河北省2025-2026学年高三数学上学期12月月考试题含解析

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.如图，全集，，，则图中阴影部分所表示的集合为（）．A B. C. D.2.函数的最小正周期是（）A. B. C. D.3.设,且,则（）A. B. C. D.4.已知，，且，的夹角为，则在上的投影向量为（）A. B. C. D.5.若，且，则直线必不过（）.A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限6.已知，．设函数，若实数满足不等式，则的取值范围为（）A. B. C. D.7.数列是等比数列，则对于“对于任意的，”是“是递增数列”的（）条件A.充分不必要 B.必要不充分 C.充分必要 D.不充分也不必要8.已知球是正三棱锥的外接球，，过点作球的截面，若截面面积为，则直线与该截面所成的角为（）A. B. C. D.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.如图所示，在棱长为2的正方体中，分别为棱，的中点，则下列结论正确的是（）A.直线与平面所成角正弦值为B.点到平面的距离为2C.直线与所成角的正切值是2D.平面截正方体所得的截面面积为10.已知直线，圆，则（）A.，与相交B.，使得圆心到距离为C.当圆截所得的弦长为时，的值为D.当圆上有个点到的距离为时，11.从数列中选取第项、第项、、第项，并按原顺序构成新数列称为数列的“连续子列”．已知数列中，，，对，数列的“连续子列”是公比为的等比数列．则下列判断正确的是（）A. B.C. D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.将复数在复平面上所对应的向量绕原点按顺时针方向旋转得到向量，那么对应的复数是_________.13.已知函数只有一个极值点，则实数的取值范围为________.14.已知底面半径为的圆锥其轴截面面积为，过圆锥顶点的截面面积最大值为，若，则该圆锥的侧面积为______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤．15.等差数列的前n项和为，数列满足（1）求数列和的通项公式；（2）若从数列中依次剔除与数列的公共项，剩下的项组成新的数列，求数列的前50项和．16.如图，三棱锥中，底面是正三角形，底面，平面，垂足为．（1）是否可能是的垂心，请说明理由（2）若恰是的重心，求直线与平面所成角的大小．17.在中，角，，对边分别为，，，且.（1）求角的大小；（2）若点为边的中点，点，分别在边，上，，.设，的面积为，求的取值范围.18.如图1，在平面五边形中，，，，，将三角形沿着向上翻折至三角形，得到四棱锥，如图2所示.（1）求证：；（2）若平面平面，（i）求平面与平面所成角的余弦值；（ii）点在线段上，设平面将四棱锥分为两个多面体，其中点所在的多面体体积为，另一个多面体体积为，若，求点到平面的距离.19.已知函数（1）当时，求在点处的切线方程；（2）若有3个零点，，，且.（i）求实数的取值范围；（ii）比较与的大小，并证明你的结论.2025－2026学年度高三年级上学期综合素质评价四数学学科主命题人：张金瑞一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.如图，全集，，，则图中阴影部分所表示的集合为（）．A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】图中阴影部分表示，再根据交集和补集的定义计算即可得出答案.【详解】根据已知条件有：图中阴影部分表示，，所以，所以图中阴影部分所表示的集合为：.故选：B2.函数的最小正周期是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先利用辅助角公式将函数化简为单一正弦函数形式，再根据正弦函数的周期公式求解该函数的最小正周期.【详解】函数化简得，其中，，因为，正弦函数的周期公式为，所以函数的最小正周期是.故选：C.3.设,且,则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由特殊值代入可判断ABD,由基本不等式可判断C.【详解】对于A：若则;若则,故A错误；对于B：若则,故B错误；对于C：,当且仅当时，即时，等号成立.又.又,故C正确；对于D：若，则即,与题设矛盾，故D错误.故选：C.4.已知，，且，的夹角为，则在上的投影向量为（）A B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据投影向量定义以及向量数量积定义计算可得结果.【详解】易知所以在上的投影向量为.故选：D5.若，且，则直线必不过（）.A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】【分析】对分成，，，去分母观察，化简可求得，再判断直线不过第几象限.【详解】由，则，，，相加得，又，得，即直线为，即，显然直线不过第四象限.故选：D【点睛】本题考查了学生的观察、分析能力，由比较整齐的式子，求得，再利用直线的性质，判断不过第几象限.6.已知，．设函数，若实数满足不等式，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据题意写出函数的解析式，根据函数的奇偶性和单调性将不等式转化为，解不等式即可得到答案.【详解】由题意得，，函数定义域为，，，所以函数为奇函数，又，所以函数为增函数，不等式，可化为，利用奇函数得，，利用增函数得，，即，解得或故选：D.7.数列是等比数列，则对于“对于任意的，”是“是递增数列”的（）条件A.充分不必要 B.必要不充分 C.充分必要 D.不充分也不必要【答案】C【解析】【分析】根据充分条件、必要条件的定义及等比数列的单调性与通项公式判断即可.【详解】设等比数列的公比为，，若，则，当时，由得，解得或，若，则，此时与已知矛盾；若，则，此时为递增数列．当时，由，得，解得或，若，则，此时与已知矛盾；若，则，此时为递增数列．反之，若是递增数列，则，所以“对于任意的，”是“是递增数列”的充要条件．故选：C．8.已知球是正三棱锥的外接球，，过点作球的截面，若截面面积为，则直线与该截面所成的角为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】作平面，垂足为，由正三棱锥性质求出及外接球的半径，进而求得，利用球的截面性质求解.【详解】如图，作平面，垂足为，则是正三角形的中心，因为

，，所以，则，因为，取的中点，所以，，设正三棱锥外接球的半径为，则，得，所以，故，设过点的球的截面圆的半径为，圆心为，为截面圆上一点，，则，所以，则，所以与该截面所成角为，故，，即与该截面所成角为.故选：C.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.如图所示，在棱长为2的正方体中，分别为棱，的中点，则下列结论正确的是（）A.直线与平面所成角的正弦值为B.点到平面的距离为2C.直线与所成角的正切值是2D.平面截正方体所得的截面面积为【答案】ABD【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量求线面角可判断A；用点到平面距离可判断B；利用空间向量求线线角即可判断C；画出平面的完整图形并计算可判断D.【详解】如图建立空间直角坐标系：设D点为原点，为x轴，为y轴，为z轴.，，，，，对于A，平面的法向量为,直线的方向向量为,设直线与平面所成角，则,故A正确.对于B，,设面的法向量为,，,令得,距离，故B正确.对于C，，，设直线与所成角为，则所以，，故C不正确；对于D，因为,连,，所以平面截正方体所得的截面是等腰梯形,上底,下底,腰，所以面积,故D正确.故选：ABD.10.已知直线，圆，则（）A.，与相交B.，使得圆心到的距离为C.当圆截所得的弦长为时，的值为D.当圆上有个点到的距离为时，【答案】ACD【解析】【分析】A选项利用直线恒过的定点在圆内即可判断；B选项圆心到的距离公式即可求解；C选项利用直线与圆相交的弦长公式即可求解；D选项利用当圆上有个点到的距离为时，需满足圆心到直线的距离即可求解.【详解】直线可变形为，令，则，解得，，则直线恒过定点；又圆的圆心为，半径为.则圆心到直线的距离为.对于A选项，，点在圆内，对，与相交，故A正确；对于B选项，令，两边平方化简得，，，此方程无解，不存在实数，使得圆心到的距离为，故B错误；对于C选项，直线与圆相交弦长，则，解得，，两边平方解得，当圆截所得的弦长为时，的值为，故C正确；对于D选项，当圆上有个点到的距离为时，需满足圆心到直线的距离，即，两边平方解得，即，故D正确.故选：ACD.11.从数列中选取第项、第项、、第项，并按原顺序构成的新数列称为数列的“连续子列”．已知数列中，，，对，数列的“连续子列”是公比为的等比数列．则下列判断正确的是（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】依题意对恒成立，代入计算可得、的值，可判断AB选项；依题意可得，，再利用累乘法求出，可判断C选项；再结合，计算可得，由放缩法得出，利用裂项相消法计算可判断D选项.【详解】A，由题意知、、是公比为的等比数列，所以对恒成立，又，所以，，A对；B，因为，所以，B对；C，因为对恒成立，所以，，所以，当时也成立，所以，C错；D，因为，所以，故，当时，；当时，；综上可得，D对.故选：ABD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.将复数在复平面上所对应的向量绕原点按顺时针方向旋转得到向量，那么对应的复数是_________.【答案】【解析】【分析】根据复数的三角形式运算即可求解.【详解】复数三角形式是,向量对应的复数是.故答案为：13.已知函数只有一个极值点，则实数的取值范围为________.【答案】或【解析】【分析】首先对函数求导，观察得到，并且将函数只有一个极值点转化为导数等于零只有一个根，结合图象得到结果.【详解】，函数只有一个极值点，即只有1个实根，且在根的两侧异号，可以求得，令，得，则设，求导，设，，设，，可知当时，，时，，所以在上单调增，在上单调减，且，所以恒成立，所以为减函数，且，所以当时，，当时，，所以在上单调增，在上单调减，当时，，当时，画出图象如图所示：可以确定，因为函数只有一个极值点，且，所以要求无解，所以或，故答案为：或.【点睛】该题考查的是有关利用导数研究函数的性质，涉及到的知识点有利用导数研究参数的取值范围，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．其中将函数有一个极值点转化为方程只有一个根，结合图象得到结果，属于较难题目.14.已知底面半径为的圆锥其轴截面面积为，过圆锥顶点的截面面积最大值为，若，则该圆锥的侧面积为______．【答案】【解析】【分析】根据给定条件可得圆锥轴截面顶角为钝角，再利用三角形面积公式求出母线长，进而求出圆锥侧面积.【详解】依题意，圆锥轴截面面积小于过圆锥顶点的截面面积最大值，则该圆锥轴截面顶角为钝角，设该圆锥母线长，轴截面顶角为，则，由，得，则，而圆锥底面圆半径，则，所以该圆锥的侧面积为.故答案为：四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤．15.等差数列的前n项和为，数列满足（1）求数列和的通项公式；（2）若从数列中依次剔除与数列的公共项，剩下的项组成新的数列，求数列的前50项和．【答案】（1），（2）4231【解析】【分析】（1）利用等差数列的性质求出公差即可求数列的通项公式；利用降标作差求得，再代入检验即可；（2）计算以及至，即可观察得出数列中的项，进而利用等差数列的前项和公式计算.【小问1详解】因数列是等差数列，则，得，又，所以，所以等差数列的公差，则，因，则当时，，两式作差得，即，令，得，则，满足上式，则，综上，数列的通项公式为，数列的通项公式为.【小问2详解】由（1）可得，，且，经验证数列前50项中与数列的公共项共有4项，分别为，从而数列中去掉的是这4项，所以.16.如图，三棱锥中，底面是正三角形，底面，平面，垂足为．（1）是否可能是的垂心，请说明理由（2）若恰是的重心，求直线与平面所成角的大小．【答案】（1）不是，理由见解析（2）【解析】【分析】（1）先假设是垂心，得出，结合条件推出，这与已知矛盾，从而可得不是的垂心；（2）由平面，可得为所求的与平面所成角大小，利用解三角形知识计算即得答案.【小问1详解】如图：假设是的垂心，则：，又因为平面，平面，所以，又平面，所以平面，平面，所以，又因为底面，所以，又平面，所以平面，所以，与底面是正三角形矛盾，所以不是的垂心.【小问2详解】因为平面，所以为所求的与平面所成角大小，取中点，连结，不妨设，则：，因为平面，所以：，又因为底面，所以，所以在三角形中，有，所以，所以，又，所以，所以与平面所成角大小为.17.在中，角，，的对边分别为，，，且.（1）求角的大小；（2）若点为边的中点，点，分别在边，上，，.设，的面积为，求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）首先边角互化，将边转化为三角函数，再根据三角恒等变形，即可求解；（2）首先结合正弦定理，利用三角函数分别表示，再表示三角形的面积，根据三角恒等变形，以及三角函数的性质，即可求解.【小问1详解】由及正弦定理得：，整理得，因，所以，所以，又，所以.【小问2详解】由及可知为等边三角形，∴，∴为边的中点，∴又因为，，所以.在中，，由正弦定理可得，，即.在中，，由正弦定理可得，，即.所以，因为，所以，所以，所以.所以，故的取值范围为18.如图1，在平面五边形中，，，，，将三角形沿着向上翻折至三角形，得到四棱锥，如图2所示.（1）求证：；（2）若平面平面，（i）求平面与平面所成角的余弦值；（ii）点在线段上，设平面将四棱锥分为两个多面体，其中点所在的多面体体积为，另一个多面体体积为，若，求点到平面的距离.【答案】（1）证明见解析（2）（i）（ii）【解析】【分析】（1）在平面图形中作出辅助线，分析得到四边形为矩形，且，由余弦定理得，，折叠后有，，证明出线面垂直，得到；（2）（i）由面面垂直得到线面垂直，故，所以两两垂直，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用向量夹角余弦公式进行求解；（ii）设平面交直线于点，证明出，设，，由三角形相似得，由（1）知，，所以⊥平面，表达出，四棱锥的体积为，根据体积之比得到方程，求出，进而由比例关系求出到平面的距离.【小问1详解】如图，连接，，因为且，，故四边形为矩形，因为，，由勾股定理得，且，又，由余弦定理得，所以，，所以，连接交于点，则等腰三角形中，为角平分线，也是垂线，所以.折叠之后有，，，平面，所以平面，又平面，所以.【小问2详解】（i）因为平面平面，平面平面，，平面，所以平面，又平面，故，又，所以两两垂直，以点为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，由于，，，，，，，，，，，，设平面的一个法向量为，则，取，则，设平面的一个法向量为，则，取，则，设平面与平面所成角为，，所以平面与平面所成角的余弦值为.（ii）