太原理工大学2009研究生数理统计期末试题及答案

太原理工大学2009研究生数理统计期末试题及答案一、单项选择题（每题4分，共20分）1.设随机变量X服从参数为λ的泊松分布，则P(X=k|X≥1)等于A.e^{-λ}λ^{k}/k!B.e^{-λ}λ^{k}/[k!(1-e^{-λ})]C.λ^{k}/k!D.λ^{k}e^{-λ}/(1-e^{-λ})答案：B解析：条件概率P(X=k|X≥1)=P(X=k)/P(X≥1)=e^{-λ}λ^{k}/k!÷(1-e^{-λ})，化简即得B。2.设X₁,X₂,…,Xₙ独立同分布于N(μ,σ²)，则统计量T=√n(X̄-μ)/S服从A.N(0,1)B.t(n-1)C.χ²(n-1)D.F(1,n-1)答案：B解析：由定义，样本均值与样本方差独立，且√n(X̄-μ)/σ～N(0,1)，而(n-1)S²/σ²～χ²(n-1)，故T=√n(X̄-μ)/S～t(n-1)。3.设X,Y独立，X～N(0,1)，Y～N(0,4)，则Z=X+Y的方差为A.1B.3C.5D.2答案：C解析：Var(X+Y)=VarX+VarY=1+4=5。4.设总体X～U(0,θ)，样本X₁,…,Xₙ，则θ的极大似然估计为A.X̄B.max{Xᵢ}C.min{Xᵢ}D.2X̄答案：B解析：似然函数L(θ)=θ^{-n}I_{θ≥maxXᵢ}，当θ取maxXᵢ时L(θ)最大。5.在显著性水平α下，若检验统计量落入拒绝域，则A.必然拒绝原假设B.必然接受原假设C.可能犯第一类错误D.可能犯第二类错误答案：C解析：拒绝原假设时，若原假设为真，则犯第一类错误，其概率恰为α。二、填空题（每空5分，共25分）6.设X～Exp(λ)，则E(X²)=________。答案：2/λ²解析：E(X²)=VarX+(EX)²=1/λ²+1/λ²=2/λ²。7.设X₁,…,Xₙ独立同分布于Bernoulli(p)，则样本比例p̂的方差为________。答案：p(1-p)/n解析：Var(p̂)=Var(X̄)=p(1-p)/n。8.设X～N(μ,σ²)，则P(|X-μ|≤1.96σ)=________。答案：0.95解析：由标准正态分布表，Φ(1.96)=0.975，故双侧概率为0.95。9.设X,Y的联合密度f(x,y)=2,0≤x≤y≤1，则Cov(X,Y)=________。答案：1/36解析：先求边缘密度f_X(x)=2(1-x),0≤x≤1，EX=∫₀¹x·2(1-x)dx=1/3，EY=∫₀¹y·2ydy=2/3，EXY=∫₀¹∫ₓ¹xy·2dydx=1/4，故Cov=1/4-1/3·2/3=1/36。10.设X₁,…,Xₙ独立同分布于N(μ,1)，则μ的95%置信区间为________。答案：X̄±1.96/√n解析：σ已知，用正态分位数1.96。三、计算题（共55分）11.（12分）设总体X的密度f(x;θ)=θx^{θ-1},0<x<1,θ>0。(1)求θ的矩估计θ̂_M；(2)求θ的极大似然估计θ̂_L；(3)比较二者的渐近方差。解：(1)EX=∫₀¹x·θx^{θ-1}dx=θ/(θ+1)。令样本均值X̄=θ/(θ+1)，解得θ̂_M=X̄/(1-X̄)。(2)似然函数L(θ)=θⁿ∏xᵢ^{θ-1}，对数似然lnL=nlnθ+(θ-1)∑lnxᵢ，求导得n/θ+∑lnxᵢ=0，故θ̂_L=-n/∑lnxᵢ。(3)计算Fisher信息量I(θ)=-E[∂²lnf/∂θ²]=1/θ²，故θ̂_L的渐近方差为1/(nI)=θ²/n。矩估计的渐近方差需用Delta方法：令g(μ)=μ/(1-μ)，则g'(μ)=1/(1-μ)²，故Var(θ̂_M)≈[g'(μ)]²Var(X̄)=[1/(1-μ)²]²·VarX/n。而VarX=θ/[(θ+1)²(θ+2)]，代入得渐近方差为θ²(θ+2)/[n(θ+1)²]，显然大于θ²/n，故MLE更有效。12.（13分）设X₁,…,Xₙ独立同分布于N(μ,σ²)，σ²未知。(1)给出μ的1-α置信区间；(2)若要求区间长度不超过L，求最小样本量n；(3)当α=0.05，L=0.2σ时，计算n。解：(1)用t分布：X̄±t_{α/2}(n-1)·S/√n。(2)长度2t_{α/2}(n-1)S/√n≤L，因S≈σ，近似得n≥[2t_{α/2}(n-1)σ/L]²，需迭代。(3)先取n₀=∞，t_{0.025}(∞)=1.96，得n₁=(2·1.96/0.2)²=384.16，取385；再查t_{0.025}(384)≈1.966，n₂=(2·1.966/0.2)²=386.4，取387；再查t_{0.025}(386)≈1.966，稳定，故n=387。13.（15分）设(X,Y)的联合分布为二维正态，均值向量(0,0)，协方差矩阵[[1,ρ],[ρ,1]]。(1)求条件期望E(Y|X=x)；(2)求条件方差Var(Y|X=x)；(3)设ρ=0.8，求P(Y>1|X=0.5)。解：(1)由二元正态性质，E(Y|X=x)=ρx。(2)Var(Y|X=x)=1-ρ²。(3)给定X=0.5，Y～N(ρ·0.5,1-ρ²)=N(0.4,0.36)，故P(Y>1|X=0.5)=P(Z>(1-0.4)/0.6)=P(Z>1)=0.1587。14.（15分）某生产线袋装盐重量服从N(μ,σ²)。随机抽取10袋，得x̄=498g，s=5g。(1)检验H₀:μ=500vsH₁:μ≠500，α=0.05；(2)求μ的95%置信区间；(3)若要求检验功效在|μ-500|=2g时达到0.9，求所需样本量。解：(1)t=(498-500)/(5/√10)=-2/1.581=-1.265，|t|<t_{0.025}(9)=2.262，不拒绝H₀。(2)498±2.262·5/√10=498±3.58，即(494.42,501.58)。(3)功效1-β=0.9，效应Δ=2，σ=5，单样本t检验，用非中心t近似：n≈[(z_{1-α/2}+z_{1-β})σ/Δ]²=(1.96+1.28)²·25/4=13.0，取14；再校正非中心参数δ=Δ√n/σ=2·√14/5=1.497，查功效表得功效≈0.89，略低，取n=15，δ=1.55，功效≈0.91，满足。四、综合应用题（共50分）15.（25分）为比较两种催化剂A、B对反应收率的影响，独立进行实验，得数据：A:n₁=12,x̄₁=85.2,s₁²=4.5B:n₂=15,x̄₂=83.5,s₂²=5.8假设收率服从正态分布且方差相等。(1)检验H₀:μ₁=μ₂vsH₁:μ₁≠μ₂，α=0.05；(2)求μ₁-μ₂的95%置信区间；(3)若取消方差相等假设，重新做(1)并比较结果；(4)给出效应量Cohen’sd的估计并解释其实际意义。解：(1)合并方差s_p²=[(11·4.5+14·5.8)/25]=5.23，s_p=2.29，t=(85.2-83.5)/(2.29√(1/12+1/15))=1.7/(2.29·0.387)=1.92，|t|<t_{0.025}(25)=2.06，不拒绝H₀。(2)差值1.7±2.06·2.29·0.387=1.7±1.83，即(-0.13,3.53)。(3)Welch检验：se=√(4.5/12+5.8/15)=0.93，t=1.7/0.93=1.83，df=(4.5/12+5.8/15)²/[(4.5/12)²/11+(5.8/15)²/14]=23.8，t_{0.025}(23.8)=2.07，仍不拒绝，但p值略小。(4)Cohen’sd=(x̄₁-x̄₂)/s_p=1.7/2.29=0.74，中等偏大效应，说明尽管统计不显著，实际差异可能值得关注，增大样本量可能得到显著结果。16.（25分）某校欲评估新教学法是否有效，随机抽取30名学生，记录前后测成绩差值dᵢ，得d̄=4.2，s_d=6.5。(1)检验H₀:μ_d=0vsH₁:μ_d>0，α=0.01；(2)求μ_d的99%单侧置信下限；(3)若真实平均提升为3分，求本次检验的功效；(4)若希望功效达到0.8，在α=0.05下单侧检验，需多大样本量？解：(1)t=4.2/(6.5/√30)=4.2/1.187=3.54>t_{0.01}(29)=2.46，拒绝H₀，认为提升显著。(2)下限d̄-t_{0.01}(29)·s_d/√30=4.2-2.46·1.187=1.28，即μ_d>1.28。(3)非中心参数δ=3/(6.5/√30)=3/1.187=2.53，查功效表得单侧功效≈0.96。(4)n≈[(z_{1-α}+z_{1-β})σ/Δ]²=(1.645+0.84)²·6.5²/3²=2.485·42.25/9≈11.7，取12。五、证明题（共20分）17.（10分）设X₁,…,Xₙ独立同分布于U(0,θ)，记X_{(n)}=max{Xᵢ}，证明T=(n+1)X_{(n)}/n是θ的无偏估计，并求其方差。证明：X_{(n)}的密度f_{(n)}(x)=nx^{n-1}/θⁿ,0<x<θ，故EX_{(n)}=∫₀^θx·nx^{n-1}/θⁿdx=nθ/(n+1)，于是E[T]=(n+1)/n·EX_{(n)}=θ，无偏。ET²=(n+1)²/n²·EX_{(n)}²，而EX_{(n)}²=∫₀^θx²·nx^{n-1}/θⁿdx=nθ²/(n+2)，故VarT=ET²-θ²=(n+1)²/n²·nθ²/(n+2)-θ²=θ²[(n+1)²/(n(n+2))-1]=θ²/[n(n+2)]。18.（10分）设X₁,…,Xₙ独立同分布于N(μ,σ²)，定义样本方差S²=1/(n-1)∑(Xᵢ-X̄