2026届江苏省南京师大苏州实验学校高二数学第一学期期末联考模拟试题含解析

2026届江苏省南京师大苏州实验学校高二数学第一学期期末联考模拟试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知直线和互相平行，则实数的取值为（）A或3 B.C. D.1或2．已知，分别为双曲线：的左，右焦点，以为直径的圆与双曲线的右支在第一象限交于点，直线与双曲线的右支交于点，点恰好为线段的三等分点(靠近点)，则双曲线的离心率等于（）A. B.C. D.3．4位同学报名参加四个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有（）A.24种 B.81种C.64种 D.256种4．与直线关于轴对称的直线的方程为（）A. B.C. D.5．已知实数x，y满足约束条件，则的最大值为（）A. B.0C.3 D.56．若圆与圆外切，则（）A. B.C. D.7．某校高二年级统计了参加课外兴趣小组的学生人数，每人只参加一类，数据如下表：学科类别文学新闻经济政治人数400300100200若从参加课外兴趣小组的学生中采用分层抽样的方法抽取50名参加学习需求的问卷调查，则从文学、新闻、经济、政治四类兴趣小组中抽取的学生人数分别为（）A.15，20，10，5 B.15，20，5，10C.20，15，10，5 D.20，15，5，108．已知椭圆的离心率，为椭圆上的一个动点，若定点，则的最大值为A. B.C. D.9．已知函数的图象如图所示，则其导函数的图象大致形状为（）A. B.C. D.10．在中，内角所对的边为，若，，，则（）A. B.C. D.11．在等差数列中，已知，则（）A.4 B.8C.3 D.612．把点随机投入长为，宽为的矩形内，则点与矩形四边的距离均不小于的概率为（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．如图，设正方形ABCD与正方形ABEF的边长都为1，若平面ABCD，则异面直线AC与BF所成角的大小为______14．已知点是抛物线的准线与x轴的交点，F为抛物线的焦点，P是抛物线上的动点，则最小值为_____15．过点作斜率为的直线与椭圆相交于、两个不同点，若是的中点，则该椭圆的离心率___________.16．若直线与曲线没有公共点，则实数的取值范围是____________三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD，，，且，，点E为棱PC的动点.（1）当点E是棱PC的中点时，求直线BE与平面PBD所成角的正弦值；（2）若E为棱PC上任一点，满足，求二面角P-AB-E的余弦值.18．（12分）椭圆的左右焦点分别为，，焦距为，为原点.椭圆上任意一点到，距离之和为.（1）求椭圆的标准方程；（2）过点的斜率为2的直线交椭圆于、两点，求的面积.19．（12分）已知抛物线C：上一点与焦点F的距离为（1）求和p的值；（2）直线l：与C相交于A，B两点，求直线AM，BM的斜率之积20．（12分）已知数列满足，（1）证明是等比数列，（2）求数列的前项和21．（12分）在锐角中，角的对边分别为，满足.（1）求;（2）若的面积为，求的值.22．（10分）函数.（1）当时，解不等式；（2）若不等式对任意恒成立，求实数a的取值范围.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】利用两直线平行的等价条件求得实数m的值.【详解】∵两条直线x+my+6=0和（m﹣2）x+3y+2m=0互相平行，∴解得m=﹣1，故选B【点睛】已知两直线的一般方程判定两直线平行或垂直时，记住以下结论，可避免讨论：已知，，则，2、C【解析】设，，根据双曲线的定义可得，，在中由勾股定理列方程可得，在中由勾股定理可得关于，的方程，再由离心率公式即可求解.【详解】设，则，由双曲线的定义可得：，，因为点在以为直径的圆上，所以，所以，即，解得：，在中，，，，由可得，即，所以双曲线离心率为，故选：C.第II卷（非选择题3、D【解析】利用分步乘法计数原理进行计算.【详解】每位同学均有四种选择，故不同的报名方法有种.故选：D4、D【解析】点关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标互为相反数，据此即可求解.【详解】设(x，y)是与直线关于轴对称的直线上任意一点，则(x，－y)在上，故，∴与直线关于轴对称的直线的方程为.故选：D.5、D【解析】先画出可行域，由，得，作出直线，向上平移过点A时，取得最大值，求出点A的坐标，代入可求得结果【详解】不等式组表示的可行域，如图所示由，得，作出直线，向上平移过点A时，取得最大值，由，得，即，所以的最大值为，故选：D6、C【解析】求得两圆的圆心坐标和半径，结合两圆相外切，列出方程，即可求解.【详解】由题意，圆与圆可得，，因为两圆相外切，可得，解得故选：C.7、D【解析】利用分层抽样的等比例性质求抽取的样本中所含各小组的人数.【详解】根据分层抽样的等比例性质知：文学小组抽取人数为人；新闻小组抽取人数为人；经济小组抽取人数为人；政治小组抽取人数为人；故选：D.8、C【解析】首先求得椭圆方程，然后确定的最大值即可.【详解】由题意可得：，据此可得：，椭圆方程为，设椭圆上点的坐标为，则，故：，当时，.本题选择C选项.【点睛】本题主要考查椭圆方程问题，椭圆中的最值问题等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.9、A【解析】利用f(x)先单调递增的速度由快到慢,再由慢到快，结合导数的几何意义判断即可.【详解】由f(x)的图象可知，函数f(x)先单调递增的速度由快到慢,再由慢到快，由导数的几何意义可知，先减后增，且恒大于0，故符合题意的只有选项A.故选：A.10、B【解析】利用正弦定理角化边得到，再利用余弦定理构造方程求得结果.【详解】，，由余弦定理得：，，.故选：B.11、B【解析】根据等差数列的性质计算出正确答案.【详解】由等差数列的性质可知，得.故选:B12、A【解析】确定矩形四边的距离均不小于的点构成的区域，由几何概型面积型的公式计算可得结果.【详解】若点与矩形四边的距离均不小于，则其落在如图所示的阴影区域内，所求概率.故选：A.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、##【解析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出异面直线所成角；【详解】解：如图建立空间直角坐标系，则、、、，所以，，设直线与所成角为，则，因为，所以；故答案为：14、【解析】利用已知条件求出p，设出P的坐标，然后求解的表达式，利用基本不等式即可得出结论【详解】解：由题意可知：，设点，P到直线的距离为d，则，所以，当且仅当x时，的最小值为，此时，故答案为：【点睛】本题考查抛物线的简单性质的应用，基本不等式的应用，属于中档题15、【解析】利用点差法可求得的值，利用离心率公式的值.【详解】设点、，则，由已知可得，由题意可得，将两个等式相减得，所以，，因此，.故答案为：.16、；【解析】可化简曲线的方程为，作出其图形，数形结合求临界值即可求解.【详解】由可得，所以曲线为以为圆心，的下半圆，作出图形如图：当直线过点时，，可得，当直线与半圆相切时，则圆心到直线的距离，可得：或（舍），若直线与曲线没有公共点，由图知：或，所以实数的取值范围是：，故答案为：三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）【解析】（1）由题意可得两两垂直，所以以为原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量求解，（2）设，表示出点的坐标，然后根据求出的值，从而可得点的坐标，然后利用空间向量求二面角【小问1详解】因为底面ABCD，平面，所以因为，所以两两垂直，所以以为原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，因为，，点E为棱PC的动点，所以，所以,，设平面的法向量为，则，令，则设直线BE与平面PBD所成角为，则，所以直线BE与平面PBD所成角的正弦值为，【小问2详解】，因为E为棱PC上任一点，所以设，所以，因为，所以，解得，所以，设平面的法向量为，则，令，则，取平面的一个法向量为，设二面角P-AB-E的平面角为，由图可知为锐角，则，所以二面角P-AB-E余弦值为18、（1）（2）【解析】（1）根据题意和椭圆的定义可知a，c，再根据，即可求出b，由此即可求出椭圆的方程；（2）求出直线方程，将其与椭圆方程联立，根据弦长公式求出的长度，再根据点到直线的距离公式求出点O到直线AB的距离，再根据面积公式即可求出结果.【小问1详解】由题意可得，，∴，，，所以椭圆的标准方程为.【小问2详解】直线l的方程为，代入椭圆方程得，设，，则，，，∴，又∵点O到直线AB的距离，∴，即△OAB的面积为.19、（1）（2）【解析】（1）结合抛物线的定义以及点坐标求得以及.（2）求得的坐标，由此求得直线AM，BM的斜率之积.【小问1详解】依题意抛物线C：上一点与焦点F的距离为，根据抛物线的定义可知，将点坐标代入抛物线方程得.【小问2详解】由（1）得抛物线方程为，，不妨设A在B下方，所以.20、（1）见解析；（2）【解析】（1）利用定义法证明是一个与n无关的非零常数，从而得出结论；（2）由（1）求出，利用分组求和法求【详解】（1）由得，所以，所以是首项为，公比为的等比数列,，所以，（2）由（1）知的通项公式为；则所以【点睛】本题主要考查等比数列的证明以及分组求和法，属于基础题21、（1）；（2）.【解析】（1）由条件可得，即，从而可得答案.(2)由条件结合三角形