内蒙古巴彦淖尔市2025-2026学年高二数学上学期12月月考试题含解析

巴彦淖尔市2025-2026学年高二上学期12月月考数学试题一、单选题1．椭圆的焦点坐标为（

）A． B．C． D．2．已知双曲线的两条渐近线互相垂直，则（

）．A．1 B．2 C．3 D．43．设圆：和圆：交于A，B两点，则四边形的面积为（

）A．12 B． C．6 D．4．平行六面体中.则=（

）A． B． C． D．5．经过椭圆的左焦点的直线与椭圆交于A，B两点（非顶点），为右焦点，则的周长为（

）A． B． C． D．46．已知为双曲线的右焦点，过点的直线交双曲线的右支于，两点，交：于点.若，，则双曲线的离心率为（

）A．4 B．3 C．2 D．7．若直线与连接的线段总有公共点，则的取值范围是（

）A． B．C． D．8．下列图中能表示直线l的倾斜角的是（

）A． B． C． D．二、多选题9．关于空间向量，以下说法正确的是（

）A．若，则向量，的夹角是锐角B．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面C．若对空间中任意一点O，有，则P，A，B，C四点共面D．若分别表示空间两向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不共面10．下列结论中正确的有（

）A．过点且与直线平行的直线的方程为B．过点且与直线垂直的直线的方程为C．若直线与直线平行，则的值为3D．过点，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为11．已知圆：与圆：相交于A，B两点，则下列判断正确的是（

）A．两圆的相交弦所在直线方程为B．两圆的公共弦长为C．经过A，B两点，且过原点的圆的方程为D．P为上任意一点，Q为上任意一点，则PQ的最大值为三、填空题12．已知椭圆的焦点在轴上，若椭圆的焦距为4，则的值为．13．已知对任意正实数m，n，p，q，有如下结论成立：若，则有成立，现已知椭圆上存在一点P，，为其焦点，在中，，，则椭圆的离心率为14．两直线，若的倾斜角是，则的斜率是.四、解答题15．已知的三个顶点，求：(1)边上的高所在直线的方程；(2)外接圆的方程.16．已知直线和直线在轴上的截距相等，且它们的倾斜角互补，又知直线过点．如果点到直线的距离为1，求的方程．17．如图，在四棱锥中，底面ABCD是矩形，侧棱底面ABCD，点E是PD的中点，，.求平面EAC与平面PAB夹角的余弦值.18．已知，，.(1)求直线的方程及的面积；(2)求的外接圆的方程.19．设点到直线的距离，且点是直线上的任意一点，是直线的一个法向量．(1)写出点到直线的距离公式，并要有详细推导过程；(2)已知点关于直线的对称点为点，求点到直线的距离．

1．A根据椭圆的简单几何性质计算可得；【详解】解：因为椭圆方程为，焦点在轴上，且，，因为，所以，所以焦点坐标为、故选：A2．B求出双曲线的渐近线方程，然后由垂直可得答案.【详解】双曲线的渐近线方程为，因为双曲线的两条渐近线互相垂直，所以，解得或（舍去），故选：B3．C利用两圆的位置关系计算公共弦及其弦长，结合点到直线的距离公式计算即可.【详解】由题意可知：，因为圆：和圆：交于A，B两点，所以直线AB的方程为，所以到直线AB的距离，所以，又，所以．故选：C．4．A先表达出，两边平方后，利用空间向量数量积运算法则得到，从而求出模长.【详解】由题意得，故，故.故选：A5．A由椭圆的定义求解.【详解】椭圆即，所以椭圆的长半轴，由椭圆的定义可得，且，则的周长为.故选：A.6．C利用双曲线第二定义和三角形相似，求出即可求得离心率的值.【详解】由题意得，即双曲线的右准线.如图，过，作右准线的垂线，垂足为，，轴与右准线的交点为.因为，所以是的中点，,由双曲线第二定义可得，可得，又由相似三角形可得，所以，所以，因为，所以，，，又由相似三角形可得，因为，，，所以综上可化为，解得，所以.故选：C.7．B可得直线过定点，则数形结合可得或即可求出.【详解】可得直线的斜率为，且过定点，则由图可得，要使直线与线段总有公共点，需满足或，，或，或.故选：B.8．A根据倾斜角的概念直接判断即可.【详解】由倾斜角的定义，直线向上的方向与x轴正向之间所成角为倾斜角，可知只有选项A中的表示直线l的倾斜角.故选：A9．BC根据空间向量共面定理即可判断B；根据，得到，即可判断A；根据判断四点共面即可判断C；异面直线的平行线即可判断D.【详解】对A，若，则，则向量，的夹角可以为0不是锐角,故A错误；对B，根据空间向量共面定理知：空间中三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面，故B正确.对C，因为，且，所以四点共面,故C正确.对D，分别表示空间两向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量是异面直线的平行线可以共面，故D错误.故选：BC.10．ABC对于A，由互相平行直线的特点直接写出方程，化简对比即可；对于B，由互相垂直直线的特点直接写出方程，化简对比即可；对于C，由直线平行的充要条件列出方程，解方程对比即可,注意检验；对于D，注意到当截距均为0时，也是有可能的，故可以判断D错误.【详解】对于A，过点且与直线平行的直线的方程为，化简得，故A正确；对于B，过点且与直线垂直的直线的方程为，化简得，故B正确；对于C，因为直线与直线平行，所以，解得或，注意到当时，两直线重合，所以，故C正确；对于D，注意到点在直线上，且该直线在两坐标轴上的截距均为0，即该直线截距相等，故D错误.故选：ABC.11．ACD求得两圆的相交弦所在直线方程判断选项A；求得两圆的公共弦长判断选项B；求得经过A，B两点，且过原点的圆的方程判断选项C；求得PQ的最大值判断选项D.【详解】选项A：由两圆与的方程相减可得，即，则两圆的相交弦所在直线方程为.判断正确；选项B：：的圆心，半径为5，到直线的距离为，则两圆的公共弦长为.判断错误；选项C：经过A，B两点的圆的方程可设为，又此圆过原点，则有，解之得，则，则经过A，B两点，且过原点的圆的方程为.判断正确；选项D：：的圆心，半径为5，圆：的圆心，半径为，P为上任意一点，Q为上任意一点，则PQ的最大值为.判断正确.故选：ACD12．首先将椭圆方程化为标准式，即可得到、，根据焦距求出.【详解】椭圆即，焦点在轴上，所以，所以，又椭圆的焦距为4，所以，解得．故答案为：13．根据正弦定理，结合题意，列出方程，代入数据，化简即可得答案.【详解】由题意得：，所以，所以，解得.故答案为：14．求出直线的斜率，再借助垂直关系求出的斜率.【详解】由的倾斜角是，得直线的斜率，由于，所以的斜率.故答案为：15．(1)(2)（1）求出AB边上的高的斜率为﹣1，可得AB边上的高所在直线的方程；（2）利用待定系数法求△ABC外接圆方程．【详解】（1）直线的斜率，那么边上的高的斜率就是，所以方程是，整理为：．（2）设外接圆方程是，代入三个点的坐标，

外接圆的方程为16．或．根据题意，设出直线的方程，结合点到直线的距离公式列出方程，再将点的坐标代入直线的方程，联立方程，即可得到结果.【详解】由题意，可设直线的方程为，即，点到直线的距离为1，，①又直线的方程为，且直线过点，．②由①②，得，两边平方整理得，解得或．当时，代入②，得，此时直线的方程为；当时，代入②，得，此时直线的方程为．综上所述，直线的方程为或．17．建立空间直角坐标系，分别求出平面EAC的法向量与平面PAB的法向量，利用空间向量中平面夹角的计算公式求解即可.【详解】因为平面ABCD，AB，平面ABCD，所以，，由于四边形ABCD是矩形，所以，由此，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则，所以，设平面EAC的一个法向量为，则，即，取，则，所以是平面EAC的一个法向量，又，又因为平面，所以平面.所以是平面的一个法向量.设平面EAC与平面的夹角为，则，所以平面EAC与平面夹角的余弦值为.18．(1)；9(2)【详解】（1）直线的方程为，即，因为