重庆市2025-2026学年高一数学上学期过程性检测试题含解析

一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.1.“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据给定条件，利用充分条件、必要条件的定义判断即得.【详解】由，得，而当时，成立，但不成立，所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A2.角的终边经过点，则（）A. B. C. D.0【答案】B【解析】【分析】由任意角三角函数的定义求得，即可求出的值.【详解】因为角的终边经过点

，所以.所以，.所以.故选：B.3.函数的图象大致为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据函数的奇偶性和函数的极限即可判断.【详解】的定义域为，因为，所以为奇函数，排除BD；当时，，排除C，故A正确.故选：A4.已知幂函数在区间上单调递增，则函数的图象过定点（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据幂函数的定义及单调性求出，再结合指数函数的性质可得.【详解】由题可得，解得或，又在区间上单调递增，所以，故，所以过定点.故选：B.5.定义在上的函数满足，则的值为（）A.4 B.5 C.6 D.8【答案】B【解析】【分析】根据，想到令得到关于与的方程组，解方程组得到抽象函数的解析式，进而可求函数值.【详解】因为，①令，可得.②①②得，所以.所以.故选：B.6.若，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据指数函数和对数函数的性质进行判断即可.【详解】因为，，，所以比较可得.故选：C.7.已知函数，若对任意，都有成立，则实数的取值范围为（）A B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据给定条件，利用函数单调性定义确定单调性，再利用分段函数单调性，结合一次函数、二次函数单调性列式求出范围.【详解】由对任意，都有成立，可得函数在R上单调递减，要使函数在R上单调递减，需使，解得，即实数的取值范围为.故选：D8.函数在区间内有零点，则实数取值范围为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】函数在区间内有零点，即方程在区间内有解，即方程在区间内有解，构造函数，分析单调性求得的值域，即可得实数的取值范围.【详解】函数在区间内有零点，即方程在区间内有解，即方程在区间内有解.令函数，则直线与函数的图象有交点.因为函数在上单调递减，函数在上单调递减，所以函数是减函数.因为.所以函数的值域为，所以实数的取值范围为.故选：D.二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.（多选题）已知正实数满足，下列结论正确的是（）A.B.C.有最大值D.有最小值【答案】ABD【解析】【分析】根据等式化简、基本不等式的性质逐项判断即可.【详解】对于A：因为，所以.所以，A正确；对于B：因为，所以，因为为正实数，所以，解得，B正确；对于C：因为，所以.当时，；当时，，无最大值，C错误；对于D：因为，所以.因为，所以根据基本不等式的性质可得，当且仅当，即时等号成立，此时取最小值为，D正确.故选：ABD.10.已知函数且，下列结论正确的有（）A.函数是奇函数B.函数是偶函数C.若，则在上单调递减D.若，则在上单调递增【答案】AC【解析】【分析】利用函数奇偶性的定义可判断AB选项；利用复合函数的单调性可判断C选项；利用特殊值法可判断D选项.【详解】对于AB选项，对于函数，有，解得或，即函数的定义域为，因，所以函数为奇函数，A对B错；对于CD选项，，令，，当时，因内层函数在上为增函数，外层函数在上为减函数，故函数在上为减函数，因为内层函数在上为减函数，外层函数在上为增函数，所以函数在上为减函数，所以当时，在上单调递减，C对；当时，，，，所以，由，可得，即，故当时，，此时函数在上不是增函数，D错.故选：AC.11.设函数，若方程有四个不同的实根，分别为，且，下列结论正确的是（）A.B.C.D.在上单调【答案】BD【解析】【分析】根据基本初等函数性质，以及函数图像的平移方法，画出分段函数图像；再根据基本不等式的性质，判断选项A的正误；根据函数图像，判断有四个解时的情况，判断选项B，C的正误；再根据参数的范围和复合函数单调性的判断方法，判断D的正误.【详解】当时，，当时，，作出函数图像，如下图所示，当时，，则，可知，当且仅当，即时取等号，所以，当方程有四个不同的实根时，由图像可知，所以A错误；由图像可知，即的解为，化简得，当时，恒成立，所以，则，所以B正确；由图像可知，即，解得，则，令，则，设函数，由对勾函数可知在上单调递增，即，则，所以C错误；由题意得，设，则，化简得，化简得，可知，即，同理，则，因为，所以，，则，可得，即，所以在上单调递减，所以D正确；故选：BD.三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知集合是小于的正整数，，则中元素个数为_____.【答案】【解析】【分析】首先求解出集合，然后再根据补集的定义进行求解即可.【详解】已知，，可得：.故中元素个数为.故答案为：13.一个扇形的弧长和面积都是，则这个扇形的圆心角的弧度数为______.【答案】【解析】【分析】设该扇形的半径为r，圆心角的弧度数为，根据扇形的弧长和面积公式可得出关于、的方程组，即可求解.【详解】设该扇形的半径为，圆心角的弧度数为，由题意可得，解得，因此，这个扇形的圆心角的弧度数为.故答案为：.14.已知正实数，对任意的恒成立，且，则_____.【答案】【解析】【分析】根据已知得、且，由条件等式有，令，，进而得到，利用基本不等式有，进而得到，，问题化为是的两个根求参数值.【详解】由题设，则，故，由，又，则，令，，则，故，当且仅当时取等号，所以，又，故，此时，所以，，故是的两个根，又，则，所以，满足前提.故答案为：四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知函数.（1）函数的图象经过点，求.（2）求不等式的解集.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由题设有得，进而得到的解析式，最后求函数值即可得；（2）由题设或求解集即可.【小问1详解】由题设，则，所以，可得，则，由，故，所以，而，所以；【小问2详解】由或，可得或，所以不等式的解集为.16.设函数，常数.（1）当时，①判断的奇偶性并证明②求的值域；（2）若的定义域为，求的取值范围.【答案】（1）①奇函数，证明见详解；②.（2）【解析】【分析】（1）①利用奇函数的定义判断；②将解析式变形为，利用指数函数的性质求解；（2）由题问题即对恒成立，令，对恒成立，利用基本不等式求出的值域，得解.【小问1详解】当时，，，①为奇函数，证明如下：因为，，所以为奇函数.②由，，，则，，即的值域为.【小问2详解】的定义域为R，即对恒成立，令，那么，即对恒成立，因为，当且仅当时，取等号，所以，所以，即的取值范围为.17.鸡蛋在冰箱冷藏的环境下，可以有效减缓鸡蛋内部的变化速度，延长其保质期.已知新鲜鸡蛋存储温度(单位:摄氏度)与保鲜时间(单位:小时)之间的函数关系式为.新鲜鸡蛋在存储温度为摄氏度的情况下，其保鲜时间为小时；在存储温度为摄氏度的情况下，其保鲜时间为小时.（1）当新鲜鸡蛋的存储温度为多少摄氏度时，保鲜时间最长？并说明理由；（2）某超市为了节省损耗，希望保证新鲜鸡蛋的保鲜时间不少于天，则超市对新鲜鸡蛋的存储温度设置应该不高于多少摄氏度?(结果保留两位小数，参考数据:，)【答案】（1）摄氏度（2）摄氏度【解析】【分析】（1）首先根据已知条件可得：，解得，然后根据复合函数单调性判断出是关于的单调递减函数，进而根据函数单调性进行求解即可；（2）令，结合指数函数的性质及对数运算进行求解即可.【小问1详解】已知，根据已知条件可得：，两式相除得：，解得：，根据复合函数同增异减的原则可得：是关于的单调递减函数，又，可得：当摄氏度时，保鲜时间最长.【小问2详解】由题意令，得：，则，两边同时取常用对数得：，又，所以，解得：.故超市对新鲜鸡蛋的存储温度设置应该不高于摄氏度.18.对于定义在上的函数，当时，其图象恒在轴上方，且过.对任意，都有.（1）求；（2）判断的单调性，并证明:（3）解不等式:.【答案】（1）（2）在上单调递增，证明过程见解析（3）【解析】【分析】（1）通过赋值法，将特殊值代入题目中的函数恒等式中求.（2）利用函数方程，令，推导出，结合已知时，可得对所有实数成,通过作差，结合和，判断函数单调递增.（3）对不等式进行代数变形，分离常数，构造辅助函数，利用复合函数单调性和已知及，判断不等式解集为对应区间.【小问1详解】令（已知），，代入得：即，故.【小问2详解】任取,且,，令,则,则，令,则，则,因为当时，则,则当时，，则；当时，，则；当时，令，由及可知，即，由于，则，所以,即,所以在上单调递增.【小问3详解】因为，所以，即令，其中在上单调递增，所以在R上单调递增，由（2）知，所以，所以上单调递减，所以在上单调递增.而即，又因为，所以该不等式的解集为.19.已知函数和的定义域分别为和，若对任意，恰好存在个不同的实数，使得(其中)，则称为的“重覆盖函数”.（1）试判断是否为的2重覆盖函数”?请说明理由:（2）若为的“2重覆盖函数”，求实数的值；（3）函数表示的小数部分，即(表示不超过的最大整数)，若，若为的“2025重覆盖函数”，求正实数的取值范围.【答案】（1）不是，理由见解析（2）或（3）【解析】【分析】（1）当时，可得，得到，此时方程无解，即可得到不是的2重覆盖函数.（2）求得的值域为，转化为有两个不同实数解，当时，有一个根，得到当时，仅有一个根，分类讨论，列出不等式组，即可求解.（3）利用函数的性质和基本不等式，取得函数的值域为，根据题意，转化为上有个实数解，画出函数的图象，结合图象，列出不等式，即可求解.【小问1详解】解：不是的2重覆盖函数.理由如下：由函数，可得，当时，可得，又由，令，可得，此时方程无解，所以不存在使得，不满足存在2个不同的实数解的条件，所以不是的2重覆盖函数.【小问2详解】解：由函数的定义域为，对任意的，存在2个不同的实数使得，因为，可得，可得，所以，即的值域为，即，即对于任