北京交通大学2026年8月《概率论与数理统计》作业考核试题及答案

北京交通大学2026年8月《概率论与数理统计》作业考核试题及答案1.设随机变量X服从参数为λ的泊松分布，已知P{X=2}=P{X=3}，求λ的值，并计算P{X≥5}。答案：由泊松分布概率质量函数P{X=k}=e^{-λ}λ^{k}/k!，得e^{-λ}λ^{2}/2!=e^{-λ}λ^{3}/3!⇒λ^{2}/2=λ^{3}/6⇒λ=3。P{X≥5}=1−∑_{k=0}^{4}e^{-3}3^{k}/k!=1−e^{-3}(1+3+9/2+27/6+81/24)=1−e^{-3}(1+3+4.5+4.5+3.375)=1−e^{-3}·16.375≈1−0.0498·16.375≈1−0.8155≈0.1845。解析：泊松分布的“无记忆性”体现在参数λ唯一决定分布形态。通过等概率条件反解λ，再借助互补事件求尾部概率，避免直接求和无穷级数。2.某地铁站早高峰每10秒通过一列列车，乘客到达服从强度为每分钟18人的泊松流。设X为乘客等待第一列列车的时间（秒），求X的分布函数、期望及P{X>15}。答案：列车间隔固定10秒，乘客到达为泊松过程，则等待时间X服从[0,10]上的连续均匀分布。分布函数F(x)=x/10，0≤x≤10；期望E[X]=∫_{0}^{10}x·1/10dx=5秒；P{X>15}=0，因为最大等待10秒。解析：泊松过程的“到达”与“服务”独立，但服务（列车出发）为确定性周期事件，故等待时间被截断在[0,10]区间，形成均匀分布而非指数分布。3.设二维随机变量(X,Y)的联合密度f(x,y)=k(x+y)，0≤x≤1，0≤y≤1，其他区域为零。(1)求常数k；(2)求边缘密度f_{X}(x)；(3)求条件密度f_{Y|X}(y|x)；(4)计算Cov(X,Y)。答案：(1)由∫∫f(x,y)dxdy=1⇒k∫_{0}^{1}∫_{0}^{1}(x+y)dydx=k∫_{0}^{1}(x+1/2)dx=k·1=1⇒k=1。(2)f_{X}(x)=∫_{0}^{1}(x+y)dy=x+1/2，0≤x≤1。(3)f_{Y|X}(y|x)=f(x,y)/f_{X}(x)=(x+y)/(x+1/2)，0≤y≤1。(4)E[X]=∫_{0}^{1}x(x+1/2)dx=7/12，E[Y]=7/12（对称），E[XY]=∫∫xy(x+y)dxdy=∫_{0}^{1}∫_{0}^{1}(x^{2}y+xy^{2})dydx=∫_{0}^{1}(x^{2}/2+x/3)dx=1/6+1/6=1/3，Cov(X,Y)=E[XY]−E[X]E[Y]=1/3−(7/12)^{2}=1/3−49/144=−1/144。解析：联合密度含交叉项x+y，导致X与Y负相关。计算协方差时，利用对称性简化期望运算，避免重复积分。4.设X_{1},…,X_{n}独立同分布于U(0,θ)，θ>0未知。令θ̂_{1}=2X̄，θ̂_{2}=max{X_{i}}。(1)求θ̂_{1}与θ̂_{2}的期望；(2)比较两者的均方误差MSE；(3)若n=10，观测到max{x_{i}}=9.2，求θ的矩估计与最大似然估计。答案：(1)E[X_{i}]=θ/2⇒E[θ̂_{1}]=2·θ/2=θ，无偏；max{X_{i}}的密度f_{(n)}(x)=nx^{n−1}/θ^{n}，0≤x≤θ，E[θ̂_{2}]=∫_{0}^{θ}x·nx^{n−1}/θ^{n}dx=nθ/(n+1)，有偏。(2)MSE(θ̂_{1})=Var(θ̂_{1})=4Var(X̄)=4·θ^{2}/(12n)=θ^{2}/(3n)；MSE(θ̂_{2})=E[(θ̂_{2}−θ)^{2}]=E[θ̂_{2}^{2}]−2θE[θ̂_{2}]+θ^{2}=∫_{0}^{θ}x^{2}·nx^{n−1}/θ^{n}dx−2θ·nθ/(n+1)+θ^{2}=nθ^{2}/(n+2)−2nθ^{2}/(n+1)+θ^{2}=θ^{2}[n/(n+2)−2n/(n+1)+1]=θ^{2}[n(n+1)−2n(n+2)+(n+1)(n+2)]/[(n+2)(n+1)]=θ^{2}(n^{2}+n−2n^{2}−4n+n^{2}+3n+2)/[(n+2)(n+1)]=2θ^{2}/[(n+1)(n+2)]。比较：MSE(θ̂_{1})/MSE(θ̂_{2})=(n+1)(n+2)/(6n)，当n≥2时大于1，故θ̂_{2}的MSE更小。(3)矩估计：E[X]=θ/2⇒θ̂_{mom}=2x̄；但x̄未知，仅知max=9.2，无法直接得矩估计；最大似然：L(θ)=θ^{−n}I_{θ≥max{x_{i}}}，在θ≥9.2时L(θ)随θ增大而减小，故θ̂_{mle}=max{x_{i}}=9.2。解析：均匀分布的最大次序统计量虽偏，但MSE更小，体现“偏差—方差”权衡。MLE为边界值，矩估计需样本均值，反映信息利用差异。5.某型芯片寿命T服从指数分布，平均寿命为8000小时。抽取n=25片，测得平均寿命7500小时。(1)在α=0.05下检验H_{0}:μ=8000vsH_{1}:μ<8000；(2)求检验的p值；(3)若真实μ=7500，求检验功效。答案：(1)指数分布均值μ=1/λ，样本均值X̄~Gamma(n,nλ)，近似正态X̄≈N(μ,μ^{2}/n)。检验统计量Z=(X̄−μ_{0})/(μ_{0}/√n)=(7500−8000)/(8000/5)=−500/1600=−0.3125。单侧临界值−z_{0.05}=−1.645，−0.3125>−1.645，不拒绝H_{0}。(2)p值=Φ(−0.3125)=1−Φ(0.3125)≈1−0.6227=0.3773。(3)功效=P(拒绝|μ=7500)=P(X̄≤c|μ=7500)，其中c=μ_{0}−1.645·μ_{0}/√n=8000−1.645·1600=5368。标准化：Z′=(5368−7500)/(7500/5)=−2132/1500≈−1.4213，功效=Φ(−1.4213)≈0.0776。解析：指数分布均值检验借助正态近似，因样本量25较大。功效较低源于真实均值与假设接近，且变异系数大。6.设X~N(μ,σ^{2})，Y~N(μ,σ^{2})独立。定义U=X+Y，V=X−Y。(1)求(U,V)的联合分布；(2)证明U与V独立；(3)若μ=0，σ=1，求P(max{X,Y}>1.5)。答案：(1)线性变换：[U,V]^{T}=A[X,Y]^{T}，A=[[1,1],[1,−1]]，Cov([X,Y])=σ^{2}I，Cov([U,V])=Aσ^{2}IA^{T}=σ^{2}AA^{T}=σ^{2}[[2,0],[0,2]]，故(U,V)服从二维正态，均值向量(2μ,0)，协方差矩阵diag(2σ^{2},2σ^{2})。(2)协方差矩阵对角⇒U,V不相关，联合正态⇒独立。(3)μ=0,σ=1：P(max{X,Y}>1.5)=1−P(X≤1.5,Y≤1.5)=1−Φ(1.5)^{2}=1−0.9332^{2}=1−0.8708=0.1292。解析：正态线性变换保持联合正态性，对角协方差即独立。max事件转化为一维累积分布乘积，避免二重积分。7.设随机变量序列{X_{n}}独立同分布，E[X_{n}]=0，Var(X_{n})=σ^{2}。令S_{n}=∑_{i=1}^{n}X_{i}，Y_{n}=S_{n}/√n。(1)求Y_{n}的特征函数；(2)证明Y_{n}依分布收敛于N(0,σ^{2})；(3)若X_{n}服从对称贝努利±1，σ=1，求n=100时P(S_{n}≥14)的正态近似及连续性修正。答案：(1)φ_{Y_{n}}(t)=E[e^{itS_{n}/√n}]=[φ_{X}(t/√n)]^{n}。对任意X_{i}，φ_{X}(u)=1−σ^{2}u^{2}/2+o(u^{2})，故φ_{Y_{n}}(t)=[1−σ^{2}t^{2}/(2n)+o(1/n)]^{n}→e^{−σ^{2}t^{2}/2}，即N(0,σ^{2})特征函数。(2)由Lévy连续性定理，特征函数逐点收敛⇒分布收敛。(3)S_{100}≈N(0,100)，连续性修正：P(S_{n}≥14)≈P(N(0,100)≥13.5)=1−Φ(13.5/10)=1−Φ(1.35)=1−0.9115=0.0885。解析：中心极限定理的特征函数证明体现“局部线性化”思想。连续性修正补偿离散到连续的误差，提升近似精度。8.设总体X的密度f(x;θ)=θx^{θ−1}，0<x<1，θ>0。(1)求θ的充分统计量；(2)求θ的Fisher信息量I(θ)；(3)构造θ的UMVUE。答案：(1)联合密度L(θ)=θ^{n}(∏x_{i})^{θ−1}，由因子分解定理，T=∑ln(1/x_{i})为充分统计量。(2)得分函数：lnf=lnθ+(θ−1)lnx，∂lnf/∂θ=1/θ+lnx，∂^{2}lnf/∂θ^{2}=−1/θ^{2}，I(θ)=−E[∂^{2}lnf/∂θ^{2}]=1/θ^{2}。(3)令Y_{i}=−lnX_{i}~Exp(θ)，则T=∑Y_{i}~Gamma(n,θ)，E[1/T]=θ/(n−1)，故θ̂=(n−1)/T为无偏估计，且为充分统计量的函数，因此是UMVUE。解析：Beta分布族的对数变换将问题转化为指数族，充分统计量与Fisher信息量直接可得。UMVUE通过逆矩估计实现，体现指数族完备性。9.某实验室测量误差ε~N(0,4)，独立进行n=9次测量，得样本方差s^{2}=6.25。(1)求σ^{2}的95%置信区间；(2)若要求区间长度不超过2，求所需最小样本量；(3)若真实σ^{2}=4，求(1)中区间覆盖概率。答案：(1)(n−1)s^{2}/σ^{2}~χ^{2}(n−1)，95%置信区间：[(n−1)s^{2}/χ^{2}_{0.975},(n−1)s^{2}/χ^{2}_{0.025}]=[8·6.25/17.535,8·6.25/2.180]=[2.85,22.94]。(2)区间长度=(n−1)s^{2}(1/χ^{2}_{0.025}−1/χ^{2}_{0.975})≤2，以s^{2}≈σ^{2}=4代入，得4(n−1)(1/χ^{2}_{0.025}−1/χ^{2}_{0.975})≤2，查χ^{2}表试算：n=30时长度≈4·29(1/16.047−1/45.722)≈4.6>2；n=60时≈4·59(1/40.482−1/91.952)≈2.2；n=70时≈4·69(1/48.758−1/105.267)≈1.96≤2，故最小n=70。(3)覆盖概率即95%，与真实σ^{2}无关，因为构造基于枢轴量分布。解析：χ^{2}分布不对称导致区间右偏，样本量需较大才能压缩长度。覆盖概率由置信水平固定，体现频率学派性质。10.设X_{1},…,X_{n}来自Logistic分布，F(x)=1/(1+e^{−(x−μ)})。(1)求μ的MLE方程；(2)证明该方程唯一有解；(3)若n=5，观测值为−2.1,−0.5,0.8,1.5,2.3，用Newton法求μ的MLE数值（迭代两步，初值μ_{0}=0）。答案：(1)对数似然l(μ)=∑[−(x_{i}−μ)−2ln(1+e^{−(x_{i}−μ)})]，导数：l′(μ)=∑[1−2e^{−(x_{i}−μ)}/(1+e^{−(x_{i}−μ)})]=∑tanh((x_{i}−μ)/2)，令l′(μ)=0即得MLE方程。(2)l″(μ)=−∑sech^{2}((x_{i}−μ)/2)/2<0，严格凹⇒唯一最大值。(3)Newton迭代：μ_{k+1}=μ_{k}−l′(μ_{k})/l″(μ_{k})，μ_{0}=0，l′(0)=∑tanh(x_{i}/2)=tanh(−1.05)+tanh(−0.25)+tanh(0.4)+tanh(0.75)+tanh(1.15)≈−0.781+−0.245+0.380+0.635+0.818=0.807，l″(0)=−∑sech^{2}(x_{i}/2)/2≈−[0.390+0.940+0.855+0.660+0.340]/2=−1.423，μ_{1}=0−0.807/(−1.423)≈0.567，第二轮：l′(0.567)≈tanh(−1.334)+tanh(−0.408)+tanh(0.116)+tanh(0.466)+tanh(0.866)≈−0.871+−0.390+0.116+0.435+0.699=−0.011，l″(0.567)≈−1.380，μ_{2}=0.567−(−0.011)/(−1.380)≈0.559。解析：Logistic分布的得分函数含双曲正切，凹性保证全局唯一解。Newton法二次收敛，两步即近最优。11.设X~Bin(n,p)，Y~Bin(m,p)独立。(1)求p的共轭先验；(2)在后验均值意义下，求贝叶斯估计；(3)若n=m=10，x=8，y=7，采用无信息先验，求p的95%可信区间。答案：(1)二项分布的共轭先验为Beta(α,β)。(2)后验分布：p|x,y~Beta(α+x+y,β+n+m−x−y)，后验均值=(α+x+y)/(α+β+n+m)。(3)无信息先验取α=β=1，后验p~Beta(1+8+7,1+20−15)=Beta(16,6)，95%可信区间取分位数：[Beta_{0.025},Beta_{0.975}]，查Beta(16,6)表或用软件得[0.544,0.896]。解析：共轭性简化后验计算，Beta分位数提供直接区间。无信息先验让数据主导，结果与频率近似但解释不同。12.设随机变量Z~N(0,1)，定义停时T=min{n≥1:|S_{n}|≥c}，其中S_{n}=∑_{i=1}^{n}Z_{i}。(1)求E[T]的近似表达式（c较大）；(2)若c=3，用Wald方程求E[S_{T}]；(3)计算P(S_{T}≥c)。答案：(1)对大c，T≈c^{2}，更精确地，由布朗运动逼近，E[T]≈c^{2}。(2)Wald方程：E[S_{T}]=E[Z_{1}]E[T]=0，但|S_{T}|=c，故E[S_{T}]=0由对称性。(3)由对称随机游走，P(S_{T}=c)=P(S_{T}=−c)=1/2。解析：停时问题借助布朗运动缩放，Wald方程在零均值时给出平凡结果，反映对称性。边界命中概率均等。13.设(X,Y)服从二元t分布，自由度ν=5，均值向量(0,0)，尺度矩阵[[1,ρ],[ρ,1]]。(1)求Y|X=x的一维t分布参数；(2)求相关系数Corr(X,Y)；(3)若ρ=0.8，生成一对样本的R代码片段。答案：(1)二元t条件分布：Y|X=x~t(ν+1,ρx,(ν+x^{2})(1−ρ^{2})/(ν+1))。(2)二元t的Corr(X,Y)=ρ，与尺度矩阵一致。(3)R代码：library(mvtnorm)Sigma<matrix(c(1,0.8,0.8,1),2,2)sample<rmvt(1,sigma=Sigma,df=5)解析：t分布的条件仍t，自由度增加1，体现厚尾特性。相关系数与Gaussian相同，但边缘亦t。14.设随机过程X(t)=Acos(ωt)+Bsin(ωt)，其中A,B~N(0,σ^{2})独立，ω为常数。(1)求均值函数与协方差函数；(2)判断过程是否平稳；(3)求X(t)的一维密度。答案：(1)E[X(t)]=0，Cov(X(s),X(t))=σ^{2}cos(ω(s−t))，仅依赖|s−t|。(2)均值常数，协方差仅依赖时差⇒宽平稳。(3)线性组合正态⇒X(t)~N(0,σ^{2})。解析：谐波过程为平稳高斯典型例子，协方差函数余弦形式体现周期结构。一维密度随时间不变。15.设N(t)为强度λ的泊松过程，定义M(t)=N(t)−λt。(1)求M(t)的均值与协方差；(2)证明M(t)为鞅；(3)求E[M(t)^{3}]。答案：(1)E[M(t)]=0，Cov(M(s),M(t))=λmin(s,t)。(2)对s<t，E[M(t)|F_{s}]=M(s)+E[N(t)−N(s)−λ(t−s)|F_{s}]=M(s)，满足鞅性。(3)中心化泊松的三阶矩：E[(N(t)−λt)^{3}]=λt，因偏度系数1/√λt。解析：补偿泊松过程鞅性质源于独立增量与期望线性。三阶矩非零反映泊松分布右偏。16.设X_{1},…,X_{n}独立同分布，密度f(x)=e^{−(x−θ)}，x≥θ。(1)求θ的MLE；(2)求θ的分布；(3)构造θ的置信水平1−α的精确区间。答案：(1)L(θ)=e^{−∑(x_{i}−θ)}I_{θ≤minx_{i}}，在θ=minx_{i}时最大，故θ̂=minX_{i}。(2)P(θ̂−θ>t)=P(minX_{i}>θ+t)=e^{−nt}，即θ̂−θ~Exp(n)。(3)取枢轴量n(θ̂−θ)~Exp(1)，P(θ̂−θ≤−lnα/n)=1−α，故θ的1−α区间：[θ̂+lnα/n,θ̂]。解析：指数分布平移参数MLE为最小次序统计量，其分布仍指数，提供精确区间，无需正态近似。17.设随机变量X取值{1,2,…,N}，且P(X=k)∝k。(1)求归一化常数；(2)求E[X]与Var(X)；(3)若从X中有放回抽取n次，记Y为最大观测值，求P(Y≤m)。答案：(1)∑k=1^{N}k=N(N+1)/2⇒P(X=k)=2k/[N(N+1)]。(2)E[X]=∑k^{2}·2k/[N(N+1)]=2/[N(N+1)]·∑k^{2}=2/[N(N+1)]·N(N+1)(2N+1)/6=(2N+1)/3，E[X^{2}]=∑k^{3}·2k/[N(N+1)]=2/[N(N+1)]·[N(N+1)/2]^{2}=N(N+1)/2，Var(X)=E[X^{2}]−(E[X])^{2}=N(N+1)/2−(2N+1)^{2}/9=(N^{2}+N−2)/18。(3)P(Y≤m)=P(所有观测≤m)=[∑k=1^{m}2k/[N(N+1)]]^{n}=[m(m+1)/[N(N+1)]]^{n}。解析：线性增长概率的离散分布，期望与方差封闭形式。最大次序统计量利用CDF幂次。18.设随机向量X~N_{p}(μ,Σ)，Σ正定。(1)求X^{T}Σ^{−1}X的分布；(2)设μ=0，求E[exp(tX^{T}Σ^{−1}X)]；(3)若p=2，Σ=[[2,1],[1,2]]，生成1000样本并画散点图。答案：(1)令Z=Σ^{−1/2}X~N_{p}(Σ^{−1/2}μ,I)，则X^{T}Σ^{−1}X=(Z−Σ^{−1/2}μ+Σ^{−1/2}μ)^{T}(Z−Σ^{−1/2}μ+Σ^{−1/2}μ)~χ^{2}_{p}(μ^{T}Σ^{−1}μ)。(2)μ=0时，X^{T}Σ^{−1}X~χ^{2}_{p}，矩生成函数E[e^{tY}]=(1−2t)^{−p/2}，t<1/2。(3)R代码：library(MASS)Sigma<matrix(c(2,1,1,2),2,2)X<mvrnorm(1000,mu=c(0,0),Sigma=Sigma)plot(X,pch=19,col="#00000040",asp=1)解析：二次型转标准正态，得到非中心卡方。MGF封闭形式便于计算尾概率。散点图可视化相关结构。19.设随机变量X服从参数为(p_{1},…,p_{k})的多项分布，n次试验。(1)求Cov(X_{i},X_{j})；(2)求p_{i}的Jeffreys先验；(3)若k=3，n=20，观测(7,8,5)，求p_{1}的后验边缘密度。答案：(1)Cov(X_{i},X_{j})=−np_{i}p_{j}，i≠j；Var(X_{i})=np_{i}(1−p_{i})。(2)Fisher信息矩阵对角元I_{ii}=n/(p_{i})+n/(1−∑p_{j})，非对角复杂，Jeffreys先验∝