浙江省杭州市2025-2026学年高一数学上学期11月期中测试试题含解析

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用交集的定义直接求解.【详解】由，，得.故选：B2.设，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】先求解一元二次不等式，再应用充分必要条件定义判断.【详解】“”化简得，所以“”可以推出“”，“”不可以推出“”，所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A.3.下列说法错误的是（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则【答案】B【解析】【分析】对于ACD，利用不等式的性质分析判断，对于B，举例判断.【详解】对于A，因为，且，所以，故A正确；对于B，当时，满足，此时，不满足，故B错误；对于C，因为，所以，又，所以，故C正确；对于D，若，则，故D正确.故选：B.4.已知幂函数在上单调递减，则函数在区间上的最小值是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由已知求得，代入得出的解析式以及单调性，即可得出答案.【详解】由已知可得，，解得，所以，，.所以，在区间上单调递增，所以，在处取得最小值.故选：D.5.不等式的解集为,则函数的图像大致为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据题意，可得方程的两个根为和，且，结合二次方程根与系数的关系得到、、的关系，再结合二次函数的性质判断即可．【详解】根据题意，的解集为，则方程的两个根为和，且.则有，变形可得，故函数是开口向下的二次函数，且与轴的交点坐标为和.对照四个选项，只有C符合.故选：C．6.若，，，则a、b、c的大小关系是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用幂函数在第一象限内是增函数，即可判断的大小.【详解】因为，，，又在第一象限内是增函数，，所以，即.故选：D.7.若函数在定义域上的值域为，则称为“函数”．已知函数是“函数”，则实数的取值范围是（

）A. B.C. D.【答案】C【解析】【详解】根据“函数”的定义确定的值域为，结合每段上的函数的取值范围列出相应不等式，即可求得答案.【分析】由题意可知的定义域为，又因为函数是“函数”，故其值域为，而，则值域为；当时，，当时，，对称轴且开口向上，则在上单调递增，则，故由函数是“函数”可得，解得，即实数的取值范围是，故选：C.8.已知正实数满足，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由条件得到，通过换元，得到，再结合基本不等式即可求解.【详解】因，所以，令，因为都是正数，所以即，且，同时，所以当且仅当时等号成立，此时.故选：A二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列函数中，既是偶函数，又在上单调递增的是（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】【分析】根据给定条件，利用偶函数定义及函数单调性逐项判断即得.【详解】对于A，函数定义域为，不是偶函数，A错误；对于B，函数定义域为R，，是偶函数，且在上单调递增，B正确；对于C，函数定义域为R，，是偶函数，且当时，，则其在上单调递增，C正确；对于D，因为，，则，不偶函数，D错误.故选：BC10.下列说法正确的是（）A.的最小值为2 B.的最小值为1C.的最大值为2 D.最小值为【答案】BD【解析】【分析】A选项，举出反例；B选项，利用得到；C选项，配方法得到，从而求出最大值为1；D选项，变形后利用基本不等式求出最小值.【详解】当时，无最小值，故A错误；因为，所以，故B正确；，所以的最大值为1，C错误；，当且仅当，即时，等号成立，D正确.故选：BD11.定义在上的函数满足，且为奇函数，已知当时，，则下列结论正确的是（）A. B.在区间上单调递减C. D.【答案】ABD【解析】【分析】根据已知得、，进而得，利用对称性判断在区间上的单调性，再由区间解析式判断单调性，结合对称性比较大小，最后由周期性求函数值.【详解】由为奇函数，则，即，由，则，故，所以，故，A对；由，知图象关于对称，由，知图象关于点对称，且，当时，，即在上单调递增，所以在、上单调递减，即在上单调递减，若，则，结合周期性知，所以在区间上单调递减，B对；由，C错；由，则，，所以，又，，D对.故选：ABD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知函数，则__________.【答案】1【解析】【分析】根据题意先求出，再求即可.【详解】因为，所以，所以.故答案为：113.函数的单调递增区间为__________.【答案】【解析】【分析】求出函数定义域，在讨论的单调性，再由是增函数可得．【详解】设，由，得或，所以函数的定义域为.又因为在其定义域内为增函数，且在上为减函数，在上为增函数，所以函数在上为减函数，在上为增函数.所以其单调递增区间为.故答案为：．【点睛】本题考查对数型复合函数的单调性，解题第一步应先求函数定义域，然后结合复合函数单调性求得单调区间．14.若关于的方程有且仅有四个实根，其中，且，则的取值范围为_____．【答案】【解析】【分析】由题意可得、是的两根，、是的两根，且（数轴上，的中点是，根据，不妨设，，再不妨设，，根据韦达定理可得且，，整理化简可得，解得即可得的取值范围.【详解】于的方程有且仅有四个实根，其中，因为，所以，则方程的两根为，方程的两根为，则（数轴上，的中点是，因为，不妨设，，因为，是的两根，所以，，再不妨设，因为，是的两根，则，，所以，则，又，因为，则，故的取值范围为.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知集合或（1）当时，求；（2）若，求a的取值范围【答案】（1）或（2）或【解析】【分析】（1）先求出，再结合交集的定义计算即可；（2）由可得或，解出即可.【小问1详解】因为，所以，因为或，所以或；【小问2详解】因为，所以或，或．16.（1）计算；（2）计算．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用分数指数幂运算法则进行计算；（2）利用换底公式，对数运算法则及性质进行计算.【详解】（1）；（2）.17.已知函数．（1）当时，求的最小值；（2）设，若对于任意，存在，使得不等式成立，求的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据复合函数单调性确定函数的单调性即可得最值；（2）由题意可得恒成立，利用换元法可得，则在上恒成立，由对数函数的单调性及参变量分离法可得在上恒成立，利用基本不等式可得的最小值，从而可得的取值范围．【小问1详解】，由于恒成立，所以函数的定义域为，又函数在上单调递减，在上单调递增，函数为增函数，所以函数在上单调递减，在上单调递增，故的最小值为；【小问2详解】若对于任意，存在，使得不等式成立，则恒成立，令，当时，，所以，所以当时，，所以在上恒成立，即在上恒成立，则在上恒成立，所以在上恒成立，因为，当且仅当，即时等号成立，所以，即的取值范围是．18.某公司计划从甲、乙两种方案中选择一种方案，进行广告宣传拓展业务．市场调研表明，采用甲方案的宣传费用（单位：十万元）与其利润（单位：百万元）之间的关系是，乙方案的宣传费用（单位：十万元）与其利润（单位：百万元）之间的关系是，对于，用表示，中的最大者，记为．（1）求的解析式；（2）已知该公司的宣传费用预算为（单位：十万元），以利润为决策依据，请问该公司应投入多少宣传费用（单位：十万元）？并求出相应的利润（单位：百万元）．【答案】（1）（2）答案见解析【解析】【分析】（1）利用作差法分别判断各范围内两函数的大小关系，可得；（2）根据函数的单调性分情况讨论，判断函数的最值.【小问1详解】当时，，，令，即，解得，即当时，恒成立，；当时，，，令，即，解得或，即当时，，，当，，；当时，，，所以在时恒成立，，综上所述，；【小问2详解】由（1）得，可知函数在，上单调递增，在，上单调递减，所以当时，应投入（十万元），此时利润为；当时，应投入（十万元），此时利润为；当时，令，解得，所以当时，应投入（十万元），此时利润为；当时，应投入（十万元），此时利润为；当时，由，所以应投入（十万元），此时利润；综上所述，当时，应投入（十万元），此时利润；当时，应投入（十万元），此时利润；当时，应投入（十万元），此时利润；当时，应投入（十万元），此时利润.19.已知是定义在上奇函数.（1）求的值，指出的单调性（单调性无需证明）；（2）若函数的图象可以由函数的图象通过平移得到，求的值和函数的值域；（3）若函数，是否存在实数，使得对区间上任意三个实数，都存在以为边长的三角形？若存在，求实数的取值范围；若不存在，请说明理由.【答案】（1）；在上单调递增；（2），；（3）存在，【解析】【分析】（1）根据题意，由，求得，得到函数的解析式，结合单调性的定义与判定方法，即可求解；（2）根据题意，得到，得出，得到，结合指数函数的性质，即可求得的值域；（3）由题意，转化为存在以为边长的三角形，即且恒成立，分，和，三种情况讨论，列出不等式，即可求解.【小问1详解】解：因为是定义在上的奇函数，所以，解得，当时，，函数的定义域为关于原点对称，且，满足是奇函数，又由，任取且，则，因为，可得且，所以，即