重庆市2025-2026学年高二数学上学期周考八试题含解析

（满分150分，120分钟完成）一、单选题（50分）1.抛物线的焦点到准线的距离是A. B.1 C. D.【答案】D【解析】【详解】，，所以抛物线的焦点到其准线的距离是，故选D.2.方程表示椭圆，则n的取值范围是（）A. B.或C. D.【答案】B【解析】【分析】利用椭圆的标准方程即可求出参数范围.【详解】由于方程表示椭圆，所以，解得或．故选：B．3.“”是“直线和直线平行”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据两直线平行的判定条件进行判断即可.【详解】当时，两直线方程为和，可见两直线斜率相等，且两直线不重合，所以两直线平行，所以“”是“直线和直线平行”的充分条件；若直线和直线平行，若，则，解得.当时，两直线方程为和，斜率相等，平行；当时，两直线方程为和，斜率相等，平行；若，两直线方程为和，两直线垂直，不平行；所以若直线和直线平行，则或.综上，“”是“直线和直线平行”的充分不必要条件.故选：A.4.已知焦点在轴上的双曲线的渐近线与圆有公共点，则双曲线的离心率的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】设焦点在轴上的双曲线的渐近线方程为：，将该渐近线与圆有公共点，转化为圆心到渐近线的距离小于或等于圆的半径，列出相应的关系式，求得双曲线的离心率的取值范围.【详解】由，得.记圆的圆心为，半径为.设焦点在轴上的双曲线的渐近线方程为：，即.由题可知，，化简得：.由，得.化简，得，所以.双曲线的离心率的取值范围为.故选：B.5.设F是椭圆的左焦点，P是椭圆上的动点，A是直线上的动点，则的最小值为（）A. B. C. D.3【答案】A【解析】【分析】设椭圆右焦点，利用椭圆的定义转化线段差为线段和，结合图形及点到线的距离公式计算即可.【详解】由，，设为该椭圆的右焦点，则，所以，于是，显然当，P，A三点共线，且PA与直线垂直时，有最小值，最小值为.故选：A．6.如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，则直线与平面ACD1所成的角的正弦值是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】建立恰当的空间直角坐标系，根据直线与平面所成角的向量求法求解.【详解】如图所示建立空间直角坐标系，则.所以.设平面ACD1的一个法向量为则，所以.令，则..所以直线与平面ACD1所成的角的正弦值是.故选：C.7.已知分别为椭圆的左、右焦点，经过坐标原点的直线与交于，，若，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据方程可得，结合椭圆定义可得，再利用余弦定理以及几何性质分析求解.【详解】由椭圆方程可知：，即，因为，且，可得，在中，，由椭圆性质可知：，即四边形为平行四边形，所以.故选：A.8.直线l过点且与椭圆相交于A、B两点，若线段的中点为M则直线l的斜率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】设点坐标，代入椭圆中，作差化简可得答案.【详解】设

和

为直线与椭圆的交点，且

为

中点，因此：，点

和

满足椭圆方程：，将方程(1)减去(2)：，因式分解：，代入中点坐标：，得：，整理得：，因此，斜率

.故选：B9.已知双曲线（，）的离心率为，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点.设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为和，且，则双曲线的方程为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据梯形中位线的性质，结合点到直线的距离公式可得，即可根据离心率求解.【详解】由题意可得图象如图，是双曲线的一条渐近线，即，，，，，则四边形是梯形，F是的中点，，，所以，双曲线的离心率为，可得，可得：，解得，则双曲线的方程为．故选：C．10.已知抛物线C：的焦点为，准线与轴交于点，过点的直线交抛物线于，两点，若，则直线倾斜角的正弦值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用条件求出点的坐标，然后利用两点的斜率公式求解直线的斜率，最后利用同角三角函数的关系求解倾斜角的正弦值即可.【详解】已知抛物线，可得：抛物线焦点为，准线方程为，因此可得：准线与轴的交点为.不妨假设点在第一象限，由于，可得：直线的斜率为，即，又，联立，得：，即，解得：或，当时，，即，设直线的倾斜角为，则，由，且，又，得：.当时，，即，则，同理可得：.综上所述可得：则直线倾斜角的正弦值为.故选：A二、多选题（30分）11.已知圆，直线，，则（）A.B.与圆C相交C.若与圆C相交于A、B，则弦长的最大值为4D.与圆C相切，则【答案】ABD【解析】【分析】利用可判断A；求得直线过定点，判断点在圆内，进而可判断B；求得圆心到直线的最大距离，可求弦长判断C；利用圆心到直线的距离等于半径求得，进而可判断D.【详解】∵，∴，故A正确．∵，∴过定点，∵，∴点P在圆内，∴与圆C相交，故B正确．∵圆心，，∴圆心C到的距离的最大值为，∴，∴，故C错误．∵圆心到的距离，若圆C与相切，则，即，，故D正确．故选：ABD．12.如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，，平面，为的中点，则（）A.B.异面直线与所成角的余弦值为C.D.点到平面的距离为【答案】ABD【解析】【分析】根据向量线性运算可知A正确；以为坐标原点建立空间直角坐标系，根据异面直线所成角的向量求法、向量模长的求解与点到平面距离的向量求法依次验证BCD选项即可.【详解】对于A，，A正确；对于B，以为坐标原点，正方向为轴正方向可建立如图空间直角坐标系，则，，，，，，，即异面直线与所成角的余弦值为，B正确；对于C，由B知：，，即，C错误；对于D，由B知：，，，设平面的法向量，则，令，解得：，，，设点到平面的距离为，则，D正确.故选：ABD.13.已知抛物线C：的准线为l，焦点为F，P为抛物线C上的动点，过点P作：的一条切线，Q为切点，过点P作l的垂线，垂足为B，则（）A.准线l与圆A相切B.过点F，A的直线与抛物线C相交的弦长为5C.当P，A，B三点共线时，D.满足的点P有且仅有2个【答案】BCD【解析】【分析】对于A，只需判断圆的半径是否等于1即可；对于B，联立直线的方程与抛物线方程，结合韦达定理，焦点弦公式即可判断；对于C，直接验算即可；对于D，联立直线的垂直平分线方程与抛物线方程，判断判别式是否大于0即可.【详解】对于A，抛物线的准线为，圆A的圆心在轴上，半径，准线l与圆A相离，A错误；对于B，直线的方程为，代入得，弦长为，B正确；对于C，中，令得，故，显然⊥，由勾股定理得，所以，C正确；对于D，由抛物线的定义得，故满足要求的点在线段的垂直平分线上，其中直线的垂直平分线方程为，代入得，故点有且仅有2个，D正确．故选：BCD.14.截口曲线是由平面截取圆锥和圆柱时形成的交线，其形状取决于截面与轴的夹角，当夹角变化时可得到不同的截口曲线．如图，在圆锥中，母线与旋转轴夹角为，现有一截面与旋转轴的交点M距离圆锥顶点S长度为2，则以下关于该截口曲线描述正确的命题有（）A.若该截面与圆锥的一条母线夹角为60°，则该曲线为圆B.若该截面与圆锥的旋转轴夹角为60°，则该曲线的离心率为C.若该截面与圆锥的旋转轴夹角为60°，则点M为该曲线的一个焦点D.若该截面与圆锥的旋转轴夹角为60°，则该曲线上任意两点之间的最大距离为3【答案】BD【解析】【分析】根据截面与母线所成的角可知截面与旋转轴垂直判断A，根据截面与圆锥的旋转轴夹角为60°可判断曲线为椭圆，利用长轴的性质判断D，建立平面直角坐标系，求出椭圆方程，求出焦点坐标及离心率判断BC.【详解】对于A，当截面与圆锥一个轴截面的一条母线夹角为60°且与该轴截面的另一条母线平行线时，所以所得曲线是不是圆，A错误；对于BCD，根据圆锥曲线的概念可知截口曲线为椭圆，若该截面与圆锥的旋转轴夹角为60°，则该截面与圆锥的一条母线垂直，设与截面垂直的母线垂足为A，平面SAM交椭圆曲线的另一交点为B，由对称性知AB为该椭圆的长轴端点．如图，在直角三角形SAB中，由，，，则有，，，，，所以该曲线上任意两点之间的最大距离是长轴长，故D正确；再过M作平面垂直于旋转轴，则可得该截面圆的半径，在这个圆面内作MP垂直于平面SAB，交椭圆于点P，则，如图，在截面上取AB中点为坐标原点，方向为x轴正向，建立平面直角坐标系，则，，，由MP垂直于平面SAB知MP垂直于x轴，则，设椭圆方程为，将代入得：，最后可得，由于，所以不是椭圆的焦点，故C错误；即椭圆离心率为，故B正确；故选：BD15.如图，正方体中，为棱的中点，为平面上的动点，设直线与底面所成的角为，直线与底面所成的角为，平面与底面的夹角为，平面与底面的夹角为，则（）A.若，则点在圆上 B.若，则点在双曲线上C.若，则点在抛物线上 D.若，则点在椭圆上【答案】ACD【解析】【分析】根据线面角的定义和可推导得到，建立平面直角坐标系后，可整理得到点轨迹为圆，知A正确；由面面角定义和可推导得到，知B错误；由可推导得到，结合抛物线定义知C正确；由可推导得到，在平面直角坐标系中求得动点轨迹后可知D正确.【详解】对于A，平面，平面，，，，，又，，，在平面中，以为坐标原点，正方向为轴正方向可建立如图平面直角坐标系，设，，则，，由得：，整理可得：，点在圆上，A正确；对于B，作，垂足为，作交于点；作，垂足为，作交于点；平面平面，平面，平面与平面所成角即平面，平面与平面所成角，即，，，，又，，点在的平分线上，B错误；对于C，由AB知：，，又，，即在平面中，点到定点的距离等于到定直线的距离，点在抛物线上，C正确；对于D，由AB知：，，又，，在选项A的平面直角坐标系中，设，则，，，，整理可得：，点在椭圆上，D正确.故选：ACD.三、填空题（20分）16.椭圆左、右焦点分别为为椭圆上一点，，则___________．【答案】35【解析】【分析】根据椭圆的定义及余弦定理可列得关于的方程，联立可得.【详解】由题可知，.所以，化简得，所以.故答案：35.17.已知椭圆，直线，则椭圆C上的点P到直线l的距离的最小值为______．【答案】【解析】【分析】方法一：当过点P的直线与直线l平行且与椭圆相切时，点P到直线l的距离取得最小值；方法二：应用三角换元设，再应用点到直线距离公式结合三角函数值域计算求解最小值即可.【详解】方法一：设，即，与椭圆C的方程联立，得．，∴，当时，点P到直线l的距离为，即椭圆C上的点P到直线l的距离的最小值为．方法二：设，由点到直线距离公式∵，∴∴，∴．故答案为：.18.已知椭圆C：，，是椭圆C的左、右焦点，P为椭圆C上的动点，若内切圆的面积为，则__________.【答案】##0.6【解析】【分析】设.先求出内切圆的半径，并利用表示出的面积，在中，由余弦定理求出，并根据三角形面积公式列出等式，得到，结合求出即可.【详解】设内切圆的半径为，则有，解得.由椭圆C：可知.设，在中，由余弦定理可知，即，即，即，所以.因为的面积，即，即，解得①.因为②，且，所以由①②解得，即.故答案为：19.已知椭圆和双曲线有共同的焦点，P，Q分别是它们的在第一象限和第三象限的交点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为，则等于______．【答案】2【解析】【分析】根据椭圆和双曲线的定义及勾股定理，利用椭圆和双曲线的离心率公式即可求解.【详解】设椭圆长半轴为，双曲线实半轴为，，为两曲线在第一象限的交点，为两曲线在第三象限的交点，如图所示，由椭圆和双曲线定义与对称性知，，，，，则，，即，于是有，则，故答案为：.四、解答题20.已知四棱台，底面四边形为菱形，，且侧棱平面.（1）证明：平面；（2）记，求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）底面四边形为菱形，，则为的中点，可得，从而得到平面；（2）取中点，可以得到以为原点，、、分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示，根据长度写出点的坐标，根据得到，从而得到，利用向量求出的坐标，求出平面的法向量和，利用向量的数量积得到直线与平面所成角的正弦值.【小问1详解】，底面四边形为菱形，，，则，设，连接，底面四边形为菱形，为的中点，，，，平行四边形，，平面，平面，平面；【小问2详解】底面四边形菱形，，是等边三角形，取中点，连接，则，，，平面，以为原点，、、分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示，，，，，，，，，，，，，，，，设，则，，，，，，，，，设平面的法向量为，，则，取，解得，，则，，，，，，设直线与平面所成的角为，则，直线与平面所成角的正弦值.21.已知双曲线：的左、右顶点分别为，过右焦点的直线与双曲线的右支交于两点（点在轴上方）．（1）若，求直线的方程；（2）设直线的斜率分别为，，证明：为定值．【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）由可得与之间的关系，将代入双曲线方程可求得点坐标，进而求得，由此可得所求直线方程；（2）设直线的方程为，代入双曲线方程可得韦达定理的形式，利用坐标表示出，整理可得，由可化简得到定值.【详解】（1）设点，，由，可得：，即，将，代入双曲线方程得，消去，解得：，又点在轴上方，点在轴下方，，，，直线的方程为.（2）过右焦点的直线与双曲线的右支交于两点，，可设直线的方程为，，，联立方程，消去整理得：，则，解得：，，，又，，，，，又，，即为定值.【点睛】思路点睛：本题考查直线与双曲线综合应用中的定值问题的求解，求解此类问题的基本思路如下：①假设直线方程，与双曲线方程联立，整理为关于或的一元二次方程的形式；②利用求得变量的取值范围，得到韦达定理的形式；③利用韦达定理表示