浙江省强基联盟2026年1月高三联考数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页浙江省强基联盟2026年1月高三联考数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知复数z=52+i(i为虚数单位)，则复数z的虚部为A.−1 B.1 C.i D.−i2.若集合M={−4,−2,−1,2,3}，N={−3,−1,2}，则(

)A.M⊆N B.N⊆M

C.M∩N={−1,2} D.M∪N={−3,−2,−1,2,3}3.若函数f(x)=x3+ax2(a∈R)的图象在x=1处的切线过点A.−3 B.−2 C.2 D.34.已知函数f(x)=sin(2x+φ)(|φ|<π),f(x)≤f(π6)恒成立，则A.π6 B.5π6 C.−π5.已知向量a,b满足a−b=2,2aA.12 B.22 C.6.某电器由三个元件按下图方式连接而成，设三个电子元件的使用寿命(单位：小时)均服从正态分布N(1000,502)，各个元件能否正常工作相互独立.当元件1正常工作，且元件2或元件3正常工作时，该电器正常工作.现有200台这样的电器，估计这批电器使用寿命超过1000小时的台数为(

)

A.60 B.75 C.90 D.1207.设▵ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，如果(a+b+c)(a+c−b)=ac，且b=3，那么▵ABCA.1 B.2 C.23 8.设P为椭圆x225+y216=1上一动点，M、N分别为圆C1A.7.5 B.9.5 C.11.5 D.13.5二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知Sn是等差数列an的前n项和，则下列选项中可能是Sn所对应的图象的是A. B.

C. D.10.已知抛物线y2=4x的焦点为F，过F的直线交抛物线于A,B，Q为抛物线上一个动点，P(2,1)，则(

)A.F的坐标为(1,0)

B.|AB|的最小值为2

C.若Q(1,2)，则过Q与抛物线相切的直线的方程为y=x+1

D.|PQ|+|QF|的最小值为311.在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，点E，FA.BD1//平面AEC

B.若AF与平面BCC1B1所成角为π4，则F点的轨迹长度为2π2

C.当λ+μ=1时，满足到直线AB与到平面A三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知角α满足3sinα−2cosα+π313.函数fx是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，fx=2x−5x+a，则14.从1，2，3，…，10这10个数中任取4个不同的数a1，a2，a3，a4，则事件“存在1≤i<j≤4，i，j∈N∗，使得|四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)某县承包了一块土地，已知土地的使用面积与相应的管理时间的关系如下表所示：土地使用面积x/亩12345管理时间y/月810132524并调查了某村300位村民参与管理的意愿，得到的部分数据如下表所示：单位：人愿意参与管理不愿意参与管理男性村民15050女性村民5050(1)求出样本相关系数r的大小，并判断管理时间y与土地使用面积x是否线性相关(当r≥0.75时，即可认为线性相关)(2)以该村村民的性别与参与管理意愿的情况估计该县的情况，从该县中任取3人，记取到不愿意参与管理的男性村民的人数为X，求X的分布列及数学期望．参考公式：r=i=1nxi16.(本小题15分)已知数列an的前n项和为Sn，且(1)求数列an(2)设bn=−1nnan+117.(本小题15分)

如图，三棱柱ABC−A1B1C1中，侧面BB(1)证明：AC=A(2)若AB1=2，AB=BC，AC⊥AB1，18.(本小题17分)

已知双曲线C：x2a2−y2a2−1=1(a>1)

(1)a=2，求双曲线C的渐近线方程．

(2)设A1，A2为双曲线C的左右顶点，双曲线C上一点E的纵坐标为1，且EA1⋅EA2=3，求a的值；

(3)已知点19.(本小题17分)已知f(x)=xlnx+a(1)当a=0时，证明：f(x)≤x(x−1)；(2)设g(x)=f(x+1)，若对任意的x∈(0,π)，g(x)>(3)证明：对任意的正整数n，总有12sin1+参考答案1.A

2.C

3.A

4.A

5.C

6.B

7.A

8.D

9.ABD

10.ACD

11.AD

12.313.4

14.5615.解：(1)由题意得，x=所以∑5可得∑5则r=∑所以管理时间y与土地使用面积x线性相关．(2)由题意，随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，从该县中随机抽取一位村民，取到不愿意参与管理的男性村民的概率为50300故PX=0P故X的分布列为X0123P1252551所以数学期望EX

16.解：(1)由Sn=2an−n，所以当n=1当n≥2时，Sn−1=2an−1−即n≥2时，an=2a所以an+1是首项和公比均为2的等比数列，所以an所以数列an的通项公式为a(2)因为bn所以Tn则−2T①−②得3=−2所以Tn

17.解：(1)连接BC1，交B1C于O，连接AO，由侧面BB1C1C为菱形，B1C⊥BC1，O为B1C与BC1的中点．

又AB⊥B1C，而AB∩BC1=B，AB，BC1⊂平面ABO，所以B1C⊥平面ABO，

而AO⊂平面ABO，故B1C⊥AO，又B1O=CO，AO垂直平分B1C，故AC=AB1.

(2)因为AC⊥AB1，且O为B1C的中点，所以AO=CO，

又因为AB=BC，BO=BO，△BOA≌△BOC，故∠BOA=∠BOC，由菱形BCC1B1，故BO⊥OC，故∠BOA=90∘，

故OA⊥OB，从而OA，OB，OB1两两垂直．

建立如图所示的空间直角坐标系O−xyz．

因为∠CBB1=60∘，所以△CBB1为等边三角形.又AB=BC，所以OB=3，OC=118.19.【详解】(1)a=0，f(x)=xlnx，则f(x)−x(x−1)=x令t(x)=lnx−(x−1)，则令t′(x)>0，得x∈所以t(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+∞所以t(x)max=t(1)=0，所以当x所以f(x)≤x(x−1)得证．(2)设g(x)=f(x+1)=(x+1)ln若对任意的x∈0,π，g(x)又g′设h(x)=g′(x)，则h′(i)当a≥0，x∈(0,π)时，显然g(x)中(x+1)ln(ii)当−1≤a<0，x∈(0,π)时，所以g(x)在(0,π)单调递增，所以g(x)>(iii)当a<−1，x∈(0,π