2026年大学必修课概率论与数理统计期末考试题及答案(含解析)

2026年大学必修课概率论与数理统计期末考试题及答案(含解析)一、单项选择题（每题4分，共40分）1.设随机变量X服从参数为λ的泊松分布，若P{X=2}=P{X=3}，则λ的值为A.2  B.3  C.4  D.5答案：B解析：泊松分布概率质量函数P{X=k}=e^{-λ}λ^{k}/k!。由题意e^{-λ}λ^{2}/2!=e^{-λ}λ^{3}/3!，化简得λ/2=λ^{2}/6，解得λ=3。2.设X~N(0,1)，Y=X^{2}，则Y的密度函数在y>0处的表达式为A.1/√(2πy)e^{-y/2}  B.1/√(2π)e^{-y/2}  C.1/√(2πy)  D.1/√(2π)ye^{-y/2}答案：A解析：Y为χ^{2}(1)分布，其密度f_{Y}(y)=1/√(2πy)e^{-y/2}，y>0。3.设X,Y独立同分布于U(0,1)，则Z=X+Y的密度函数在区间(0,2)上的表达式为A.z  B.1-|z-1|  C.1-z  D.z(2-z)答案：B解析：卷积积分分段计算，当0<z<1时f_{Z}(z)=z；当1<z<2时f_{Z}(z)=2-z，合并即1-|z-1|。4.设X_{1},…,X_{n}为来自N(μ,σ^{2})的样本，若σ^{2}已知，则μ的1-α置信区间长度为A.2σz_{α/2}/√n  B.σz_{α/2}/√n  C.2σt_{α/2}(n-1)/√n  D.σt_{α/2}(n-1)/√n答案：A解析：σ已知时用z分布，区间长度=2×临界值×标准误=2σz_{α/2}/√n。5.在假设检验中，若显著性水平α减小，则A.第一类错误概率减小，第二类错误概率增大B.第一类错误概率增大，第二类错误概率减小C.两类错误概率均减小D.两类错误概率均增大答案：A解析：α↓→P(拒绝H_{0}|H_{0}真)↓，但β=P(接受H_{0}|H_{0}假)↑。6.设X,Y的联合密度f(x,y)=2,0<y<x<1，则E(Y|X=0.5)为A.0.25  B.0.5  C.0.75  D.1答案：A解析：条件密度f_{Y|X}(y|x)=f(x,y)/f_{X}(x)=2/(2x)=1/x,0<y<x。故E(Y|X=0.5)=∫_{0}^{0.5}y·(1/0.5)dy=0.25。7.设X~Bin(n,p)，若np→λ>0，n→∞，则对任意固定k，P{X=k}的极限为A.e^{-λ}λ^{k}/k!  B.e^{-λ}λ^{k}/k  C.e^{-λ}λ^{k-1}/(k-1)!  D.e^{-λ}λ^{k+1}/(k+1)!答案：A解析：二项分布的泊松极限定理直接结论。8.设X_{1},…,X_{n}为来自Exp(λ)的样本，则λ的极大似然估计为A.1/\overline{X}  B.\overline{X}  C.n/\sumX_{i}  D.\sumX_{i}/n答案：A解析：似然函数L=λ^{n}e^{-λ∑X_{i}}，对λ求导得\hat{λ}=n/∑X_{i}=1/\overline{X}。9.设X,Y的相关系数为ρ，若U=aX+b,V=cY+d，其中ac≠0，则U,V的相关系数为A.ρ  B.|ρ|  C.ρ·sgn(ac)  D.ρ·ac答案：C解析：线性变换不改变相关性强弱，仅可能改变符号，故为ρ·sgn(ac)。10.设X~N(μ,1)，检验H_{0}:μ=0vsH_{1}:μ=1，取拒绝域\overline{X}>c。若要求α=0.05且功效=0.90，则样本量n约为A.9  B.16  C.25  D.36答案：C解析：α=0.05⇒c=1.645/√n；功效0.90⇒P(\overline{X}>c|μ=1)=0.90，即1-Φ(√n(c-1))=0.90，解得√n(1.645/√n-1)=-1.28，得n≈25。二、填空题（每题5分，共30分）11.设X~Geo(p)，则P{X≥k}=________。答案：(1-p)^{k-1}解析：几何分布无记忆性，P{X≥k}=P{前k-1次失败}=(1-p)^{k-1}。12.设X_{1},…,X_{n}为来自Poisson(λ)的样本，则λ的矩估计为________。答案：\overline{X}解析：一阶矩E[X]=λ，样本矩等于总体矩⇒\hat{λ}=\overline{X}。13.设X,Y独立，Var(X)=3,Var(Y)=4，则Var(2X-3Y+1)=________。答案：48解析：Var(2X-3Y)=4Var(X)+9Var(Y)=12+36=48，常数平移不改变方差。14.设T~t(n)，则E(T^{2})=________。答案：n/(n-2),n>2解析：t分布方差为n/(n-2)，而E[T]=0，故E[T^{2}]=Var(T)=n/(n-2)。15.设X_{1},…,X_{n}为来自Uniform(0,θ)的样本，则θ的极大似然估计为________。答案：X_{(n)}解析：似然函数L=θ^{-n}I_{X_{(n)}≤θ}，在θ≥X_{(n)}时取最大，故\hat{θ}=X_{(n)}。16.设X~N(0,1)，则E(|X|)=________。答案：√(2/π)解析：E|X|=∫_{-∞}^{∞}|x|φ(x)dx=2∫_{0}^{∞}xφ(x)dx=√(2/π)。三、解答题（共80分）17.（15分）设随机变量X的密度函数为f(x)=θx^{θ-1},0<x<1,θ>0。（1）求θ的矩估计\hat{θ}_{M}；（2）求θ的极大似然估计\hat{θ}_{L}；（3）比较\hat{θ}_{M}与\hat{θ}_{L}的均方误差MSE(θ)。解：（1）E[X]=∫_{0}^{1}x·θx^{θ-1}dx=θ/(θ+1)。令样本矩等于总体矩：\overline{X}=θ/(θ+1)⇒\hat{θ}_{M}=\overline{X}/(1-\overline{X})。（2）似然函数L(θ)=θ^{n}∏X_{i}^{θ-1}，对数似然l(θ)=nlnθ+(θ-1)∑lnX_{i}。令导数为0：n/θ+∑lnX_{i}=0⇒\hat{θ}_{L}=-n/∑lnX_{i}。（3）MSE分解为方差加偏差平方。对\hat{θ}_{L}，已知其为无偏估计的渐近有效估计，故MSE≈Var(\hat{θ}_{L})=θ^{2}/n。对\hat{θ}_{M}，利用Delta方法：令g(x)=x/(1-x)，g'(x)=1/(1-x)^{2}，则Var(\hat{θ}_{M})≈[g'(θ/(θ+1))]^{2}·Var(\overline{X})=[(θ+1)^{2}]^{2}·θ(θ+2)/[n(θ+1)^{4}]=θ(θ+2)/n。偏差：E[\hat{θ}_{M}]-θ≈θ(θ+2)/[n(θ+1)]，故偏差平方≈θ^{2}(θ+2)^{2}/[n^{2}(θ+1)^{2}]。当n大时，\hat{θ}_{L}的MSE更小。18.（15分）设(X,Y)的联合密度f(x,y)=e^{-y},0<x<y<∞。（1）求边缘密度f_{X}(x)；（2）求条件密度f_{Y|X}(y|x)；（3）求E(Y|X=x)与Var(Y|X=x)。解：（1）f_{X}(x)=∫_{x}^{∞}e^{-y}dy=e^{-x},x>0，即X~Exp(1)。（2）f_{Y|X}(y|x)=f(x,y)/f_{X}(x)=e^{-y}/e^{-x}=e^{-(y-x)},y>x，即Y|X=x~Exp(1)右移x。（3）E(Y|X=x)=∫_{x}^{∞}y·e^{-(y-x)}dy=x+1；Var(Y|X=x)=∫_{x}^{∞}(y-x-1)^{2}e^{-(y-x)}dy=1。19.（15分）某生产线包装量X~N(μ,σ^{2})。随机抽取n=16袋，测得\overline{x}=502g，s=8g。（1）求μ的95%置信区间；（2）检验H_{0}:μ=500vsH_{1}:μ≠500，给出p值并下结论（α=0.05）；（3）若要求估计误差不超过1g，置信水平95%，求所需最小样本量。解：（1）σ未知，用t分布：502±t_{0.025}(15)·8/4=502±2.131·2=502±4.262，即(497.74,506.26)。（2）检验统计量t=(502-500)/(8/4)=1，双尾p=2P{t(15)≥1}=2×0.166=0.332>0.05，不拒绝H_{0}。（3）误差Δ=z_{0.025}σ/√n≤1⇒n≥(1.96×8)^{2}=245.86，取n=246。20.（15分）设X_{1},…,X_{n}为来自密度f(x)=λe^{-λx},x>0的样本。（1）求λ的Fisher信息量I(λ)；（2）证明\hat{λ}=1/\overline{X}为有效估计；（3）给出λ的近似95%置信区间。解：（1）对数密度lnf=-λx+lnλ，得分函数∂lnf/∂λ=-x+1/λ，二阶导数-1/λ^{2}，故I(λ)=-E[∂^{2}lnf/∂λ^{2}]=1/λ^{2}。（2）Var(\hat{λ})=Var(1/\overline{X})≈1/[nλ^{2}]，Cramér-Rao下界为1/[nI(λ)]=λ^{2}/n，二者相等，故有效。（3）由渐近正态性，\hat{λ}≈N(λ,λ^{2}/n)，故λ的区间：\hat{λ}±1.96\hat{λ}/√n。21.（20分）某校欲评估在线学习效果，随机抽取两组学生，每组30人。甲组采用传统教学，乙组采用在线教学。期末成绩如下：甲组：\overline{x}_{1}=72.4,s_{1}^{2}=64；乙组：\overline{x}_{2}=76.8,s_{2}^{2}=81。假设成绩服从正态分布且方差齐性。（1）检验两组平均成绩是否有显著差异（α=0.05）；（2）若方差不齐，重新检验并给出修正自由度；（3）计算两组均值差的95%置信区间；（4）解释（1）与（2）结果差异的原因。解：（1）合并方差s_{p}^{2}=(29×64+29×81)/58=72.5，t=(72.4-76.8)/√[72.5(1/30+1/30)]=-4.4/√4.833=-2.00，|t|=2.00<t_{0.025}(58)=2.001，边缘不显著，但p≈0.0503，严格意义下不拒绝。（2）Welch检验：t=-4.4/√(64/30+81/30)=-4.4/√4.833=-2.00，自由