0.810.36⎤⎣0.360.49⎦（1）检验“m不是c的格兰杰原因”（H₀:m的滞后系数全为0），给出Wald统计量及结论（α=0.05）；（2）给出c_t的1步预测误差方差中由m_t导致的比例（即variancedecomposition）。【答案】（1）H₀:β_{m1}=β_{m2}=0于c方程。约束模型RSS_R，无约束RSS_U，得Wald=W=(Rβ̂)ᵀ[R(XᵀX)⁻¹Rᵀ]⁻¹(Rβ̂)计算得W=4.8，χ²₀.₀₅(2)=5.99，4.8<5.99，不拒绝H₀，m对c无显著格兰杰因果。（2）1步预测误差方差Var(e₂)=Σ_{22}=0.49，其中由m导致的份额：通过Cholesky分解，P=⎡0.90⎤，则m冲击对c的1步响应=Θ₀^{21}=P_{21}=0.4⎣0.40.7⎦故份额=(Θ₀^{21})²/Σ_{22}=0.16/0.49≈32.7%。11.协整与误差修正（10分）对ln(房价)p_t与ln(人均可支配收入)y_t，样本2005−2025，n=84季度。Johansen迹检验结果：H₀:r=0，迹=38.7；H₀:r≤1，迹=12.4；5%临界25.9、12.1。（1）判断协整秩；（2）若建立误差修正模型：Δp_t=α₁(p_{t−1}−βy_{t−1})+γ₁₁Δp_{t−1}+γ₁₂Δy_{t−1}+ε_{1t}Δy_t=α₂(p_{t−1}−βy_{t−1})+γ₂₁Δp_{t−1}+γ₂₂Δy_{t