湘教版高一下学期数学（必修二）《3.4复数的三角表示》同步练习题及答案

第第页湘教版高一下学期数学（必修二）《3.4复数的三角表示》同步练习题及答案一、必备知识基础练1.复数z=2−2i的三角形式是(A.2(cosπ4+isinπ4B.2(cos3π4+isinC.2(cos7π4+isin7D.2(cos5π4+isin2.(2025甘肃酒泉高一期末)已知向量OA对应的复数为z=-1+i,复数zi对应的向量可以将向量OA按逆时针方向旋转得到.(填最小正角)

3.[2(cos60°+isin60°)]3=.

4.计算:4(cos80°+isin80°)÷[2(cos320°+isin320°)].5.已知复数z=r(cosθ+isinθ),r≠0,求1z的三角形式二、关键能力提升练6.复数(sin10°+icos10°)(sin10°+icos10°)的三角形式是()A.sin30°+icos30°B.cos160°+isin160°C.cos30°+isin30°D.sin160°+icos160°7.已知复数z满足z2+2z+4=0,且argz∈π2,π,则z8.莱昂哈德·欧拉发现并证明了欧拉公式eiθ=cosθ+isinθ,从而建立了三角函数和指数函数的关系.若将其中的θ取作π就得到了欧拉恒等式eπi+1=0,它是数学里令人着迷的一个公式,它将数学里最重要的几个量联系起来:两个超越数(自然对数的底数e,圆周率π),两个单位(虚数单位i,自然数单位1)以及0.请你根据欧拉公式:eiθ=cosθ+isinθ,解决以下问题:(1)试将复数eπ3i写成a+bi(a,b(2)试求复数eπ39.已知复数z的模为2,实部为3,求复数z的代数形式和三角形式.10.计算下列各式的值:(1)(-12+32i)·[2(cosπ(2)3(cos63°+isin63°)·2(cos99°+isin99°)·5(cos108°+isin108°).11.求证:(cos3θ+isin3θ)3·三、学科素养创新练12.已知k是实数,ω是非零复数,且满足argω=3π4,(1+ω)2+(1+i)2=1+k(1)求ω;(2)设z=cosθ+isinθ,θ∈[0,2π),若|z-ω|=1+2,求θ的值.参考答案1.Cz=2−2i=2(22−22i)=2(cos7π42.π2zi=(-1+i)i=-1-i设将向量OA按逆时针方向旋转角θ,可得到复数zi对应的向量,则由-1-i=(-1+i)(cosθ+isinθ),化简得-1-i=-cosθ-sinθ+(cosθ-sinθ)i,故有-cosθ-sinθ=-1,cosθ-sinθ=依题意求最小正角,则θ=π23.-8原式=23[cos(60°×3)+isin(60°×3)]=8(cos180°+isin180°)=-8.4.解4(cos80°+isin80°)÷[2(cos320°+isin320°)]=42[cos(80°-320°)+isin(80°-=2[cos(-240°)+isin(-240°)]=2-=-1+3i.5.解1z=(cos0°+isin0°)r(cosθ+isinθ)=1r[cos(0°-θ)6.B(sin10°+icos10°)(sin10°+icos10°)=sin210°-cos210°+2sin10°cos10°i=-cos20°+sin20°i=cos160°+isin160°.故选B.7.z=2(cos2π3+isin2π3)由z2+2z+4=0,得z=12(-2±23i)因为argz∈(π2,π),所以z=-1-3i应舍去所以z=-1+3i=2(cos2π3+isin28.解(1)根据欧拉公式可得eπ3i=cosπ3+(2)由题意可知eπ3i+12=1因此,eπ9.解由题意,可设z=3+bi(b∈R).∵|z|=2,∴3+b2=2,解得b=±1,∴z=3+i或z=3-将z化为三角形式,得z=2(cosπ6+isinπ6)或z=2[cos-π6+10.解(1)-12+32i·=(cos2π3+isin2π3)·[2(cosπ=2(cosπ+isinπ)=-2.(2)3(cos63°+isin63°)·2(cos99°+isin99°)·5(cos108°+isin108°)=30(cos270°+isin270°)=-30i.11.证明左边=(cos9θ+isin9θ)·(cos14θ+isin14θ)=cosθ-isinθ=右边.12.解(1)argω=3π4,可设ω=a-ai(a∈将其代入(1+ω)2+(1+i)2=1+kω,化简可得2a+2a(1+a)i+2i=ka-kai,∴2a=ka,2