山西大学2026年《统计学导论》期末试题及答案

山西大学2026年《统计学导论》期末试题及答案一、单项选择题（每题2分，共20分）1.某研究者想比较三种不同教学方法对学生成绩的影响，最适合的统计方法是A.单样本t检验  B.配对t检验  C.单因素方差分析  D.卡方检验答案：C解析：比较三个及以上独立组的均值差异，应使用单因素方差分析（One-wayANOVA）。t检验仅适用于两组，卡方检验用于分类变量。2.若随机变量X~N(μ,σ²)，则P(μ-1.96σ≤X≤μ+1.96σ)约为A.90%  B.95%  C.99%  D.68%答案：B解析：标准正态分布在±1.96σ之间的面积约为0.95，即95%。3.在简单线性回归中，若决定系数R²=0.81，则相关系数r的绝对值为A.0.81  B.0.9  C.0.656  D.无法确定答案：B解析：R²=r²，故|r|=√0.81=0.9。4.下列哪项不是时间序列的构成要素A.长期趋势  B.季节变动  C.循环波动  D.抽样误差答案：D解析：抽样误差属于抽样调查概念，与时间序列分解无关。5.在假设检验中，增大样本量会导致A.α一定减小  B.β一定减小  C.检验功效一定增大  D.临界值一定增大答案：C解析：样本量增大，标准误减小，检验功效（1-β）提高；α由研究者事先设定，与样本量无关。6.对同一总体进行重复抽样，样本均值的分布称为A.样本分布  B.抽样分布  C.总体分布  D.经验分布答案：B解析：样本统计量的概率分布称为抽样分布。7.若两变量完全负线性相关，则其Pearson相关系数为A.0  B.1  C.-1  D.无法计算答案：C解析：完全负线性相关时，所有点落在一条斜率为负的直线上，r=-1。8.在列联表检验中，当期望频数小于5的单元格比例超过20%时，应A.增大样本量  B.使用Fisher精确检验  C.合并行列  D.以上均可答案：D解析：卡方检验要求期望频数不宜过小，可通过增大样本、合并类别或改用精确方法解决。9.若某指数今年为120，去年为100，则今年相对于去年的增长速度为A.20%  B.120%  C.16.7%  D.1.2%答案：A解析：增长速度=(120-100)/100=20%。10.在Bootstrap估计中，重复抽样的次数通常建议不少于A.100  B.500  C.1000  D.10000答案：C解析：为保证估计稳定，Bootstrap重复次数一般≥1000。二、多项选择题（每题3分，共15分，多选少选均不得分）11.下列属于描述统计方法的有A.直方图  B.箱线图  C.假设检验  D.茎叶图  E.散点图答案：ABDE解析：假设检验属于推断统计，其余为描述统计。12.关于p值，正确的说法有A.p值越小，拒绝原假设的证据越强B.p值表示原假设为真的概率C.p值大于显著性水平时，不能拒绝原假设D.p值与样本量无关E.p值依赖于检验统计量的观测值答案：ACE解析：p值是原假设成立下出现当前或更极端结果的概率，非原假设本身概率；样本量影响标准误，从而间接影响p值。13.下列哪些情况可能导致“伪回归”A.序列存在单位根且未协整B.遗漏重要解释变量C.解释变量与被解释变量互为因果D.残差存在异方差E.样本量过小答案：ABC解析：单位根非平稳且未协整时，t统计量分布扭曲；遗漏变量与双向因果造成估计偏误；异方差与小样本影响效率而非伪回归本质。14.关于置信区间，正确的有A.95%置信区间指参数有95%概率落入该区间B.区间宽度与样本量成反比C.置信水平越高，区间越宽D.重复抽样构造的区间中，约95%包含真值E.置信区间中心是样本统计量答案：BCDE解析：参数是固定常数，置信区间是随机的，A表述错误。15.下列属于非参数检验的有A.Wilcoxon符号秩检验  B.Kruskal-Wallis检验  C.Mann-WhitneyU检验  D.符号检验  E.单因素ANOVA答案：ABCD解析：E为参数检验，要求正态性与方差齐性。三、判断题（每题1分，共10分，正确打“√”，错误打“×”）16.标准差一定小于均值。  答案：×解析：标准差与均值量纲相同，但数值大小无必然关系，如N(0,1)均值0，标准差1。17.若两变量独立，则其协方差一定为零。  答案：√解析：独立⇒Cov(X,Y)=0；反之不成立，除非联合正态。18.在泊松分布中，均值与方差相等。  答案：√解析：Poisson(λ)的期望与方差均为λ。19.增大显著性水平α必然导致β减小。  答案：√解析：α与β呈反向关系，在样本量固定时。20.决定系数R²可用来评价逻辑回归模型的拟合优度。  答案：×解析：逻辑回归使用似然比、伪R²（如NagelkerkeR²），而非线性回归的R²。21.峰度大于3表示分布比正态分布更尖峭。  答案：√解析：超额峰度=峰度-3，正值为尖峰。22.系统抽样属于概率抽样。  答案：√解析：系统抽样按固定间隔抽取，每个单元入样概率已知。23.若残差呈现漏斗形，说明存在多重共线性。  答案：×解析：漏斗形提示异方差，多重共线性表现为方差膨胀因子增大。24.中位数对极端值比均值更敏感。  答案：×解析：中位数是位置统计量，对极端值稳健。25.在指数平滑中，平滑系数α越接近1，模型对历史数据越依赖。  答案：×解析：α→1表示给予最新观测值更大权重，对历史衰减更快。四、填空题（每空2分，共20分）26.若X~B(n=100,p=0.2)，则E(X)=____，Var(X)=____。答案：20；16解析：二项分布期望np，方差np(1-p)。27.在假设检验中，同时控制α与β的有效方法是____。答案：增大样本量解析：样本量增加可同时降低α与β。28.若样本均值x̄=50，s=10，n=25，则均值标准误为____。答案：2解析：标准误=s/√n=10/5=2。29.拉氏价格指数使用____期数量作为权重。答案：基解析：Laspeyres指数以基期数量为权。30.若随机变量Z~N(0,1)，则P(Z>1.645)=____。答案：0.05解析：单侧5%临界值。31.在聚类分析中，衡量样本间距离的常用度量是____距离。答案：欧氏解析：Euclidean距离最常用。32.若回归模型出现序列相关，可采用____检验。答案：DW（Durbin-Watson）解析：DW检验检测一阶自相关。33.若样本偏度为-0.8，则分布呈____偏。答案：左解析：负偏度表示左偏，长尾在左。34.在贝叶斯框架中，先验与似然的乘积正比于____。答案：后验解析：Bayes定理：后验∝先验×似然。35.若将5点李克特量表视为连续变量进行Pearson相关，需满足____性假设。答案：近似正态解析：虽然有序，但大样本下近似正态即可。五、简答题（每题8分，共24分）36.说明中心极限定理的内容及其在统计推断中的作用。答案：中心极限定理（CLT）指出，从任意总体（均值为μ，方差为σ²有限）中抽取容量为n的随机样本，当n足够大时，样本均值的分布近似服从N(μ,σ²/n)。作用：1.无需知道总体分布即可对均值进行正态近似推断；2.构建置信区间：x̄±zα/2·s/√n；3.进行假设检验：t或z检验均依赖该近似；4.为大样本理论奠定基础，如Bootstrap、渐近分布。37.比较分层抽样与整群抽样的优缺点。答案：分层抽样：优点：1.层内同质、层间异质可提高估计精度；2.可对各层分别估计，灵活；3.便于组织与管理。缺点：1.需完整抽样框且分层变量已知；2.分层变量选择不当反降低精度；3.加权复杂。整群抽样：优点：1.仅需群框，无需个体框，成本低；2.现场调查集中，节省交通费用；3.适合自然成群总体。缺点：1.群间差异大导致设计效应高，精度低；2.样本量相同时误差大于简单随机；3.统计分析需考虑群内相关，复杂。38.解释多重共线性对回归模型的影响及诊断方法。答案：影响：1.系数估计方差膨胀，t值不显著；2.系数符号与理论相反；3.模型对样本微小变化敏感，预测不稳定；4.难以区分各自变量边际贡献。诊断：1.方差膨胀因子VIF>10为严重；2.特征值与条件指数，>30提示问题；3.相关系数矩阵，|r|>0.9需警惕；4.系数符号与理论背离；5.剔除或合并变量、主成分、岭回归可缓解。六、计算与综合题（共61分）39.（10分）某生产线袋装面粉标称500g，随机抽取16袋，测得x̄=495g，s=8g。假定质量服从正态分布，检验是否显著不足（α=0.05）。答案：H0:μ=500；H1:μ<500t=(495-500)/(8/√16)=-5/2=-2.5临界值t0.05,15=-1.753∵-2.5<-1.753，拒绝H0结论：袋装面粉平均质量显著低于标称。解析：单侧检验，使用t分布，自由度n-1=15。40.（12分）随机调查200名本科生，记录月消费（元）与性别，得：男生n1=120，x̄1=1800，s1=300；女生n2=80，x̄2=1650，s2=250。（1）检验男女月消费差异是否显著（α=0.05）；（2）求均值差μ1-μ2的95%置信区间。答案：（1）H0:μ1=μ2；H1:μ1≠μ2合并标准误：Sp²=((119·300²+79·250²))/(198)=77525SE=√(Sp²(1/120+1/80))=√(77525·0.0208)=√1612.5≈40.16t=(1800-1650)/40.16≈3.73t0.025,198≈1.972|t|>1.972，拒绝H0，差异显著。（2）置信区间：(1800-1650)±1.972·40.16=150±79.2=(70.8,229.2)元解析：方差齐性下用合并方差t检验；区间不含0，与检验一致。41.（12分）某市近12个月二手房均价（万元/㎡）如下：3.2,3.3,3.5,3.4,3.6,3.8,3.7,3.9,4.0,4.1,4.2,4.3（1）用3期简单移动平均预测第13个月价格；（2）计算指数平滑（α=0.3）第12期平滑值S12；（3）比较两种方法哪种对本期误差更小。答案：（1）F13=(4.1+4.2+4.3)/3=4.2（2）S1=3.2S2=0.3·3.3+0.7·3.2=3.23迭代至S12=3.89（3）实际第12期为4.3移动平均误差：|4.2-4.3|=0.1平滑误差：|3.89-4.3|=0.41∴移动平均更小。解析：指数平滑需递推，α小则平滑度高，对近期变化反应慢。42.（13分）为研究广告投入x（万元）对销售额y（万元）的影响，收集15个城市数据，拟合得：ŷ=20+1.5x，SST=1200，SSE=300（1）求决定系数R²并解释；（2）检验x对y的线性关系是否显著（α=0.01）；（3）若x=10，求y的90%预测区间（x̄=8，Σ(x-x̄)²=200，s=√(300/13)=4.8）。答案：（1）R²=1-SSE/SST=1-300/1200=0.75，解释75%销售变动。（2）F=(SSR/1)/(SSE/(n-2))=(900/1)/(300/13)=39F0.01,1,13=9.0739>9.07，拒绝H0，关系显著。（3）预测值：20+1.5·10=35标准误预测：s_pred=4.8√(1+1/15+(10-8)²/200)=4.8√1.0867≈5.0t0.05,13=1.771区间：35±1.771·5.0=(26.1,43.9)万元解析：预测区间含未来随机误差，比置信区间宽。43.（14分）某电商平台想比较三种快递包装方案对破损率的影响，随机分配90个订单，每种30个，记录破损情况：方案A：破损5件；B：破损3件；C：破损10件。（1）构建3×2列联表；（2）用卡方检验判断破损率差异是否显著（α=0.05）；（3）若差异显著，进一步比较哪两种方案差异主要来源。答案：（1）列联表：方案 破损 完好 合计A  5  25  30B  3  27  30C  10  20  30合计 18  72  90（2）期望频数：A破损=18·30/90=6，同理B=6，C=6χ²=Σ(O-E)²/E=(5-6)²/6+(3-6)²/6+(10-6)²/6+(25-24)²/24+(27-24)²/24+(20-24)²/24=1/6+9/6+16/6+1/24+9/24+16/24=26/6+26/24=4.33+1.08=5.41df=(3-1)(2-1)=2χ²0.05,2=5.995.41<5.99，不拒绝H0，差异不显著。（3）因整体差异不显著，无需事后比较。解析：期望频数均>5，卡方近似有效；若显著可用Bonferroni校正两两比较。七、软件应用题（共20分）44.使用R语言完成下列任务，并写出关键代码与结果解读。数据集：shauni.csv，包含变量height（cm）、weight（kg）、gender（M/F）、college（文理法医工）。（1）读取数据并计算男女平均身高差异的t检验（方差齐性）；（2）绘制weight对height的散点图，并添加回