2026年高考数学二轮复习专题03 嵌套函数与零点归来4大考向（重难）（天津）（原卷版）

重难点03嵌套函数与零点归来

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近三年：2023-2024均为第15题（填空压轴），5分；2025为选择，5分；核心考查嵌套函数零点个数/

参数范围，2023：分段函数嵌套f(f(x))，求恰有2个零点的参数范围；核心是换元拆解+分段图象分析，

易错点为忽略内层函数值域限制。2024：指数/对数嵌套函数，求恰有1个零点的参数范围；关键是外层零

点→内层方程解的个数，易错点为边界值漏判与定义域疏忽。2025：复合函数零点所在区间判定，结合指

数、幂函数；侧重零点存在性定理+单调性，难度略降但仍需严谨转化。共性规律：必考换元法（令t=f(x)），

高频结合分段、指数、对数、三角等；核心是“外层零点→内层方程解的个数”两步转化；易错点集中在

内层值域、定义域、临界值、重复零点。

预测2026年：大概率第15题（填空压轴），5分；难度中偏难，维持区分度。核心载体：主流：分段函

数+指数/对数/三角嵌套（如f(g(x))、f(f(x))）。新动向：可能结合向量、复数、统计量简单嵌套，或

出现类周期/放缩型嵌套函数，背景更灵活但逻辑不变。考查形式：已知零点个数求参数范围（最易出区分

度）。判断嵌套函数零点个数；或嵌套函数零点分布（区间、奇偶性等）。

考向1：判断函数存在零点

判断函数y=f（x）在某个区间上是否存在零点，主要利用函数零点的存在性定理进行判断．首先看函

数y=f（x）在区间[a，b]上的图象是否连续，然后看是否有fa·fb0．若有，则函数yfx在区间

a,b内必有零点．

1．（2025·天津红桥·一模）函数fxex2x6的零点所在的区间是（）

A．3,4B．2,3C．1,2D．0,1

2．已知[x]表示不超过实数x的最大整数，g(x)[x]为取整函数，x0是函数f(x)lnxx4的零点，则

gx0（）

A．4B．5C．2D．3

2x

3．（2026·天津和平·模拟预测）函数ylog2x1与y2的图象交点为(x0,y0)，则x0所在区间是（）．

A．(0,1)B．(1,2)C．(2,3)D．(3,4)

2

4．函数ylnx的零点所在的大致区间是（）

x

1

A．,1B．1,2C．2,eD．e,

e

5．函数fxx42x的零点所在的区间为（）

A．1,2B．2,3C．3,4D．4,5

考向2：判断函数零点个数

（1）解方程：当对应方程易解时，可通过解方程，判断函数零点的个数；

（2）根据函数的性质结合已知条件进行判断；

（3）通过数形结合进行判断，画函数图象，观察图象与x轴交点的个数来判断．

3a1x3,x2

1．（2025·天津·三模）设函数fxaR，记函数g(x)f(x)ax2有且仅有n个互不相

8ax3,x2

同的零点nN，则当n取到最大值时，实数a的取值范围是.

a

x4,x1

2．（2024·天津武清·模拟预测）已知函数fx2，若函数yfx1恰有3个不同的零点，

2

2xa,x1

则实数a的取值范围是.

3．（2024·天津·二模）已知函数fxsin2x2sinxcosxcos2x，关于fx有下面四个说法：

π

①fx的图象可由函数gx2sin2x的图象向右平行移动个单位长度得到；

8

ππ

②fx在区间,上单调递增；

44

ππ31

③当x,时，fx的取值范围为,2；

622

④fx在区间0,2π上有3个零点．

以上四个说法中，正确的个数为（）

A．1B．2C．3D．4

2x121

4．已知定义在R上的奇函数fx恒有fx1fx1，当x0,1时，fx，已知k,，

2x11518

1

则函数gxfxkx在1,6上的零点个数为（）

3

A．4个B．5个C．3个或4个D．4个或5个

13

xx2

5．（2025·天津北辰·模拟预测）已知函数fx22，若在区间1,上存在nn2

x22

ex8x12x2

fx1fx2fxn

个不同的数x1,x2,x3,,xn，使得成立，则n的取值集合是（）

x1x2xn

A．2,3,4,5B．2,3C．2,3,5D．2,3,4

考向3：已知函数有零点求参数的取值范围

（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．

（2）分离参数法：先将参数分离，再转化成求函数值域问题加以解决．

（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，再数形结合求解．

lnx,x1

1．（2025·天津·一模）已知定义在R上的函数fx2，若函数k(x)f(x)ax恰有2个零点，

xx,x1

则实数a的取值范围为（）

11

A．(,){0}(1,)B．(1,){0}(1,)

ee

111

C．(1,){0}(,)D．,10,1

eee

5

2．（2025·天津南开·模拟预测）设aR，已知函数fxx22x2，gxax，若方程fxagx

2

有两个实数解，则实数a的取值范围为．

1x1,x2,0

3．（2020·天津和平·一模）已知函数fx，则3logf(3)256；若方程

2fx2,x0,

f(x)xa在区间[2,4]有三个不等实根，则实数1的取值范围为．

a

4．（2025·天津·一模）已知函数f(x)ax22x1ax3．若函数f(x)恰有四个零点，则实数a的取值范

围为．

5．（2025·天津南开·二模）已知函数fxx1xa11的图象与直线ya3xa有三个交点，则

实数a的取值范围是．

考向4：嵌套函数的分析思路

定义：①函数里调用另一个函数fgx简称函数嵌套.

②函数里调用函数本身ffx简称递归嵌套.

函数嵌套原理求函数解析式步骤如下：

形如：ffxAB

第一步：令fxAmfxmA

第二步：令xm，fmmA,解出m?

第三步：求出fx的解析式.

x22x3,xa,

．（天津二模）已知函数，若方程有且只有一个解，则实数

12025··fxxffx3a

3,xa.

的取值范围是.

x24x1,x0

x

2．（2025·天津·模拟预测）已知函数fx1若关于x的方程fx1fxm0恰有5

2,x0

2

个不同的实数根，则实数m的取值范围是（）

A．1,2B．1,5C．2,3D．2,5

fx,fxgx,

3．（2025·天津和平·三模）已知函数fxex22e，gxx24x1，且有hx，

gx,fxgx.

若关于x的方程h2xmhx60有8个相异实根，则实数m的取值范围为．

x11,x2

4．（2024·天津滨海新·二模）已知函数fx1，若函数gxxfxa的零点个数为

fx2,x2

2

2，则a的范围为.

xlnx,x0,

5．已知函数fx1若函数gxffxafx1有唯一零点，则实数a的取值范围

x,x0,

x

是.

（建议用时：60分钟）

cos(2πx2πa),xa

1．（2022高三·全国·专题练习）设aR，函数f(x)22，若函数f(x)在区间(0,)

x2(a1)xa5,xa

内恰有6个零点，则a的取值范围是（）

95117511911711

A．(2,](,]B．(,2](,]C．(2,][,3)D．(,2)[,3)

4244244444

1

2．（2025·天津武清·模拟预测）设aR，已知方程xxax12x恰有3个不同的实数解，则实

2

数a的取值范围是.

3．（2025·天津·二模）记[x]表示不大于x的最大整数，例如[π]3，[e]3，则方程x22[x]20所有

解的和为．

ax

4．（2025·天津河西·二模）已知函数fx有四个不同的零点，且xxxx，则

111234

x4a

xa

2x4x1x3x2的取值范围是.

2

x2

a2a,xa

5．（2025·天津·二模）设aR，函数f(x)xa.若f(x)在区间(,a)上恰有2个不同的

xaax1,xa

零点，则a的取值范围是；若f(x)在定义域内恰有2个零点，则a的取值范围是.

6．（2025·天津·二模）若函数fxx21x2axbca,b,cR的图象关于直线x2对称，且fx

恰有6个零点，则c的取值范围为.

x22x,xa3x23x4,x1

7．（2025·天津和平·二模）已知函数fx2，gx，若函数

x2a2x,xa4x,x1

hxfxgx恰有两个不同的零点，则实数a的取值范围是．

x

8．（2025·天津河北·二模）若函数fxx2ax1有且仅有一个零点x0，且x00，则实数a的取

值范围为.

x24xa,x0

9．（2023·天津滨海新·三模）已知函数f(x)1，若函数g(x)f(x)ax1在R上恰有三个

a1,x0

x

不同的零点，则实数a的取值范围是.

2xa,x0

10．（2024·天津·二模）设aR，函数fx2，若函数yfxax恰有4个零点，则

x5x4,x0

实数a的取值范围为.

x22axa,x0

．（江苏南通二模）已知函数x，若存在实数，使得函数有

112020··fxeex1kyfxk

a2,x0

x3

6个零点，则实数a的取值范围是.

3x11,x0,

．（天津宝坻二模）已知函数若函数有个零点，函数

122022··fx2yfxkx1m

x2x,x0,

1

yfxx1有n个零点，且mn7，则非零实数k的取值范围是（）

k

111

A．0,B．3,C．0,3,D．,11,3