黑龙江省齐齐哈尔市龙江县二中2026届高三上数学期末调研试题含解析

黑龙江省齐齐哈尔市龙江县二中2026届高三上数学期末调研试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知分别为双曲线的左、右焦点，点是其一条渐近线上一点，且以为直径的圆经过点，若的面积为，则双曲线的离心率为（）A． B． C． D．2．已知复数在复平面内对应的点的坐标为，则下列结论正确的是（）A． B．复数的共轭复数是C． D．3．已知曲线且过定点，若且，则的最小值为（）.A． B．9 C．5 D．4．已知复数z满足（i为虚数单位），则z的虚部为（）A． B． C．1 D．5．双曲线的渐近线方程是（）A． B． C． D．6．若非零实数、满足，则下列式子一定正确的是（）A． B．C． D．7．已知变量x，y间存在线性相关关系，其数据如下表，回归直线方程为，则表中数据m的值为（）变量x0123变量y35.57A．0.9 B．0.85 C．0.75 D．0.58．函数在上的最大值和最小值分别为（）A．，-2 B．，-9 C．-2，-9 D．2，-29．在正方体中，点，，分别为棱，，的中点，给出下列命题：①；②；③平面；④和成角为.正确命题的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．310．设P＝{y|y＝－x2＋1，x∈R}，Q＝{y|y＝2x，x∈R}，则A．PQ B．QPC．Q D．Q11．已知，则下列关系正确的是（）A． B． C． D．12．下列不等式成立的是（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知点P是直线y=x+1上的动点，点Q是抛物线y=x2上的动点.设点M为线段PQ的中点，O为原点，则14．在中，内角的对边分别是，若，，则____.15．从集合中随机取一个元素，记为，从集合中随机取一个元素，记为，则的概率为_______．16．设为锐角，若，则的值为____________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知，，不等式恒成立.（1）求证:（2）求证:.18．（12分）是数列的前项和，且.（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列中最小的项.19．（12分）已知，函数.（Ⅰ）若在区间上单调递增，求的值；（Ⅱ）若恒成立，求的最大值.（参考数据：）20．（12分）已知，，（1）求的最小正周期及单调递增区间；（2）已知锐角的内角，，的对边分别为，，，且，，求边上的高的最大值．21．（12分）已知等比数列,其公比,且满足,和的等差中项是1．(Ⅰ)求数列的通项公式；(Ⅱ)若,是数列的前项和,求使成立的正整数的值．22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（φ为参数），在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2是圆心为（2，），半径为1的圆．（1）求曲线C1的普通方程和C2的直角坐标方程；（2）设M为曲线C1上的点，N为曲线C2上的点，求|MN|的取值范围．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】

根据题意，设点在第一象限，求出此坐标，再利用三角形的面积即可得到结论.【详解】由题意，设点在第一象限，双曲线的一条渐近线方程为，所以，，又以为直径的圆经过点，则，即，解得，，所以，，即，即，所以，双曲线的离心率为.故选：B.【点睛】本题主要考查双曲线的离心率，解决本题的关键在于求出与的关系，属于基础题.2、D【解析】

首先求得，然后根据复数乘法运算、共轭复数、复数的模、复数除法运算对选项逐一分析，由此确定正确选项.【详解】由题意知复数，则，所以A选项不正确；复数的共轭复数是，所以B选项不正确；，所以C选项不正确；，所以D选项正确.故选：D【点睛】本小题考查复数的几何意义，共轭复数，复数的模，复数的乘法和除法运算等基础知识；考查运算求解能力，推理论证能力，数形结合思想.3、A【解析】

根据指数型函数所过的定点，确定，再根据条件，利用基本不等式求的最小值.【详解】定点为,，当且仅当时等号成立，即时取得最小值.故选：A【点睛】本题考查指数型函数的性质，以及基本不等式求最值，意在考查转化与变形，基本计算能力，属于基础题型.4、D【解析】

根据复数z满足，利用复数的除法求得，再根据复数的概念求解.【详解】因为复数z满足，所以，所以z的虚部为.故选：D.【点睛】本题主要考查复数的概念及运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.5、C【解析】

根据双曲线的标准方程即可得出该双曲线的渐近线方程.【详解】由题意可知，双曲线的渐近线方程是.故选：C.【点睛】本题考查双曲线的渐近线方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意双曲线的简单性质的合理运用．6、C【解析】

令，则，，将指数式化成对数式得、后，然后取绝对值作差比较可得．【详解】令，则，，，，，因此，.故选：C.【点睛】本题考查了利用作差法比较大小，同时也考查了指数式与对数式的转化，考查推理能力，属于中等题．7、A【解析】

计算，代入回归方程可得．【详解】由题意，，∴，解得．故选：A.【点睛】本题考查线性回归直线方程，解题关键是掌握性质：线性回归直线一定过中心点．8、B【解析】

由函数解析式中含绝对值，所以去绝对值并画出函数图象，结合图象即可求得在上的最大值和最小值.【详解】依题意，，作出函数的图象如下所示；由函数图像可知，当时，有最大值，当时，有最小值.故选：B.【点睛】本题考查了绝对值函数图象的画法，由函数图象求函数的最值，属于基础题.9、C【解析】

建立空间直角坐标系，利用向量的方法对四个命题逐一分析，由此得出正确命题的个数.【详解】设正方体边长为，建立空间直角坐标系如下图所示，，.①，，所以，故①正确.②，，不存在实数使，故不成立，故②错误.③，，，故平面不成立，故③错误.④，，设和成角为，则，由于，所以，故④正确.综上所述，正确的命题有个.故选：C【点睛】本小题主要考查空间线线、线面位置关系的向量判断方法，考查运算求解能力，属于中档题.10、C【解析】

解：因为P={y|y=-x2+1，x∈R}={y|y1}，Q={y|y=2x，x∈R}={y|y>0},因此选C11、A【解析】

首先判断和1的大小关系，再由换底公式和对数函数的单调性判断的大小即可.【详解】因为，，，所以，综上可得.故选：A【点睛】本题考查了换底公式和对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．12、D【解析】

根据指数函数、对数函数、幂函数的单调性和正余弦函数的图象可确定各个选项的正误.【详解】对于，，，错误；对于，在上单调递减，，错误；对于，，，，错误；对于，在上单调递增，，正确.故选：.【点睛】本题考查根据初等函数的单调性比较大小的问题；关键是熟练掌握正余弦函数图象、指数函数、对数函数和幂函数的单调性.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、3【解析】

过点Q作直线平行于y=x+1，则M在两条平行线的中间直线上，当直线相切时距离最小，计算得到答案.【详解】如图所示：过点Q作直线平行于y=x+1，则M在两条平行线的中间直线上，y=x2，则y'=2x=1，x=1点M为线段PQ的中点，故M在直线y=x+38时距离最小，故故答案为：32【点睛】本题考查了抛物线中距离的最值问题，转化为切线问题是解题的关键.14、【解析】

由，根据正弦定理“边化角”，可得，根据余弦定理，结合已知联立方程组，即可求得角.【详解】根据正弦定理：可得根据余弦定理：由已知可得：故可联立方程：解得：.由故答案为：.【点睛】本题主要考查了求三角形的一个内角，解题关键是掌握由正弦定理“边化角”的方法和余弦定理公式，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.15、【解析】

先求出随机抽取a,b的所有事件数，再求出满足的事件数，根据古典概型公式求出结果.【详解】解：从集合中随机取一个元素，记为，从集合中随机取一个元素，记为，则的事件数为9个，即为，，，其中满足的有，，，共有8个，故的概率为.【点睛】本题考查了古典概型的计算，解题的关键是准确列举出所有事件数.16、【解析】

∵为锐角，，∴，∴，，故.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】

（1）先根据绝对值不等式求得的最大值，从而得到，再利用基本不等式进行证明；（2）利用基本不等式变形得，两边开平方得到新的不等式，利用同理可得另外两个不等式，再进行不等式相加，即可得答案.【详解】（1）∵，∴.∵，，，∴，∴，∴.（2）∵，，即两边开平方得.同理可得，.三式相加，得.【点睛】本题考查绝对值不等式、应用基本不等式证明不等式，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和推理论证能力.18、（1）；（2）.【解析】

（1）由可得出，两式作差可求得数列的通项公式；（2）求得，利用数列的单调性的定义判断数列的单调性，由此可求得数列的最小项的值.【详解】（1）对任意的，由得，两式相减得，因此，数列的通项公式为；（2）由（1）得，则.当时，，即，；当时，，即，.所以，数列的最小项为.【点睛】本题考查利用与的关系求通项，同时也考查了利用数列的单调性求数列中的最小项，考查推理能力与计算能力，属于中等题.19、（Ⅰ）；（Ⅱ）3.【解析】

（Ⅰ）先求导，得，已知导函数单调递增，又在区间上单调递增，故，令，求得，讨论得，而，故，进而得解；（Ⅱ）可通过必要性探路，当时，由知，又由于，则，当，，结合零点存在定理可判断必存在使得，得，，化简得，再由二次函数性质即可求证；【详解】（Ⅰ）的定义域为.易知单调递增，由题意有.令，则.令得.所以当时，单调递增；当时，单调递减.所以，而又有，因此，所以.（Ⅱ）由知，又由于，则.下面证明符合条件.若.所以.易知单调递增，而，，因此必存在使得，即.且当时，单调递减；当时，，单调递增；则.综上，的最大值为3.【点睛】本题考查导数的计算，利用导数研究函数的增减性和最值，属于中档题20、（1）的最小正周期为：；函数单调递增区间为：；（2）.【解析】

（1）根据诱导公式，结合二倍角的正弦公式、辅助角公式把函数的解析式化简成余弦型函数解析式形式，利用余弦型函数的最小正周期公式和单调性进行求解即可；（2）由（1）结合，求出的大小，再根据三角形面积公式，结合余弦定理和基本不等式进行求解即可.【详解】（1）的最小正周期为：；当时，即当时，函数单调递增，所以函数单调递增区间为：；（2）因为，所以设边上的高为，所以有，由余弦定理可知：（当用仅当时，取等号），所以，因此边上的高的最大值.【点睛】本题考查了正弦的二倍角公式、诱导公式、辅助角公式，考查了余弦定理、三角形面积公式，考查了基本不等式的应用，考查了数学运算能力.21、(Ⅰ).(Ⅱ).【解析】

(Ⅰ)由等差数列中项性质和等比数列的通项公式，解方程可得首项和公比，可得所求通项公式；(Ⅱ)，由数列的错位相减法求和可得，解方程可得所求值．【详解】(Ⅰ)等比数列,其公比,且满足,和的等差中项是即有，解得：(Ⅱ)由(Ⅰ)知：则相减可得：化简可得：，即为解得：【点睛】本题考查等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的错位相减法求和，以及方程思想和运算能力，属于中档题．22、（1）C1：y2＝1，C2：x2+（y﹣2）2＝1；（2）[0，1]【解析】

（Ⅰ）消去参数φ可得C1的直角坐标方程，易得曲线C2的圆心的直角坐标为（0，2），可得C2的直角坐标方程；（Ⅱ）设M（3cosφ，sin