人教版七年级数学下册《9.4有关坐标的新定义》同步练习题（含答案解析）

第页人教版七年级数学下册《9.4有关坐标的新定义》同步练习题（含答案解析）一．解答题（共30小题）1．在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P到x轴、y轴的距离的较大值称为点P的“长距”，点Q到x轴、y轴的距离相等时，称点Q为“角平分线点”．（1）点A（﹣3，5）的“长距”为；（2）若点B（4﹣2a，﹣2）是“角平分线点”，求a的值；（3）若点C（﹣2，3b﹣2）的长距为4，且点C在第二象限内，点D的坐标为（9﹣2b，﹣5），请判断点D是否为“角平分线点”，并说明理由．2．在平面直角坐标系中，对于点A（x，y），若点B的坐标为（x+ay，ax+y），其中a为常数，则称点B是点A的“a倍相关点”．例如，点A（1，3）的“2倍相关点”B的横坐标为：1+2×3＝7，纵坐标为：2×1+3＝5，所以点A的“2倍相关点”B的坐标为（7，5）．（1）已知点P（﹣2，3）的“13倍相关点”是点Q（s，t），求s+t（2）已知点M（1，2m）的“﹣2倍相关点”是点N，且点N在y轴上，求点N到x轴的距离．3．在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P到x轴、y轴的距离的较大值称为点P的“长距”，点Q到x轴、y轴的距离相等时，称点Q为“完美点”．（1）点A（﹣1，3）的“长距”为；（2）若点B（4a﹣1，﹣3）是“完美点”，求a的值；（3）若点C（﹣2，3b﹣2）的长距为4，且点C在第二象限内，点D的坐标为（9﹣2b，﹣5），试说明：点D是“完美点”．4．在平面直角坐标系xOy中，对于点A（x，y），若点B的坐标为（kx+y，x+ky）（其中k为常数且k≠0），则称点B是点A的“k级关联点”．例如：点A（1，4）的“3级关联点”B的坐标为（3×1+4，1+3×4），即B（7，13）．（1）点（1，2）的“2级关联点”的坐标为；（2）若点A（2，﹣1）的“k级关联点”坐标为（9，m），求k+m的值；（3）若点M（a﹣1，2a）的“﹣4级关联点”N位于坐标轴上，求点N的坐标．5．在平面直角坐标系中，对于点A（x，y），若点B的坐标为（x+ay，ax+y），其中a为常数，则称点B是点A的“a倍相关点”．例如，点A（1，2）的“3倍相关点”B的横坐标为：1+3×2＝7，纵坐标为：3×1+2＝5，所以点A的“3倍相关点”B的坐标为（7，5）．（1）已知点M（﹣4，6）的“12倍相关点”是点N（s，t），求2s+t（2）已知点P（1，2m）的“﹣2倍相关点”是点Q，且点Q在y轴上，求点Q到x轴的距离．6．在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P到x轴、y轴的距离的较大值称为点P的“长距”，点Q到x轴、y轴的距离相等时，称点Q为“龙沙点”．（1）点A（﹣1，4）的“长距”为；（2）若点B（4a﹣1，﹣2）是“龙沙点”，求a的值；（3）若点C（﹣3，3b﹣2）的长距为4，且点C在第二象限内，点D的坐标为（9﹣2b，﹣5），试说明：点D是“龙沙点”．7．已知点P（a，b），当a，b满足2b＝8+a时，称P（a，b）为“开心点”．（1）若点A是开心点，且点A的横坐标为﹣4，则点A的坐标是，点A到原点的距离是．（2）若点M（m，m+2）是“开心点”，请判断点M在第几象限？并说明理由．8．在平面直角坐标系中，对于点P、Q两点给出如下定义：若点P到x，y轴的距离的较大值等于点Q到x，y轴的距离的较大值，则称P、Q两点为“等距点”．如点P（﹣2，5）和点Q（﹣5，﹣1）就是等距点．（1）已知点A的坐标是（﹣3，1），在点G（0，3）、H（3，﹣3）、I（﹣2，5）中，点A的“等距点”是；（2）已知点B的坐标是（﹣4，2），点C的坐标是（m﹣1，m），若点B与点C是“等距点”，求点C的坐标；（3）若点D（﹣1，t1）与点E（4，t2）是直线l：y＝kx﹣3（k＞0）上的两个“等距点”，求k的值．9．在平面直角坐标系中，对于点A（x，y），若点B的坐标为（ax+y，x+ay），则称点B是点A的“a级开心点”（其中a为常数，且a≠0），例如，点P（1，4）的“2级开心点”为Q（2×1+4，1+2×4），即Q（6，9）．（1）若点P的坐标为（﹣1，5），则点P的“3级开心点”的坐标为；（2）若点P的“2级开心点”是点Q（4，8），求点P的坐标；（3）若点P（m﹣1，2m）的“﹣3级开心点”P'位于坐标轴上，求点P'的坐标．10．在平面直角坐标系中，给出如下定义：点M到x轴、y轴的距离的较大值称为点M的“长距”，点N到x轴、y轴的距离相等时，称点N为“完美点”．（1）若点P（2m﹣1，﹣1）是“完美点”求m的值；（2）若点Q（3n+1，﹣4）的“长距”为5，且点Q在第三象限内，点D的坐标为（﹣5，1﹣2n），试说明点D是“完美点”．11．在平面直角坐标系中，对于点P（x，y），若点Q的坐标为（ax+y，x+ay），则称点Q是点P的“a阶智慧点”（a为常数，且a≠0）．例如：点P（1，4）的“2阶智慧点”为点Q（2×1+4，1+2×4），即点Q（6，9）．（1）点A（﹣1，﹣2）的“3阶智慧点”的坐标为．（2）若点B（2，﹣3）的“a阶智慧点”在第三象限，求a的整数解．（3）若点C（m+2，1﹣3m）的“﹣5阶智慧点”到x轴的距离为1，求m的值．12．点P（a，b）是平面直角坐标系中的一点，若点Q的坐标为（ka+b，a+kb）（其中k为常数且k≠0），则称点Q为点P的“k拓点”，例如：点P（1，2）的“2拓点”Q为（2×1+2，1+2×2），即点Q为（4，5）．（1）求点P（﹣2，1）的“3拓点”Q的坐标；（2）若点P（﹣1，m）的“4拓点”Q的坐标是（﹣2，n），求mn的值．13．点P（a，b）是平面直角坐标系中的一点，若点Q的坐标为（ka+b，a+kb）（其中k为常数且k≠0），则称点Q为点P的“k拓点”，例如：点P（1，2）的“2拓点”Q为（2×1+2，1+2×2），即点Q为（4，5）．（1）求点P（﹣2，1）的“3拓点”Q的坐标；（2）若点P的“4拓点”Q的坐标为（﹣2，7），求点P的坐标．14．已知当m，n都是实数，且满足2m＝8+n时，称点P（m，n+2）为“开心点”．例如：点A（6，6）为“开心点”．因为当点A的坐标为（6，6）时，m＝6，n+2＝6，所以m＝6，n＝4，所2m＝2×6＝12，8+n＝8+4＝12，所以2m＝8+n．所以点A（6，6）是开心点”．（1）试判断点B（6，8）是否为“开心点”；（2）若点M（a，a﹣1）是“开心点”，请判断点M在第几象限，并说明理由．15．在平面直角坐标系中，对于点A（x，y），若点B的坐标为（ax+y，x+ay），则称点B是点A的“a阶开心点”（其中a为常数，且a≠0），例如点P（1，4）的“2阶开心点”为Q（2×1+4，1+2×4），即Q（6，9）．（1）若点C的坐标为（﹣2，1），求点C的“3阶开心点”D的坐标；（2）若点M（m﹣1，2m）的“﹣3阶开心点”N在第一象限，且到x轴的距离为9，求点N的坐标．16．在平面直角坐标系xOy中，对于不同的两点M，N，若点M到x轴，y轴的距离的较大值等于点N到x轴，y轴的距离的较大值，则称点M，N互为“方格点”．例如：点（3，﹣4），（4，﹣2）互为“方格点”；点（2，﹣2），（﹣2，0）互为“方格点”．已知点P（1，﹣4）．（1）①点Q1（4，﹣6）（填“是”或“不是”）点P的“方格点”；②点Q2（﹣4，4）（填“是”或“不是”）点P的“方格点”；③点Q3（﹣3，5）（填“是”或“不是”）点P的“方格点”；（2）若点Q（m﹣1，3）与点P互为“方格点”，求m的值；（3）若点Q（n+1，2n﹣3）与点P互为“方格点”，求n的值．17．在平面直角坐标系xOy中，已知点M的坐标为（2﹣t，2t），将点M到x轴的距离记作为d1，到y轴的距离记作为d2．（1）若点M在y轴上，则t＝；（2）若t＝3，则d1+d2＝；（3）若t＜0，d1＝d2，求点M的坐标．18．在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y），若点Q的坐标（ax+y，x+ay），则称点Q是点P的“a级关联点”（其中a为常数，且a≠0），例如，点P（1，4）的“2级关联点”为Q（2×1+4，1+2×4），即Q（6，9）．（1）若点P的坐标为（﹣1，3），则它的“1级关联点”的坐标为；（2）若点P（x，y）的“3级关联点”的坐标为（7，﹣3），求点P的坐标；（3）若点Q是点P（m﹣2，3m）的“﹣2级关联点”，且点Q位于坐标轴上，求m的值．19．我们规定：若a2+b2＝nab，就称（a，b）为“n倍理想坐标”，例如因为12+（﹣1）2＝（﹣2）×1×（﹣1），所以称（1，﹣1）为“﹣2倍理想坐标”，因为12+22＝2.5×1×2，所以称（1，2）为“2.5倍理想坐标”．根据材料，思考下列问题：（1）（﹣2，2）“﹣2倍理想坐标”（填“是”或“不是”）；（3，2）是倍理想坐标．（2）当（a，b）在坐标轴上时，若（a，b）为“n倍理想坐标”，求（a，b）的坐标，并指出它是平面直角坐标系中的哪个特殊位置；（3）若（a，b）是象限角平分线上的点（原点除外），求（a，b）是几倍理想点？20．在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P到x轴、y轴的距离的较大值称为点P的“长距”，点Q到x轴、y轴的距离相等时，称点Q为“完美点”．（1）点A（﹣3，5）的“长距”为；（2）若点B（4﹣2a，﹣2）是“完美点”，求a的值；（3）若点C（﹣2，3b﹣2）的长距为4，且点C在第二象限内，点D的坐标为（9﹣2b，﹣5），试说明：点D是“完美点”．21．我们规定：若a2+b2＝nab，就称（a，b）为“n倍理想坐标”，例如因为12+（﹣1）2＝（﹣2）×1×（﹣1），所以称（1，﹣1）为“﹣2倍理想坐标”，因为12+22＝2.5×1×2，所以称（1，2）为“2.5倍理想坐标”．根据材料，思考下列问题：（1）（2，2）“2倍理想坐标”（填“是”或“不是”）；（2，3）是倍理想坐标．（2）当（a，b）在坐标轴上时，若（a，b）为“n倍理想坐标”，求（a，b）的坐标，并指出它是平面直角坐标系中的哪个特殊位置；（3）若（a，b）是象限角平分线上的点（原点除外），求（a，b）是几倍理想点？22．已知当m，n都是实数，且满足2m＝8+n时，称p（m﹣1，n+22（1）判断点A（32，−12（2）若点M（a，2a﹣1）是“好点”，请判断点M在第几象限？并说明理由．23．已知有序数对（a，b）及常数k，我们称有序数对（ka+b，a﹣b）为有序数对（a，b）的“k阶结伴数对”．如（3，2）的“1阶结伴数对”为（1×3+2，3﹣2），即（5，1）．（1）有序数对（2，﹣1）的“3阶结伴数对”为；（2）若有序数对（a，b）的“2阶结伴数对”为（2，4），求a，b的值；（3）是否存在实数k使得有序数对（a，b）（b≠0）的“k阶结伴数对”是它本身？若存在，请求k的值；若不存在请说明理由．24．对于平面直角坐标系中的点P（a，b），若点P′的坐标为（a+kb，ka+b）（其中k为常数，且k≠0），则称点P′为点P的“k属派生点”．例如：P（1，4）的“2属派生点”为P′（1+2×4，2×1+4），即P′（9，6）．（1）直接写出点P（﹣1，6）的“2属派生点”P′的坐标．（2）若点P的“3属派生点”P′的坐标为（20，36），请求出点P的坐标．25．在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y），若点Q的坐标（ax+y，x+ay），则称点Q是点P的“a级关联点”（其中a为常数，且a≠0），例如，点P（1，4）的“2级关联点”为Q（2×1+4，1+2×4），即Q（6，9）．（1）若点P的坐标为（﹣1，5），则它的“1级关联点”的坐标为；（2）若点P（x，y）的“3级关联点”的坐标为（7，﹣3），求点P的坐标；（3）若点P'是点P（m﹣2，3m）的“﹣2级关联点”，且点P'位于坐标轴上，求m的值．26．对于平面直角坐标系xOy中的点A（a，b），若B的坐标为（ta，b+t），其中t为常数，且t≠0，则A、B互为“t系关联点”，比如：A（2，3）的“2系关联点”为B（2×2，3+2），即：B（4，5）．（1）计算点C（﹣1，2）的“3系关联点”D的坐标；（2）若点P（m，﹣2）的“﹣1系关联点”为Q，且Q点到x轴距离是到y轴距离的一半，求P点的坐标．27．在学习了“数形结合”讨论问题后，某校数学兴趣小组开展“你命我解”互助学习活动．其中有一组的同学给出了这样一个问题：在平面直角坐标系xOy中，点Q(x−2，y+22)中x，y的值若满足2x﹣y（1）判断点A（3，4）是否为“直线点”，并说明理由；（2）若点M（a，2a﹣1）是“直线点”，请通过计算判断点M在第几象限？28．对于平面直角坐标系xOy中的点M（a，b），若N的坐标为（ka，b+k），其中k为常数，且k≠0，则M、N互为“k系关联点”，比如：M（2，3）的“2系关联点”为N（2×2，3+2），即：N（4，5）．（1）（﹣1，2）的“3系关联点”为；（2）若点P（m，﹣2）的“﹣1系关联点”为Q（x，y），且满足x+y＝﹣9，求m的值．29．在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：点A到x轴、y轴距离的较小值称为点A的“短距”，当点P的“短距”等于点Q的“短距”时，称P、Q两点为“等距点”．（1）点A（﹣1，﹣4）的“短距”为；（2）若点B（3m﹣1，﹣3）的“短距”为2，求m的值；（3）若C（﹣2，2n﹣1），D（n﹣3，5）两点为“等距点”，求n的值．30．已知当m，n都是实数，且满足2m＝4+n时，称P(m−2，n+2（1）请任意写出一个“河南点”：；（2）判断点A（3，4）是否为“河南点”，并说明理由；（3）若点M（a，2a﹣1）是“河南点”．请通过计算判断点M在第几象限？参考答案与解析一．解答题（共30小题）1．在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P到x轴、y轴的距离的较大值称为点P的“长距”，点Q到x轴、y轴的距离相等时，称点Q为“角平分线点”．（1）点A（﹣3，5）的“长距”为5；（2）若点B（4﹣2a，﹣2）是“角平分线点”，求a的值；（3）若点C（﹣2，3b﹣2）的长距为4，且点C在第二象限内，点D的坐标为（9﹣2b，﹣5），请判断点D是否为“角平分线点”，并说明理由．【答案】见试题解答内容【分析】（1）根据“长距”的定义解答即可；（2）根据“角平分线点”的定义解答即可；（3）由“长距”的定义求出b的值，然后根据“角平分线点”的定义求解即可．【详解】解：（1）∵点A（﹣3，5）到x轴的距离为5，到y轴的距离为3，点P到x轴、y轴的距离的较大值称为点P的“长距”，∴点A的“长距”为5．故答案为：5；（2）∵点B（4﹣2a，﹣2）是“角平分线点”，∴|4﹣2a|＝|﹣2|，∴4﹣2a＝2或4﹣2a＝﹣2，解得a＝1或a＝3；（3）∵点C（﹣2，3b﹣2）的长距为4，且点C在第二象限内，∴3b﹣2＝4，解得b＝2，∴9﹣2b＝5，∴点D的坐标为（5，﹣5），∴点D到x轴、y轴的距离都是5，∴点D是“角平分线点”．【点评】本题主要考查了平面直角坐标系的知识，关键是要读懂题目里定义的“长距”与“角平分线点”．2．在平面直角坐标系中，对于点A（x，y），若点B的坐标为（x+ay，ax+y），其中a为常数，则称点B是点A的“a倍相关点”．例如，点A（1，3）的“2倍相关点”B的横坐标为：1+2×3＝7，纵坐标为：2×1+3＝5，所以点A的“2倍相关点”B的坐标为（7，5）．（1）已知点P（﹣2，3）的“13倍相关点”是点Q（s，t），求s+t（2）已知点M（1，2m）的“﹣2倍相关点”是点N，且点N在y轴上，求点N到x轴的距离．【答案】见试题解答内容【分析】（1）根据题意，分别求出s和t，再计算s+t的值即可；（2）根据题意，分别求出点N的横坐标和纵坐标，根据“点N在y轴上”，求出m的值，点N到x轴的距离即点N纵坐标的绝对值．【详解】解：（1）根据题意，得s＝﹣2+13×3＝﹣1，t=∴s+t＝﹣1+7（2）设点N的坐标为（p，q），则p＝1﹣4m，q＝﹣2+2m，∴点N的坐标为（1﹣4m，﹣2+2m），∵点N在y轴上，∴1﹣4m＝0，解得m=1∴点N的坐标为（0，−3∴点N到x轴的距离为|−32|【点评】本题考查点的坐标，掌握平面直角坐标系中坐标的特点是解题的关键．3．在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P到x轴、y轴的距离的较大值称为点P的“长距”，点Q到x轴、y轴的距离相等时，称点Q为“完美点”．（1）点A（﹣1，3）的“长距”为3；（2）若点B（4a﹣1，﹣3）是“完美点”，求a的值；（3）若点C（﹣2，3b﹣2）的长距为4，且点C在第二象限内，点D的坐标为（9﹣2b，﹣5），试说明：点D是“完美点”．【答案】见试题解答内容【分析】（1）根据“长距”的定义解答即可；（2）根据“完美点”的定义解答即可；（3）由“长距”的定义求出b的值，然后根据“完美点”的定义求解即可．【详解】解：（1）根据题意，得点A（﹣1，3）到x轴的距离为3，到y轴的距离为1，∴点A的“长距”为3．故答案为：3；（2）∵点B（4a﹣1，﹣3）是“完美点”，∴|4a﹣1|＝|﹣3|，∴4a﹣1＝3或4a﹣1＝﹣3，解得a＝1或a=−1（3）∵点C（﹣2，3b﹣2）的长距为4，且点C在第二象限内，∴3b﹣2＝4，解得b＝2，∴9﹣2b＝5，∴点D的坐标为（5，﹣5），∴点D到x轴、y轴的距离都是5，∴点D是“完美点”．【点评】本题主要考查了点的坐标，属于阅读理解类型题目，关键是要读懂题目里定义的“长距”与“完美点”．4．在平面直角坐标系xOy中，对于点A（x，y），若点B的坐标为（kx+y，x+ky）（其中k为常数且k≠0），则称点B是点A的“k级关联点”．例如：点A（1，4）的“3级关联点”B的坐标为（3×1+4，1+3×4），即B（7，13）．（1）点（1，2）的“2级关联点”的坐标为（4，5）；（2）若点A（2，﹣1）的“k级关联点”坐标为（9，m），求k+m的值；（3）若点M（a﹣1，2a）的“﹣4级关联点”N位于坐标轴上，求点N的坐标．【答案】见试题解答内容【分析】（1）根据“2级关联点”的计算方法列式即可求解；（2）根据“k级关联点”的计算方法列式即可求解；（3）根据“﹣4级关联点”的计算，求出点N的坐标表示，再根据点在坐标轴上的特点即可求解．【详解】解：（1）根据题意可得，1×2+2＝4，1+2×2＝5，∴点（1，2）的“2级关联点”的坐标为（4，5），故答案为：（4，5）；（2）根据题意可得，2﹣k＝m，∴k+m＝5﹣3＝2；（3）根据点M（a﹣1，2a）的“﹣4级关联点”得，横坐标为：﹣4（a﹣1）+2a＝4﹣2a，纵坐标为：a﹣1﹣8a＝﹣1﹣7a，∴点N的坐标为（4﹣2a，﹣1﹣7a），∵N位于坐标轴上，∴当点N在x轴上时，﹣1﹣7a＝0，解得，a=−1∴N(30当点N在y轴上时，4﹣2a＝0，解得，a＝2，∴N（0，﹣15），综上所述，点N的坐标为(30【点评】本题主要考查的是点的坐标，理解“k级关联点”的含义和计算方法，掌握点的坐标规律，解一元一次方程的方法是解题的关键．5．在平面直角坐标系中，对于点A（x，y），若点B的坐标为（x+ay，ax+y），其中a为常数，则称点B是点A的“a倍相关点”．例如，点A（1，2）的“3倍相关点”B的横坐标为：1+3×2＝7，纵坐标为：3×1+2＝5，所以点A的“3倍相关点”B的坐标为（7，5）．（1）已知点M（﹣4，6）的“12倍相关点”是点N（s，t），求2s+t（2）已知点P（1，2m）的“﹣2倍相关点”是点Q，且点Q在y轴上，求点Q到x轴的距离．【答案】（1）2；（2）32【分析】（1）根据题意可求出s、t的值，然后代入即可得出答案；（2）根据题意可求出m的值，然后求出点P的纵坐标，再求出点Q的坐标即可得出答案．【详解】解：（1）∵s＝﹣4+12×6＝﹣1，∴2s+t＝2×（﹣1）+4＝2．（2）∵点Q在y轴上，∴点Q的横坐标为0，∵点Q是点P的“﹣2倍相关点”，∴1+（﹣2）×2m＝0，解得：m=1∴点P的纵坐标为2×1∴点Q的纵坐标为1×（﹣2）+1∴点Q到x轴的距离为|−32|【点评】本题主要考查点的坐标，理解题意是解题的关键．6．在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P到x轴、y轴的距离的较大值称为点P的“长距”，点Q到x轴、y轴的距离相等时，称点Q为“龙沙点”．（1）点A（﹣1，4）的“长距”为4；（2）若点B（4a﹣1，﹣2）是“龙沙点”，求a的值；（3）若点C（﹣3，3b﹣2）的长距为4，且点C在第二象限内，点D的坐标为（9﹣2b，﹣5），试说明：点D是“龙沙点”．【答案】（1）4；（2）a=34或【分析】（1）根据“长距”的定义，即可；（2）根据“龙沙点”的定义，则|4a﹣1|＝|﹣2|，即可求出a的值；（3）根据“长距”的定义，先求出b的值，再根据“龙沙点”的定义，即可．【详解】解：（1）∵点P到x轴、y轴的距离的较大值称为点P的“长距”，∴点A（﹣1，4）到x轴的距离为：1；A（﹣1，4）到y轴的距离为4，∴点A（﹣1，4）的“长距”为4．故答案为：4；（2）∵点Q到x轴、y轴的距离相等时，称点Q为“龙沙点”，∴当点B（4a﹣1，﹣2）是“龙沙点”，|4a﹣1|＝|﹣2|，∴4a﹣1＝±2，当4a﹣1＝2，解得：a=3当4a﹣1＝﹣2，解得：a=−1∴a=34或（3）∵点C（﹣3，3b﹣2）的长距为4，∴|3b﹣2|＝4，解得：b＝2或b=−2∵C在第二象限内，∴3b﹣2＞0，∴b＝2，∵点D的坐标为（9﹣2b，﹣5），∴点D（5，﹣5），∵|5|＝|﹣5|，∴点D是“龙沙点”．【点评】本题考查了点的坐标，掌握“长距”和“龙沙点”的定义是关键．7．已知点P（a，b），当a，b满足2b＝8+a时，称P（a，b）为“开心点”．（1）若点A是开心点，且点A的横坐标为﹣4，则点A的坐标是（﹣4，2），点A到原点的距离是25（2）若点M（m，m+2）是“开心点”，请判断点M在第几象限？并说明理由．【答案】（1）（﹣4，2）；25【分析】（1）根据P（a，b）坐标，代入2b＝8+a中，求出b的值；（2）直接利用“开心点”的定义得出m的值进而得出答案．【详解】解：（1）∵点A是开心点，且点A的横坐标为﹣4，∴点A的纵坐标：12∴点A的坐标是（﹣4，2），∴点A与原点的距离(−4)2+故答案为：（﹣4，2）；25；（2）点M在第一象限．理由如下：∵M（m，m+2）是“开心点”，∴2×（m+2）＝8+m，整理得：2m﹣m＝4，∴m＝4，故m+2＝4+2＝6，∴M（4，6），故点M在第一象限．【点评】此题主要考查了点的坐标，正确掌握“开心点”的定义是解题关键．8．在平面直角坐标系中，对于点P、Q两点给出如下定义：若点P到x，y轴的距离的较大值等于点Q到x，y轴的距离的较大值，则称P、Q两点为“等距点”．如点P（﹣2，5）和点Q（﹣5，﹣1）就是等距点．（1）已知点A的坐标是（﹣3，1），在点G（0，3）、H（3，﹣3）、I（﹣2，5）中，点A的“等距点”是G，H；（2）已知点B的坐标是（﹣4，2），点C的坐标是（m﹣1，m），若点B与点C是“等距点”，求点C的坐标；（3）若点D（﹣1，t1）与点E（4，t2）是直线l：y＝kx﹣3（k＞0）上的两个“等距点”，求k的值．【答案】（1）G、H；（2）（﹣4，﹣3）或（3，4）；（3）1或2．【分析】（1）先分析出直线上的点到x、y轴距离中有3的点，再根据“等距点”概念进行选择即可；（2）根据“等距点”的定义解答即可；（3）将T1（﹣1，t1）、T2（4，t2）代入y＝kx﹣3（k＞0）得t1＝﹣k﹣3，t2＝4k﹣3．由k＞0，依据“等距点”定义可得关于k的不等式，即可解答本题．【详解】解：（1）∵点A（﹣3，1）到x、y轴的距离中最大值为3，点G（0，3）、H（3，﹣3）到到x、y轴的距离中最大值为3，∴与A点是“等距点”的点是G、H，故答案为：G、H；（2）由题意，可分两种情况：①|m﹣1|＝|﹣4|，解得m＝﹣3或5（不合题意，舍去）；②|m|＝|﹣4|，解得m＝﹣4（不合题意，舍去）或m＝4，综上所述，点C的坐标为（﹣4，﹣3）或（3，4）；（3）∵D（﹣1，t1）、E（4，t2）是直线l上的两点，∴t1＝﹣k﹣3，t2＝4k﹣3．∵k＞0，∴|﹣k﹣3|＝k+3＞3，4k﹣3＞﹣3．依据“等距点”定义可得：当﹣3＜4k﹣3＜4时，k+3＝4，解得k＝1，∵k＝1时，4k﹣3＝1＜4，∴k＝1；当4k﹣3≥4时，k+3＝4k﹣3，解得k＝2．综上所述，k的值为1或2．【点评】本题主要考查了“等距点”的定义，此题属于阅读理解类型题目，读懂“等距点”的定义是解题的关键．9．在平面直角坐标系中，对于点A（x，y），若点B的坐标为（ax+y，x+ay），则称点B是点A的“a级开心点”（其中a为常数，且a≠0），例如，点P（1，4）的“2级开心点”为Q（2×1+4，1+2×4），即Q（6，9）．（1）若点P的坐标为（﹣1，5），则点P的“3级开心点”的坐标为（2，14）；（2）若点P的“2级开心点”是点Q（4，8），求点P的坐标；（3）若点P（m﹣1，2m）的“﹣3级开心点”P'位于坐标轴上，求点P'的坐标．【答案】见试题解答内容【分析】（1）根据关联点的定义，结合点的坐标即可得出结论．（2）根据关联点的定义，结合点的坐标即可得出结论．（3）根据关联点的定义和点P（m﹣1，2m）的“﹣3级开心点”P′位于坐标轴上，即可求出P′的坐标．【详解】解：（1）3×（﹣1）+5＝2；﹣1+3×5＝14，∴若点P的坐标为（﹣1，5），则它的“3级开心点”的坐标为（2，14）．故答案为：（2，14）；（2）设点P的坐标为（x，y）的“2级开心点”是点Q（4，8），∴2x+y=4解得x=0y=4∴点P的坐标为（0，4）；（3）∵点P（m﹣1，2m）的“﹣3级开心点”为P′（﹣3（m﹣1）+2m，m﹣1+（﹣3）×2m），①P′位于x轴上，∴m﹣1+（﹣3）×2m＝0，解得：m=−1∴﹣3（m﹣1）+2m=16∴P′（165②P′位于y轴上，∴﹣3（m﹣1）+2m＝0，解得：m＝3∴m﹣1+（﹣3）×2m＝﹣16，∴P′（0，﹣16）．综上所述，点P′的坐标为（165【点评】本题考查点的坐标，“关联点”的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．10．在平面直角坐标系中，给出如下定义：点M到x轴、y轴的距离的较大值称为点M的“长距”，点N到x轴、y轴的距离相等时，称点N为“完美点”．（1）若点P（2m﹣1，﹣1）是“完美点”求m的值；（2）若点Q（3n+1，﹣4）的“长距”为5，且点Q在第三象限内，点D的坐标为（﹣5，1﹣2n），试说明点D是“完美点”．【答案】（1）m＝1或m＝0；（2）是，理由见详解．【分析】（1）根据“完美点”的定义解答即可；（2）由“长距”的定义求出b的值，然后根据“完美点”的定义求解即可．【详解】解：（1）∵点P（2m﹣1，﹣1）是“完美点”，∴|2m﹣1|＝|﹣1|，∴2m﹣1＝1或2m﹣1＝﹣1，2m＝2，解得：m＝1，2m＝0，解得：m＝0，故m＝1或m＝0；（2）∵点Q（3n+1，﹣4）的长距为5，且点Q在第三象限内，∴3n+1＝﹣5，解得n＝﹣2，∴1﹣2n＝5，∴点D的坐标为（﹣5，5），∴点D到x轴、y轴的距离都是5，∴点D是“完美点”．【点评】本题主要考查了点的坐标，掌握题目里定义的“长距”与“完美点”是关键．11．在平面直角坐标系中，对于点P（x，y），若点Q的坐标为（ax+y，x+ay），则称点Q是点P的“a阶智慧点”（a为常数，且a≠0）．例如：点P（1，4）的“2阶智慧点”为点Q（2×1+4，1+2×4），即点Q（6，9）．（1）点A（﹣1，﹣2）的“3阶智慧点”的坐标为（﹣5，﹣7）．（2）若点B（2，﹣3）的“a阶智慧点”在第三象限，求a的整数解．（3）若点C（m+2，1﹣3m）的“﹣5阶智慧点”到x轴的距离为1，求m的值．【答案】（1）（﹣5，﹣7）．（2）1．（3）14或1【分析】（1）依据“a阶智慧点”的定义，结合点的坐标进行计算即可得出结论；（2）依据点B（2，﹣3）的“a阶智慧点”在第三象限，即可得到关于a的不等式组，进而得到a的整数解；（3）点C（m+2，1﹣3m）的“﹣5阶智慧点”到x轴的距离为1，即可得到关于m的方程，进而得到m的值．【详解】解：（1）点A（﹣1，﹣2）的“3阶智慧点”的坐标为（﹣3﹣2，﹣1﹣6），即坐标为（﹣5，﹣7）．故答案为：（﹣5，﹣7）．（2）∵点B（2，﹣3），∴点B的“a阶智慧点”为（2a﹣3，2﹣3a）．又∵（2a﹣3，2﹣3a）在第三象限，∴2a−3＜02−3a＜0解得23∵a取整数，∴a＝1；（3）∵点C（m+2，1﹣3m），∴点C的“﹣5阶智慧点”为（﹣8m﹣9，16m﹣3）．∵点C的“﹣5阶智慧点”到x轴的距离为1，∴|16m﹣3|＝1，∴16m﹣3＝1或16m﹣3＝﹣1．解得m=14或【点评】本题考查点的坐标，解题的关键是理解“a阶智慧点”的定义，灵活运用不等式、方程来解决问题．12．点P（a，b）是平面直角坐标系中的一点，若点Q的坐标为（ka+b，a+kb）（其中k为常数且k≠0），则称点Q为点P的“k拓点”，例如：点P（1，2）的“2拓点”Q为（2×1+2，1+2×2），即点Q为（4，5）．（1）求点P（﹣2，1）的“3拓点”Q的坐标；（2）若点P（﹣1，m）的“4拓点”Q的坐标是（﹣2，n），求mn的值．【答案】（1）点Q的坐标为（﹣5，1）；（2）14．【分析】（1）根据题意可得：点Q的坐标为（3×（﹣2）+1，﹣2+3×1），然后进行计算即可解答；（2）根据题意可得：﹣1×4+m＝﹣2，﹣1+4m＝n，然后进行计算即可解答．【详解】解：（1）由题意得：3×（﹣2）+1＝﹣6+1＝﹣5，﹣2+3×1＝﹣2+3＝1，∴点Q的坐标为（﹣5，1）；（2）由题意得：﹣1×4+m＝﹣2，﹣1+4m＝n，解得：m＝2，n＝7，∴mn＝2×7＝14．【点评】本题考查了点的坐标，解一元一次方程，准确熟练地进行计算是解题的关键．13．点P（a，b）是平面直角坐标系中的一点，若点Q的坐标为（ka+b，a+kb）（其中k为常数且k≠0），则称点Q为点P的“k拓点”，例如：点P（1，2）的“2拓点”Q为（2×1+2，1+2×2），即点Q为（4，5）．（1）求点P（﹣2，1）的“3拓点”Q的坐标；（2）若点P的“4拓点”Q的坐标为（﹣2，7），求点P的坐标．【答案】（1）（﹣5，1）；（2）（﹣1，2）．【分析】（1）根据已知条件中的新定义，列出算式进行计算，然后求出点Q的坐标即可；（2）设P（x，y），根据已知条件中的新定义，列出关于x，y的方程组，解方程组求出x，y即可．【详解】解：（1）∵﹣2×3+1＝﹣6+1＝﹣5，﹣2+3×1＝﹣2+3＝1，∴点P（﹣2，1）的“3拓点”Q的坐标为（﹣5，1）；（2）设P（x，y），∵点P的“4拓点”Q的坐标为（﹣2，7），∴4x+y=−2①x+4y=7②由②得：x＝7﹣4y③，把③代入①得：4（7﹣4y）+y＝﹣2，28﹣16y+y＝﹣2，﹣15y＝﹣30，y＝2，把y＝2代入③得：x＝﹣1，∴方程组的解为：x=−1y=2∴点P（﹣1，2）．【点评】本题主要考查了点的坐标，解题根据是理解已知条件中的新定义和熟练掌握利用加减或代入消元法解二元一次方程组．14．已知当m，n都是实数，且满足2m＝8+n时，称点P（m，n+2）为“开心点”．例如：点A（6，6）为“开心点”．因为当点A的坐标为（6，6）时，m＝6，n+2＝6，所以m＝6，n＝4，所2m＝2×6＝12，8+n＝8+4＝12，所以2m＝8+n．所以点A（6，6）是开心点”．（1）试判断点B（6，8）是否为“开心点”；（2）若点M（a，a﹣1）是“开心点”，请判断点M在第几象限，并说明理由．【答案】见试题解答内容【分析】（1）根据B点坐标，代入（m，n+2）中，求出m和n的值，然后代入2m＝8+n检验等号是否成立即可；（2）直接利用“开心点”的定义得出a的值进而得出答案．【详解】解：（1）点B（6，8）不是“开心点”，理由如下，当B（6，8）时，m＝6，n+2＝8，此时m＝6，n＝6，所以2m≠8+n，所以B（6，8）不是“开心点”；（2）点M在第一象限，理由如下：∵点M（a，a﹣1）是“开心点”，∴m＝a，n+2＝a﹣1，即m＝a，n＝a﹣3，代入2m＝8+n有2a＝8+a﹣3，解得a＝5，∴M（5，4），故点M在第一象限．【点评】此题主要考查了点的坐标，正确掌握“开心点”的定义是解题关键．15．在平面直角坐标系中，对于点A（x，y），若点B的坐标为（ax+y，x+ay），则称点B是点A的“a阶开心点”（其中a为常数，且a≠0），例如点P（1，4）的“2阶开心点”为Q（2×1+4，1+2×4），即Q（6，9）．（1）若点C的坐标为（﹣2，1），求点C的“3阶开心点”D的坐标；（2）若点M（m﹣1，2m）的“﹣3阶开心点”N在第一象限，且到x轴的距离为9，求点N的坐标．【答案】见试题解答内容【分析】（1）根据“a阶开心点”的定义求解即可；（2）先根据新定义求出点A的“﹣3阶开心点”的坐标，再根据到x轴的距离为9列方程求解即可．【详解】解：（1）依题意得3×（﹣2）+1＝﹣5，﹣2+3×1＝1，∴点C的“3阶开心点”D的坐标为（﹣5，1）．（2）∵点M（m﹣1，2m）的“﹣3阶开心点”为N，∴点N的坐标为（﹣3（m﹣1）+2m，m﹣1﹣3×2m），即N（﹣m+3，﹣5m﹣1）．∵点N在第一象限，且到x轴的距离为9，∴﹣5m﹣1＝9，解得m＝﹣2，∴﹣m+3＝5，∴点N的坐标为（5，9）．【点评】本题考查新定义运算，整式的加减，解一元一次方程等知识点，正确理解题目中“a阶开心点”的定义是解题的关键．16．在平面直角坐标系xOy中，对于不同的两点M，N，若点M到x轴，y轴的距离的较大值等于点N到x轴，y轴的距离的较大值，则称点M，N互为“方格点”．例如：点（3，﹣4），（4，﹣2）互为“方格点”；点（2，﹣2），（﹣2，0）互为“方格点”．已知点P（1，﹣4）．（1）①点Q1（4，﹣6）不是（填“是”或“不是”）点P的“方格点”；②点Q2（﹣4，4）是（填“是”或“不是”）点P的“方格点”；③点Q3（﹣3，5）不是（填“是”或“不是”）点P的“方格点”；（2）若点Q（m﹣1，3）与点P互为“方格点”，求m的值；（3）若点Q（n+1，2n﹣3）与点P互为“方格点”，求n的值．【答案】（1）①不是；②是；③不是；（2）m＝﹣3或5；（3）n＝3或n＝﹣0.5．【分析】（1）根据“方格点”的定义解答即可；（2）根据“方格点”的定义，解m﹣1＝±4即可；（3）分情况讨论，n+1＝±4，|2n﹣3|＜4时或2n﹣3＝±4，|n+1|＜4时，进而求得符合条件的n的值．【详解】解：（1）∵点P（1，﹣4）到x轴，y轴的距离的较大值为4，①点Q1（4，﹣6）到x轴，y轴的距离的较大值为6，∴点Q1（4，﹣6）不是点P的“方格点”；②点Q2（﹣4，4）到x轴，y轴的距离的较大值为4，∴点Q2（﹣4，4）是点P的“方格点”；③点Q3（﹣3，5）到x轴，y轴的距离的较大值为5，∴点Q3（﹣3，5）不是点P的“方格点”，故答案为：①不是；②是；③不是；（2）∵点P（1，﹣4）到x轴，y轴的距离的较大值为4，若点Q（m﹣1，3）与点P互为“方格点”，∴m﹣1＝±4，解得：m＝﹣3或5；（3）∵点P（1，﹣4）到x轴，y轴的距离的较大值为4，若点Q（n+1，2n﹣3）与点P互为“方格点”，∴2n﹣3＝±4，|n+1|≤4，解得：n＝﹣5或3，当n＝﹣5时，|2n﹣3|＝13＞4（舍），当n＝3时，|2n﹣3|＝3＜4，∴n＝3；2n﹣3＝±4，|n+1|＜4，n＝3.5或﹣0.5，当n＝3.5时，|n+1|＝4.5＞4（舍），当n＝﹣0.5时，|n+1|＝0.5＜4，∴n＝﹣0.5，综上：n＝3或n＝﹣0.5．【点评】本题考查坐标与图形的性质，掌握分类讨论的数学思想是解题关键．17．在平面直角坐标系xOy中，已知点M的坐标为（2﹣t，2t），将点M到x轴的距离记作为d1，到y轴的距离记作为d2．（1）若点M在y轴上，则t＝2；（2）若t＝3，则d1+d2＝7；（3）若t＜0，d1＝d2，求点M的坐标．【答案】（1）2；（2）7；（3）（4，﹣4）．【分析】（1）根据点M在y轴上，得出点M的横坐标为0，据此列式计算，即可作答．（2）把t＝3分别代入2﹣t，2t，得出点M的坐标是（﹣1，6），再结合距离定义，即可作答．（3）先由t＜0，得出2﹣t＞0，2t＜0，再根据d1＝d2代入数值，进行计算，即可作答．【详解】解：（1）依题意，∵点M在y轴上，∴2﹣t＝0，∴t＝2，故答案为：2．（2）∵t＝3，∴2﹣3＝﹣1，2×3＝6，∴点M的坐标是（﹣1，6），∴d1+d2＝6+1＝7，故答案为：7．（3）∵t＜0，∴2﹣t＞0，2t＜0，∵d1＝d2，∴2﹣t＝|2t|＝﹣2t，∴t＝﹣2，则2﹣（﹣2）＝4，2×（﹣2）＝﹣4，∴点M的坐标为（4，﹣4）．【点评】本题考查了点的坐标，正确掌握相关性质内容是解题的关键．18．在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y），若点Q的坐标（ax+y，x+ay），则称点Q是点P的“a级关联点”（其中a为常数，且a≠0），例如，点P（1，4）的“2级关联点”为Q（2×1+4，1+2×4），即Q（6，9）．（1）若点P的坐标为（﹣1，3），则它的“1级关联点”的坐标为（2，2）；（2）若点P（x，y）的“3级关联点”的坐标为（7，﹣3），求点P的坐标；（3）若点Q是点P（m﹣2，3m）的“﹣2级关联点”，且点Q位于坐标轴上，求m的值．【答案】见试题解答内容【分析】（1）根据“a级关联点”的定义即可求解；（2）点P的坐标为（x，y），根据“a级关联点”的定义列出方程组解出x，y，即可求解；（3）先表示出点P（m﹣2，3m）的“﹣2级关联点”Q，再分Q在x轴、y轴两种情况讨论即可解答．【详解】解：（1）点P的坐标为（﹣1，3），则它的“1级关联点”的坐标为（﹣1×1+3，﹣1+1×3），即（2，2）．故答案为：（2，2）；（2）解：点P的坐标为（x，y），由题意可知3x+y=7x+3y=−3解得：x=3y=−2∴点P的坐标为（3，﹣2）；（3）解：∵点P（m﹣2，3m）的“﹣2级关联点”为Q（﹣2（m﹣2）+3m，m﹣2+（﹣2）×3m），即（m+4，﹣5m﹣2），①Q位于x轴上，∴﹣5m﹣2＝0，解得：m=−2②Q位于y轴上，∴m+4＝0，解得：m＝﹣4．综上所述，m的值为−2【点评】本题主要考查坐标的求解、一元一次方程、二元一次方程组的应用等知识点，熟知“a级关联点”的定义是解题的关键．19．我们规定：若a2+b2＝nab，就称（a，b）为“n倍理想坐标”，例如因为12+（﹣1）2＝（﹣2）×1×（﹣1），所以称（1，﹣1）为“﹣2倍理想坐标”，因为12+22＝2.5×1×2，所以称（1，2）为“2.5倍理想坐标”．根据材料，思考下列问题：（1）（﹣2，2）是“﹣2倍理想坐标”（填“是”或“不是”）；（3，2）是136（2）当（a，b）在坐标轴上时，若（a，b）为“n倍理想坐标”，求（a，b）的坐标，并指出它是平面直角坐标系中的哪个特殊位置；（3）若（a，b）是象限角平分线上的点（原点除外），求（a，b）是几倍理想点？【答案】（1）是，136（2）（a，b）的坐标是（0，0），它是平面直角坐标系中的原点；（3）（a，b）是2倍或﹣2倍理想点．【分析】（1）根据“n倍理想坐标”的概念分别求解即可；（2）根据坐标轴上的点的特征，得到a＝0或b＝0，再由“n倍理想坐标”的概念，得到a2+b2＝nab＝0，然后结合非负数的性质，即可求出（a，b）的坐标；（3）根据象限角平分线上的点的特点，分两种情况讨论：①当（a，b）是第一、三象限角平分线上的点（原点除外）时，则a＝b≠0；②当（a，b）是第二、四象限角平分线上的点（原点除外）时，则a＝﹣b≠0，根据“n倍理想坐标”的概念分别求解即可．【详解】解：（1）∵（﹣2）2+22＝8，（﹣2）×（﹣2）×2＝8，∴（﹣2）2+22＝（﹣2）×（﹣2）×2，∴（﹣2，2）是“﹣2倍理想坐标”，∵32+22＝3n×2＝6n，∴n=13故答案为：是，136（2）∵（a，b）在坐标轴上，∴a＝0或b＝0，∴ab＝0，∵（a，b）为“n倍理想坐标”，∴a2+b2＝nab＝0，∴a＝0且b＝0，∴（a，b）的坐标是（0，0），它是平面直角坐标系中的原点；（3）（3）分两种情况：①当（a，b）是第一、三象限角平分线上的点（原点除外）时，则a＝b≠0，∵a2+b2＝2a2＝2a•a＝2ab，∴（a，b）是2倍理想点；②当（a，b）是第二、四象限角平分线上的点（原点除外）时，则a＝﹣b≠0，∵a2+b2＝2a2＝2a（﹣b）＝﹣2ab，∴（a，b）是﹣2倍理想点．综上所述，（a，b）是2倍或﹣2倍理想点．【点评】本题考查了点的坐标，正确理解“n倍理想坐标”的概念是解题关键．20．在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P到x轴、y轴的距离的较大值称为点P的“长距”，点Q到x轴、y轴的距离相等时，称点Q为“完美点”．（1）点A（﹣3，5）的“长距”为5；（2）若点B（4﹣2a，﹣2）是“完美点”，求a的值；（3）若点C（﹣2，3b﹣2）的长距为4，且点C在第二象限内，点D的坐标为（9﹣2b，﹣5），试说明：点D是“完美点”．【答案】（1）5；（2）a＝1或a＝3；（3）D是“完美点“．【分析】（1）根据“长距“的定义解答即可；（2）根据“完美点“的定义解答即可；（3）由“长距“的定义求出b的值，然后根据“完美点“的定义求解即可．【详解】解：（1）根据题意，得点A（﹣3，5）到x轴的距离为5，到y轴的距离为3，点A的“长距“为5．故答案为：5；（2）点B（4﹣2a，﹣2）是“完美点“，∴|4﹣2a|＝|﹣2|，∴4﹣2a＝2或4﹣2a＝﹣2，解得a＝1或a＝3；（3）点C（﹣2，3b﹣2）的长距为4，且点C在第二象限内，3b﹣2＝4，解得b＝2，∴9﹣2b＝5，∴点D的坐标为（5，﹣5），点D到x轴、y轴的距离都是5，∴D是“完美点“．【点评】本题主要考查了平面直角坐标系的知识，属于阅读理解类型题目，关键是要读懂题目里定义．21．我们规定：若a2+b2＝nab，就称（a，b）为“n倍理想坐标”，例如因为12+（﹣1）2＝（﹣2）×1×（﹣1），所以称（1，﹣1）为“﹣2倍理想坐标”，因为12+22＝2.5×1×2，所以称（1，2）为“2.5倍理想坐标”．根据材料，思考下列问题：（1）（2，2）是“2倍理想坐标”（填“是”或“不是”）；（2，3）是136（2）当（a，b）在坐标轴上时，若（a，b）为“n倍理想坐标”，求（a，b）的坐标，并指出它是平面直角坐标系中的哪个特殊位置；（3）若（a，b）是象限角平分线上的点（原点除外），求（a，b）是几倍理想点？【答案】（1）是，136（2）（a，b）的坐标为（0，0），它是平面直角坐标系中的原点；（3）（a，b）是2倍或﹣2倍理想点．【分析】（1）根据“n倍理想坐标”的定义判断即可；（2）根据坐标轴上的点的特征得到a＝0或b＝0，那么ab＝0，根据“n倍理想坐标”的定义得出a2+b2＝nab＝0，根据非负数的性质求出a＝0且b＝0，进而求解即可；（3）根据四个象限角平分线上的点的特征得出a＝±b．再分①当（a，b）是第一、三象限角平分线上的点；②（a，b）是第二、四象限角平分线上的点两种情况进行讨论，利用“n倍理想坐标”的定义求解即可．【详解】解：（1）因为（2）2+（2）2＝2×2×2，所以（2因为22+32=136×故答案为：是，136（2）当（a，b）在坐标轴上时，a＝0或b＝0，∴ab＝0，∵（a，b）为“n倍理想坐标”，∴a2+b2＝nab＝0，∴a＝0且b＝0，∴（a，b）的坐标为（0，0），它是平面直角坐标系中的原点；（3）若（a，b）是象限角平分线上的点（原点除外），则a＝±b≠0．分两种情况：①当（a，b）是第一、三象限角平分线上的点（原点除外）时，则a＝b，∵a2+b2＝2a2＝2a•a＝2ab，∴（a，b）是2倍理想点；②当（a，b）是第二、四象限角平分线上的点（原点除外）时，则a＝﹣b，∵a2+b2＝2a2＝2a（﹣b）＝﹣2ab，∴（a，b）是﹣2倍理想点．综上所述，（a，b）是2倍或﹣2倍理想点．【点评】本题考查了点的坐标，新定义，坐标轴上的点的特征，非负数的性质，四个象限角平分线上的点的特征．理解“n倍理想坐标”的定义是解题的关键．22．已知当m，n都是实数，且满足2m＝8+n时，称p（m﹣1，n+22（1）判断点A（32，−12（2）若点M（a，2a﹣1）是“好点”，请判断点M在第几象限？并说明理由．【答案】见试题解答内容【分析】（1）根据A、B点坐标，代入（m﹣1，n+22）中，求出m和n的值，然后代入2m＝8+n（2）直接利用“好点”的定义得出a的值进而得出答案．【详解】解：（1）点A（32，−当A（32，−12）时，m﹣1=32，n+22则2m＝5，8+n＝5，所以2m＝8+n，所以A（32，−点B（4，10）不是“好点”，理由如下：当B（4，10）时，m﹣1＝4，n+22=10，得m＝5，则2m＝10，8+18＝26，所以2m≠8+n，所以点B（4，10）不是“好点”；（2）点M在第三象限，理由如下：∵点M（a，2a﹣1）是“好点”，∴m﹣1＝a，n+22=2∴m＝a+1，n＝4a﹣4，代入2m＝8+n得2a+2＝8+4a﹣4，∴a＝﹣1，2a﹣1＝﹣3，∴M（﹣1，﹣3），所以点M在第三象限．【点评】此题主要考查了点的坐标，正确掌握“好点”的定义是解题关键．23．已知有序数对（a，b）及常数k，我们称有序数对（ka+b，a﹣b）为有序数对（a，b）的“k阶结伴数对”．如（3，2）的“1阶结伴数对”为（1×3+2，3﹣2），即（5，1）．（1）有序数对（2，﹣1）的“3阶结伴数对”为（5，3）；（2）若有序数对（a，b）的“2阶结伴数对”为（2，4），求a，b的值；（3）是否存在实数k使得有序数对（a，b）（b≠0）的“k阶结伴数对”是它本身？若存在，请求k的值；若不存在请说明理由．【答案】（1）（5，3）；（2）a=2b=−2（3）k=1【分析】（1）“k阶结伴数对”的定义解答即可；（2）根据题意得出方程组，再求出方程组的解即可；（3）根据题意得出ka+b＝a，a﹣b＝b，再求出即可．【详解】解：（1）有序数对（2，﹣1）的“3阶结伴数对”为（3×2﹣1，2+1），即（5，3），故答案为：（5，3）；（2）根据题意，得2a+b=2a−b=4解得a=2b=−2（3）存在实数k使得有序数对（a，b）（b≠0）的“k阶结伴数对”是它本身；理由如下：∵有序数对（a，b）（b≠0）的“k阶结伴数对”是它本身，∴ka+b＝a，a﹣b＝b，∴a＝2b，把a＝2b代入ka+b＝a得：2bk+b＝2b，即2bk＝b，解得：k=1【点评】本题考查了点的坐标，能根据题意列出算式是解此题的关键．24．对于平面直角坐标系中的点P（a，b），若点P′的坐标为（a+kb，ka+b）（其中k为常数，且k≠0），则称点P′为点P的“k属派生点”．例如：P（1，4）的“2属派生点”为P′（1+2×4，2×1+4），即P′（9，6）．（1）直接写出点P（﹣1，6）的“2属派生点”P′的坐标（11，4）．（2）若点P的“3属派生点”P′的坐标为（20，36），请求出点P的坐标．【答案】（1）（11，4）；（2）（11，3）．【分析】（1）根据“k属派生点”的定义进行计算即可；（2）根据“k属派生点”的定义列方程求解即可．【详解】解：（1）由“k属派生点”的定义可知，点P（﹣1，6）的“2属派生点”P′的坐标为（﹣1+2×6，6﹣1×2），即（11，4），故答案为：（11，4）；（2）设点P的坐标为（a，b），则点P的“3属派生点”P′的坐标为（a+3b，3a+b），由题意得，a+3b＝20，3a+b＝36，解得a＝11，b＝3，∴点P的坐标为（11，3）．【点评】本题考查点的坐标，掌握点的坐标的定义，理解点的“k属派生点”的定义以及二元一次方程组的解法是正确解答的关键．25．在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y），若点Q的坐标（ax+y，x+ay），则称点Q是点P的“a级关联点”（其中a为常数，且a≠0），例如，点P（1，4）的“2级关联点”为Q（2×1+4，1+2×4），即Q（6，9）．（1）若点P的坐标为（﹣1，5），则它的“1级关联点”的坐标为（4，4）；（2）若点P（x，y）的“3级关联点”的坐标为（7，﹣3），求点P的坐标；（3）若点P'是点P（m﹣2，3m）的“﹣2级关联点”，且点P'位于坐标轴上，求m的值．【答案】（1）（4，4）；（2）（3，﹣2）；（3）−2【分析】（1）根据“a级关联点”的定义即可求解；（2）点P的坐标为（x，y），根据“a级关联点”的定义列出方程组解出x，y，即可求解；（3）先表示出点P（m﹣2，3m）的“﹣2级关联点”P'，再分P'在x轴、y轴两种情况讨论即可解答．【详解】解：（1）点P的坐标为（﹣1，5），则它的“1级关联点”的坐标为（﹣1×1+5，﹣1+1×5），即（4，4）．故答案为：（4，4）；（2）解：点P的坐标为（x，y），由题意可知3x+y=7x+3y=−3解得：x=3y=−2∴点P的坐标为（3，﹣2）；（3）解：∵点P（m﹣2，3m）的“﹣2级关联点”为P′（﹣2（m﹣2）+3m，m﹣2+（﹣2）×3m），即（m+4，﹣5m﹣2）①P'位于x轴上，∴﹣5m﹣2＝0，解得：m=−2②P'位于y轴上，∴m+4＝0，解得：m＝﹣4．综上所述，m的值为−2【点评】本题主要考查坐标的求解、一元一次方程、二元一次方程组的应用等知识点，熟知“a级关联点”的定义是解题的关键．26．对于平面直角坐标系xOy中的点A（a，b），若B的坐标为（ta，b+t），其中t为常数，且t≠0，则A、B互为“t系关联点”，比如：A（2，3）的“2系关联点”为B（2×2，3+2），即：B（4，5）．（1）计算点C（﹣1，2）的“3系关联点”D的坐标；（2）若点P（m，﹣2）的“﹣1系关联点”为Q，且Q点到x轴距离是到y轴距离的一半，求P点的坐标．【答案】（1）（﹣3，5）；（2）（6，﹣2）或（﹣6，﹣2）．【分析】（1）根据“t系关联点”的定义可得D的坐标；（2）根据定义找到点Q的坐标，根据题意建立等量关系即可求解．【详解】解：（1）由题意得：D（﹣1×3，2+3），即D（﹣3，5）；（2）由题意得：Q[m×（﹣1），﹣2+（﹣1）]，即Q（﹣m，﹣3