江西省赣州寻乌县第二中学2026届数学高二上期末质量跟踪监视试题含解析

江西省赣州寻乌县第二中学2026届数学高二上期末质量跟踪监视试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若数列1，a，b，c，9是等比数列，则实数b的值为（）A.5 B.C.3 D.3或2．在等差数列中，已知，，则使数列的前n项和成立时n的最小值为（）A.6 B.7C.9 D.103．设实系数一元二次方程在复数集C内的根为、，则由，可得.类比上述方法：设实系数一元三次方程在复数集C内的根为，则的值为A.﹣2 B.0C.2 D.44．下列关于命题的说法错误的是A.命题“若，则”的逆否命题为“若，则”B.“”是“函数在区间上为增函数”的充分不必要条件C.命题“，使得”的否定是“，均有”D.“若为的极值点，则”的逆命题为真命题5．抛掷两枚硬币，若记出现“两个正面”“两个反面”“一正一反”的概率分别为，，，则下列判断中错误的是（）.A. B.C. D.6．已知实数、满足，则的最大值为（）A. B.C. D.7．古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆C的中心为原点，焦点，均在y轴上，椭圆C的面积为，且短轴长为，则椭圆C的标准方程为（）A. B.C. D.8．已知椭圆的左，右两个焦点分别为，若椭圆C上存在一点A，满足，则椭圆C的离心率的取值范围是（）A. B.C. D.9．已知直线过点，且与直线垂直，则直线的方程为（）A. B.C. D.10．若数列是等差数列，其前n项和为，若，且，则等于（）A. B.C. D.11．根据如下样本数据，得到回归直线方程，则x345678y4.02.5－0.50.5－2.0－3.0A. B.C. D.12．已知，记M到x轴的距离为a，到y轴的距离为b，到z轴的距离为c，则（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．如图，已知正方形边长为，长方形中，，平面与平面互相垂直，是线段的中点，则异面直线与所成角的余弦值为______14．已知球的表面积为,则该球的体积为______.15．2021年7月24日，在东京奥运会女子10米气步枪决赛中，中国选手杨倩以251.8环的总成绩夺得金牌，为中国代表团摘得本届奥运会首金．已知杨倩其中5次射击命中的环数如下：10.8，10.6，10.6，10.7，9.8，则这组数据的方差为______16．已知茎叶图记录了甲、乙两组各名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）．已知甲组数据的中位数为，乙组数据的平均数为，则的值为__________．甲组乙组三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知为数列的前项和，且（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和（3）设，若不等式对一切恒成立，求实数取值范围18．（12分）如图所示，在直四棱柱中，底面ABCD是菱形，点E，F分别在棱，上，且，（1）证明：点在平面BEF内；（2）若，，，求直线与平面BEF所成角的正弦值19．（12分）已知等差数列中，（1）分别求数列的通项公式和前项和；（2）设，求20．（12分）已知椭圆的左、右焦点分别是，，离心率为，过且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1（1）求椭圆C方程；（2）设点P在直线上，过点P的两条直线分别交曲线C于A，B两点和M，N两点，且，求直线AB的斜率与直线MN的斜率之和21．（12分）【2018年新课标I卷文】已知函数（1）设是的极值点．求，并求的单调区间；（2）证明：当时，22．（10分）写出下列命题的否定，并判断它们的真假：（1）：任意两个等边三角形都是相似的；（2）：，.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】根据等比数列的定义，利用等比数列的通项公式求解【详解】解：设该等比数列公比为q，∵数列1，a，b，c，9是等比数列，∴，，∴，故，解得，∴故选：C2、D【解析】根据等差数列的性质及等差中项结合前项和公式求得，,从而得出结论.【详解】，，，，，，,使数列的前n项和成立时n的最小值为10，故选：D.3、A【解析】用类比推理得到，再用待定系数法得到，，再根据求解.【详解】，由对应系数相等得：，.故选：A.【点睛】本题主要考查合情推理以及待定系数法，还考查了转化化归的思想和逻辑推理的能力，属于中档题.4、D【解析】根据命题及其关系、充分条件与必要条件、导数在函数中应用、全称量词与存在量词等相关知识一一判断可得答案.【详解】解：A,由原命题与逆否命题的构成关系,可知A正确；B,当a=2>1时,函数在定义域内是单调递增函数，当函数定义域内是单调递增函数时，a>1.所以B正确；C,由于存在性命题的否定是全称命题,所以"，使得"的否定是"，均有,所以C正确；D,的根不一定是极值点，例如:函数,则=0，即x=0就不是极值点,所以“若为的极值点，则”的逆命题为假命题,故选D.【点睛】本题主要考查命题及其关系、充分条件与必要条件、导数在函数中应用、全称量词与存在量词等相关知识，需牢记并灵活运用相关知识.5、A【解析】把抛掷两枚硬币的情况均列举出来，利用古典概型的计算公式，把，，算出来，判断四个选项的正误.【详解】两枚硬币，记为与，则抛掷两枚硬币，一共会出现的情况有四种，A正B正，A正B反，A反B正，A反B反，则，，，所以A错误，BCD正确故选：A6、A【解析】作出可行域，利用代数式的几何意义，利用数形结合可求得的最大值.【详解】作出不等式组所表示的可行域如下图所示：联立可得，即点，代数式的几何意义是连接可行域内一点与定点连线的斜率，由图可知，当点在可行域内运动时，直线的倾斜角为锐角，当点与点重合时，直线的倾斜角最大，此时取最大值，即.故选：A.7、C【解析】设出椭圆的标准方程，根据已知条件，求得，即可求得结果.【详解】因为椭圆的焦点在轴上，故可设其方程为，根据题意可得，，故可得，故所求椭圆方程为：.故选：C.8、C【解析】根据题意可知当A为椭圆的上下顶点时，即可满足椭圆C上存在一点A，使得，由此可得，解此不等式可得答案.【详解】由椭圆的对称性可知，当A为椭圆的上下顶点时，最大，故只需即可满足题意，设O为坐标原点，则只需,即有，所以，解得，故选：C9、A【解析】求出直线斜率，利用点斜式可得出直线的方程.【详解】直线的斜率为，则直线的斜率为，故直线的方程为，即.故选：A.10、B【解析】由等差数列的通项公式和前项和公式求出的首项和公差，即可求出.【详解】设等差数列的公差为，则解得：，所以.故选：B.11、B【解析】作出散点图，由散点图得出回归直线中的的符号【详解】作出散点图如图所示．由图可知，回归直线＝x＋的斜率＜0，当x＝0时，＝＞0.故选B【点睛】本题考查了散点图的概念，拟合线性回归直线第一步画散点图，再由数据计算的值12、C【解析】分别求出点M在x轴，y轴，z轴上的投影点的坐标，再借助空间两点间距离公式计算作答.【详解】设点M在x轴上的投影点，则，而x轴的方向向量，由得：，解得，则，设点M在y轴上的投影点，则，而y轴的方向向量，由得：，解得，则，设点M在z轴上的投影点，则，而z轴的方向向量，由得：，解得，则，所以.故选：C二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，求出，后可求异面直线所成角的余弦值.【详解】长方形可得，因为平面与平面互相垂直，平面平面，平面，故平面，故可建立如图所示的空间直角坐标系，则，故，，故.故答案为：14、【解析】设球半径为，由球表面积求出，然后可得球的体积【详解】设球半径为，∵球的表面积为，∴，∴，∴该球的体积为故答案为【点睛】解答本题的关键是熟记球的表面积和体积公式，解题时由条件求得球的半径后可得所求结果15、128【解析】先求均值，再由方差公式计算【详解】由已知，所以，故答案为：16、【解析】根据中位数、平均数的定义，结合茎叶图进行计算求解即可.【详解】根据茎叶图可知：甲组名学生在一次英语听力测试中的成绩分别；乙组名学生在一次英语听力测试中的成绩分别，因为甲组数据的中位数为，所以有，又因为乙组数据的平均数为，所以有，所以，故答案为：三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）；（3）.【解析】（1）利用的关系，根据等比数列的定义求通项公式.（2）由（1）可得，应用裂项相消法求.（3）应用错位相减法求得，由题设有，讨论为奇数、偶数求的取值范围【小问1详解】当时，，可得，当时，，可得，∴是首项、公比都为的等比数列，故.【小问2详解】由（1），，∴.【小问3详解】由题设，，∴，则，∴，由对一切恒成立，令，则，∴数列单调递减，∴当为奇数，恒成立且在上递减，则，当为偶数，恒成立且在上递增，则，综上，.18、（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）设、、、AC与BD的交点为O，由直四棱柱的性质构建空间直角坐标系，确定、的坐标可得，即可证结论.（2）由题设，求出、、的坐标，进而求得面BEF的法向量，利用空间向量夹角的坐标表示求直线与平面BEF所成角的正弦值【小问1详解】由题意，，设，，，设AC与BD的交点为O，以O为坐标原点，分别以BD，AC所在直线为x，y轴建立如下空间直角坐标系，则，，，，所以，，得，即，因此点在平面BEF内【小问2详解】由（1）及题设，，，，，所以，，设为平面BEF的法向量，则，令，即设直线与平面BEF所成角为，则19、（1），（2）【解析】（1）利用可以求出公差，即可求出数列的通项公式；（2）通过（1）判断符号，进而分和两种情况讨论求解即可.【小问1详解】解：设数列的公差为,，，，【小问2详解】解：由（1）可知，，当时，，当时，，所以当时，，当时，所以.20、（1）（2）0【解析】（1）由条件得和，再结合可求解；（2）设直线AB的方程为：，与椭圆联立，得到，同理得，再根据题中的条件化简整理可求解.【小问1详解】因为椭圆的离心率为，所以，所以①又因为过且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1，所以②，由①②可知，所以，，所以椭圆C的方程为【小问2详解】因为点P在直线上，所以设点，由题可知，直线AB的斜率与直线MN的斜率都存在所以直线AB的方程为：，即，直线MN的方程为：，即，设，，，，所以，消去y可得，，整理可得，且所以，，又因为，，所以，同理可得，又因为，所以，又因为，，，都是长度，所以，所以，整理可得，又因为，所以，所以直线AB的斜率与直线MN的斜率之和为021、(1)a=；f（x）在（0，2）单调递减，在（2，+∞）单调递增．(2)证明见解析.【解析】分析：(1)先确定函数的定义域，对函数求导，利用f′（2）=0，求得a=，从而确定出函数的解析式，之后观察导函数的解析式，结合极值点的位置，从而得到函数的增区间和减区间；(2)结合指数函数的值域，可以确定当a≥时，f（x）≥，之后构造新函数g（x）=，利用导数研究函数的单调性，从而求得g（x）≥g（1）=0，利用不等式的传递性，证得结果.详解：（1）f（x）的定义域为，f′（x）=aex–由题设知，f′（2）=0，所以a=从而f（x）=，f′（x）=当0<x<2时，f′（x）<0；当x>2时，f′（x）>0所以f（x）在（0，2）单调递减，在（2，+∞）单调递增（2）当a≥时，f（x）≥设g（x）=，则当0<x<1时，g′（x）<0；当x>1时，g′（x）>0．所以x=1是g（x）的最小值点故当x>0时，g（x）≥g（1）=0因此，当时，点睛：该题考查的是有关导数的应用问题，涉及到的知识点有导数与极值、导数与最值、导数与函数的单调性的关系以及证明不等式问题，在解题的过程中，首先