2025-2026学年河北省NT20名校联合体高三（上）质检数学试卷（一）（1月份）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年河北省NT20名校联合体高三（上）质检数学试卷（一）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.复数2−i31−i的共轭复数的虚部为A.32i B.−32 C.2.样本数据3，8，4，6，27，9，1，5的第75百分位数为(

)A.7.5 B.8 C.8.5 D.93.已知向量a=(−2,4)与b=(n,2)，若a//(a+A.4 B.−4 C.1 D.−14.已知数列{an}是等比数列，若a2=−1，aA.±1 B.−1 C.±2 D.25.若椭圆y2a2+x2A.54 B.43 C.26.已知直线l1：3x−3ay+5=0，l2：(1−a)x+2y−7=0，则“a=−1”是“l1//A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件7.已知函数f(x)及其导函数g(x)的定义域均为R,g(π2+x)为奇函数，f(x+y)+f(x−y)=2f(x)cosy，f(0)=0，若方程f(x)=m(m>0)在区间[0,3π]上恰有四个不同的实数根x1，x2，x3，A.2π B.4π C.8π D.6π8.如图，几何体ABC−A1B1C1中，△ABC是正三角形，AA1=CC1=AB=8，BB1=4，AA1//BB1//CC1，A.2

B.3

C.32

D.4二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列命题不正确的有(

)A.斜二测画法不会改变边长比例

B.一条直线和一个点确定一个平面

C.过圆锥顶点的所有截面中，轴截面的面积最大

D.用任意一个平面截球所得截面一定是一个圆面10.已知函数f(x)=2x3−xA.f(x)在(−∞,0)上单调递增

B.f(x)的极大值为0

C.f(x)有三个零点

D.曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为4x−y+3=011.已知双曲线C：x24−y25=1的左、右焦点分别为F1，F2，点A在C的右支上，△AF1F2的内切圆圆心为O1A.双曲线C的离心率为32 B.|OD|=2

C.圆心O1的横坐标为1 D.O1三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知直线ax+3y−2=0的倾斜角为π3，则a=

．13.已知点A(−2,5)，点M是抛物线x2=8y上的一点，点B是圆F：x2+(y−2)2=1上的一点，则14.在Rt△ABC中，AB⊥AC，AB=1，BC=2，S为空间中的一个点，BC⊥SC，SA=52，则三棱锥S−ABC体积的最大值为

．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin2C−sinAsinB=sin2A+sin2B.

(1)求C；

(2)若a=5，b=3，D为16.(本小题15分)

已知B(5,2)，C(1,0)两点．

(1)求以线段BC为直径的圆的标准方程；

(2)若动点A满足AB⊥AC，M为AC的中点，求点M的轨迹方程．17.(本小题15分)

已知椭圆C：y2a2+x2b2=1(a>b>0)的上焦点为F，焦距为2，椭圆C的上顶点到F的距离与它到直线l：y=4的距离之比为12．

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)若过点18.(本小题17分)

如图，斜三棱柱ABC−A1B1C1的体积为1，D为BC上一点，A1B//平面ADC1,AD⊥DC1,AA19.(本小题17分)

将平面内任意向量OP=(x,y)绕坐标原点O逆时针方向旋转角α，得到向量OP′=(xcosα−ysinα,xsinα+ycosα).已知双曲线C1：x22−y22=1，将双曲线C1绕点O逆时针旋转π4后得到曲线C2．

(1)求C2的方程；

(2)点A在曲线C2上，曲线C2在点A处的切线为直线l．

(i)若l与两坐标轴分别交于M，N两点，求△OMN的面积；

参考答案1.B

2.C

3.D

4.C

5.C

6.A

7.D

8.D

9.ABC

10.AB

11.ABD

12.−313.6

14.315.解：(1)根据题意可知，sin2C−sinAsinB=sin2A+sin2B，

∴根据正弦定理c2−a2−b2=ab，

∵c2−a2−b2=−2abcosC，∴−2cosC=1，16.解：(1)设BC中点为D，则D(3,1)，

半径r=(5−1)2+(2−0)22=5，

标准方程为(x−3)2+(y−1)2=5；

(2)设M(x,y)，A(x0,y0)，

则x=x0+12,y=y0+02，

故x0=2x−1，y0=2y，

因为点A的轨迹方程为(x−3)2+(y−117.解：(1)由椭圆焦距为2，可得2c=2，即c=1，

又椭圆上顶点到点F的距离与到直线l：y=4的距离之比为12，

上顶点P(0,a)，焦点F(0,1)，则a−14−a=12，

解得a=2，即a2=4，b2=a2−c2=3，

所以椭圆C的标准方程为y24+x23=1；

(2)设直线AB：y=kx+4，A(x1,y1)，B(x2,y2)，

联立y=kx+4y24+x23=1，得(3k2+4)x2+24kx+36=0，

则Δ=(24k)2−4(3k2+4)×36>0，解得k>2或k<−2，

由韦达定理可得x1+x2=−24k3k2+4,x1x2=363k2+4，

所以kAF+kBF=y1−1x1+y2−1x2=(kx1+3)x2+(kx2+3)x1x1x2

=2k⋅363k2+4+3⋅(−24k3k2+4)363k2+4=72k−72k36=0，

所以kAF+kBF为定值0．

18.解：(1)证明：连接A1C交AC1于点O，连接OD，如图所示：

因为A1B//面ADC1，A1B⊂面A1BC，面A119.解：(1)取曲线C2上任一点P(x,y)，则点P由双曲线C1上一点P0(x0,y0)绕坐标原点O逆时针旋转π4得到，

所以x=22x0−22