专题01 利用导函数研究函数的切线问题 (典型例题+题型归类练)（解析版）

专题01利用导函数研究函数的切线问题(典型例题+题型归类练)目录角度1：在型求切线方程角度2：过型求切线方程角度3：已知切线条数求参数角度4：公切线问题一、必备秘籍1、切线的斜率：函数在点处的导数的几何意义，就是曲线在点处的切线的斜率，即.2、曲线的切线问题（基础题）（1）在型求切线方程已知：函数的解析式.计算：函数在或者处的切线方程.步骤：第一步：计算切点的纵坐标（方法：把代入原函数中），切点.第二步：计算切线斜率.第三步：计算切线方程.切线过切点，切线斜率。根据直线的点斜式方程得到切线方程：.（2）过型求切线方程已知：函数的解析式.计算：过点（无论该点是否在上）的切线方程.步骤：第一步：设切点第二步：计算切线斜率；计算切线斜率；第三步：令：，解出，代入求斜率第四步：计算切线方程.根据直线的点斜式方程得到切线方程：.3、已知，过点，可作曲线的（）条切线问题第一步：设切点第二步：计算切线斜率；第三步：计算切线方程.根据直线的点斜式方程得到切线方程：.第四步：将代入切线方程，得：，整理成关于得分方程；第五步：题意已知能作几条切线，关于的方程就有几个实数解；4、已知和存在（）条公切线问题第一步设的切点设的切点求公切线的斜率写出并整理切线整理得：整理得：联立已知条件消去得到关于的方程，再分类变量，根据题意公切线条数求交点个数；消去得到关于的方程再分类变量，根据题意公切线条数求交点个数；二、典型例题角度1：在型求切线方程例题1．（2022·福建·莆田一中高二期末）曲线在处的切线方程为_______.解题思路点评第1步：根据题意求曲线在处的切线方程，即切点为求切线问题，“在”字标志着该点即为切点，有了切点，只需求斜率第2步：求斜率：；即由，有，所以利用导函数求斜率，公式中，此时的只能代入切点的横坐标；第3步：求切线方程：，整理得.利用点斜式求方程：【答案】由，有，.曲线在点处的切线方程为，整理得.故答案为：．例题2．（2022·贵州铜仁·高二期末（理））在处的切线交轴于，则切线方程为_____________．解题思路点评本题中函数含参数，题意中“在”字标志切点为：含参数问题，将参数代入运算，后面根据已知条件求出参数；第1步：根据题意求曲线在处的切线方程，即切点为求切线问题，“在”字标志着该点即为切点；第2步：求斜率：；即由，有利用导函数求斜率，公式中，此时的只能代入切点的横坐标；第3步：求切线方程：.利用点斜式求方程：第4步：根据切线交轴于，代入切线方程求：，得，回代入切线方程中，得到切线方程为：【答案】因为，则，所以，又，所以函数在处的切线方程为，从而有，解得.所以切线方程为，即为.故答案为：角度2：过型求切线方程例题3．（2022·湖南衡阳·高二期末）写出过点与曲线相切的一条直线的方程：_____________.解题思路点评本题中求过点与曲线相切的一条直线的方程，统一设切点为：切线问题，“过”字是另一种标志，无论该点是否在曲线上，都统一设出切点为；而将过的那点“认为”是非切点.第1步：根据题意设切点为；求导：求切线问题，“过”字也是一种标志，要统一设出切点；第2步：求斜率：；即由，有利用导函数求斜率，公式中，此时的只能代入切点的横坐标；第3步：求切线方程：.利用点斜式求方程：第4步：根据题意，切线过点，代入切线中得，解得或根据题意，求切点，本题中求出或，说明切点有两个第5步：求切线方程：当时，切线方程为；当时，切线方程为.将或代入切线方程，求切线；“过”字标志的切线问题一般能求出多条切线【答案】或(写出其中一条即可)设切点为，因为，所以切线方程为，将点代入得，解得或.当时，切线方程为；当时，切线方程为.故答案为：或例题4．（2022·新疆·乌鲁木齐101中学高二期中（文））过曲线上一点的切线方程为_____.【答案】或设切点坐标为因为，所以切线斜率所以切线方程为…①因为切线过点，所以整理得，即解得或，代入①整理得或故答案为：或角度3：已知切线条数求参数例题5．（2022·湖南郴州·高二期末）过点作曲线的切线有且只有两条，则的取值范围为（

）A． B． C． D．解题思路本题属于已知切线有几条问题，注意到标志词“过”说明，本题需先设出切点,再求出切线，利用切线过点，代入切线中，，由题意知切线有2条；将条件等价转化：说明两个函数有两个交点；通过研究，画出的图象，在图象中寻找使得；有两个交点的范围，从而求解.第1步：设出切点，求导：第2步：求切线：第3步：将代入切线中：第4步：等价转化：有两个根，等价于：两个函数有两个交点第5步：研究画出图象：，则，令则，令则，当；画出图象:（注意:本题中画图是重点，如果没有考虑：当；画出草图可能就错误了，这样的取值范围就错误了）第6步：在图象中寻找使得；有两个交点的范围：【答案】A设切点为，，故过的切线方程为，即.故有且仅有两根.设，则，令则，令则，且，又当时，，.故有且仅有两根则b的取值范围为故选：A例题6．（2022·湖南·长郡中学高三阶段练习）已知，如果过点可作曲线的三条切线.则下列结论中正确的是（

）A． B． C． D．解题思路本题属于已知切线有几条问题，注意到标志词“过”说明，本题需先设出切点,再求出切线，利用切线过点，代入切线中，，由题意知切线有3条；将条件等价转化：说明该方程有三个根，构造函数：，说明函数与轴有3个交点，接下去研究，令，当时,,当时,,当时,,所以在上递增,在上递减,在上递增,所以在时取得极大值,在时取得极小值,由三次函数图象知（极大值，且极小值），从而：得.第1步：设出切点，求导：第2步：求切线：第3步：将代入切线中：第4步：构造函数：等价于函数与轴有3个交点第5步：研究令，当时,,当时,,当时,,所以在上递增,在上递减,在上递增,所以在时取得极大值,在时取得极小值,由三次函数图象知，解得【答案】D设切点为，，∴切线斜率为，∴切线方程为，将代入得方程，即，由题设该方程有3个不等实根.令，，当时,,当时,,当时,,所以在上递增,在上递减,在上递增,所以在时取得极大值,在时取得极小值,由三次函数图象知,解得,因为可以推出,，所以也正确.故选：D角度4：公切线问题例题7．（2023·全国·高三专题练习）若曲线与曲线：=有公切线，则实数的最大值为（

）A．+ B．- C．+ D．解题思路本题属于，两条曲线与曲线=有公切线问题，解题时，分别求出每条曲线的切线，对比两条曲线的斜率，纵截距：设在曲线上的切点为，则切线斜率为，在曲线上的切点为，切线斜率为，得到第一个等式：；写出两条曲线的切线方程分别为、，化简为斜截式：、，对比纵截距相等，得到第二个等式：；联立两个条件得到：，代入消去；再分离变量得：等价转化为：和有交点；问题转为研究函数，画出的图象，，令，令，故函数在上单调递增，在上单调递减，画出图象：最后在寻找与图象有交点的情况，求出【答案】C设在曲线上的切点为，则切线斜率为，在曲线上的切点为，切线斜率为，所以切线方程分别为、，即、，有，整理得，设，则，令，令，故函数在上单调递增，在上单调递减，所以在上，如图，由图可知，即k的最大值为.故选：C.例题8．（2022·福建省福州第八中学高二期末）若两曲线与存在公切线，则正实数的取值范围是_________.【答案】设公切线与曲线和的交点分别为，，其中，对于有，则上的切线方程为，即，对于有，则上的切线方程为，即，所以，有，即，令，，令，得，当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以，故，即.∴正实数的取值范围是.故答案为：.三、题型归类练1．（2022·江西·金溪一中高三阶段练习（文））若函数的图象与函数的图象有公切线，且直线与直线互相垂直，则实数（

）A． B． C．或 D．或【答案】D【详解】由题知，，令，又，解得，因为，所以切线的方程为.，设函数与直线切于点，所以，故，即，，解得或.故选：D2．（2022·江苏·南京外国语学校模拟预测）若两曲线y=x2-1与y=alnx-1存在公切线，则正实数a的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】A设切线：，即切线：，即，令在上单调递增，在上单调递减，所以故选：A．3．（2022·福建厦门·高二期末）若过点可作曲线的三条切线，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C，设切点，所以在点处的切线方程为，因为切线过点，所以，整理为，即，设，，当时，，当或时，，所以函数在区间单调递减，在区间和单调递增，所以函数的极大值是，函数的极小值是，若函数与有3个交点，则，即.故选：C4．（2022·浙江省长兴中学高二期末）若过点可以作曲线的两条切线，则（

）A． B． C． D．【答案】D解：设切点为，,由题得，所以切线的斜率为，所以切线方程为，所以，所以有两个不同的实数根，设，当时，单调递增；当时，单调递减.所以，所以.故选：D5．（2022·全国·益阳平高学校高二期末）若过点可作曲线三条切线，则（

）A． B． C． D．【答案】A设切点为，由，故切线方程为，因为在切线上，所以代入切线方程得，则关于t的方程有三个不同的实数根，令，则或，所以当，时，，为增函数，当时，，为减函数，且时，，时，，所以只需，解得故选：A6．（2022·山东泰安·高二期中）过曲线外一点作的切线恰有两条，则（

）A． B． C． D．【答案】A，过点作曲线C的切线，设切点，则切线方程为：，将代入得：即（*）

由条件切线恰有两条，方程（*）恰有两根．令，，显然有两个极值点与，于是或当时，；当时，，此时经过与条件不符，所以，故选：A.7．（2022·湖北·宜城市第一中学高三阶段练习）若过点可以作曲线的两条切线，则（

）A． B．C． D．且【答案】D作出的图象，由图可知，若过点可以作曲线的两条切线，点应在曲线外，设切点为，所以，，所以切线斜率为，整理得，即方程在上有两个不同的解，所以，，所以且.故选：D．8．（多选）（2022·河北石家庄·高二期末）若两曲线与存在公切线，则正实数a的取值可能是（

）A．1.2 B．4 C．5.6 D．【答案】ABD由，则，由，则设切线与曲线相切于点，则斜率为，所以切线方程为，即

①设切线与曲线相切于点，则斜率为：，则切线方程为，即，②根据题意方程①，②表示同一条直线，则所以，令（），则，所以在上单调递增，在上单调递减，，由题意.故答案为：ABD9．（多选）（2023·全国·高三专题练习）若直线是曲线与曲线的公切线，则（

）A． B． C． D．【答案】AD解：设直线与曲线相切于点，与曲线相切于点，对于函数，，则，解得，所以，即.对于函数，，则，又，所以，又，所以，.故选：AD10．（2022·陕西渭南·高二期末（理））曲线在点处的切线方程为_______.【答案】因为，所以在点的斜率，又因为，所以切线方程为，化简得.故答案为：.11．（2022·陕西·宝鸡市金台区教育体育局教研室高二期末（文））已知，则曲线在点处的切线方程为_______．【答案】解：因为，所以，又，所以，所以切点坐标为，切线的斜率，所以切线方程为，整理得；故答案为：12．（2022·河北张家口·高二期末）函数在点处的切线方程为___________.【答案】易知，又，所以切线的斜率，所以函数在点处的切线方程为，化简得.故答案为：13．（2022·福建三明·高二期末）已知曲线在点处的切线为l，则直线l的方程为___．【答案】因为，所以，，所以切线方程为：，即，故答案为：14．（2022·广东茂名·高二期中）已知直线l为函数的切线，且经过原点，则直线l的方程为__________.【答案】解：设切点坐标为，所以直线l的斜率为，所以直线l的方程为又直线l过点，所以，整理得，解得，所以，直线l的斜率，所以直线l的方程为，故答案为：.15．（2022·北京·汇文中学高二期中）过点的切线方程是__________.【答案】或解：由题，设切点为，，所以，切线方程为：因为点在切线上，所以，，即，解得或.所以，当时，切线方程为：；当时，切线方程为：；综上，所求切线方程为：或故答案为:或16．（2022·四川成都·高二期中（文））已知函数f（x）=x3－3x，则过点（1，－2）的切线方程为__________．【答案】和由函数，则，当点为切点时，则，即切线的斜率，所以切线的方程为，当点不是切点时，设切点，则，即，解得或（舍去），所以所以切线的方程为，即．故答案为：和．17．（2022·四川成都·高二期中（文））过点的直线l与曲线相切，则直线l的斜率为___________.【答案】3或##或3因为，所以，，当为切点时，，当不为切点时，设切点为，，所以，所以切线方程为：，过点，所以即，即，解得或（舍），所以切点为，所以，综上所述：直线l的斜率为3或，故答案为：3或18．（2023·全国·高三专题练习）已知（为自然对数的底数），，请写出与的一条公切线的方程______．【答案】或设公切线与相切于点，与相切于点，，，公切线斜率；公切线方程为：或，整理可得：或，，即，，解得：或，公切线方程为：或.故答案为：或.19．（2022·福建泉州·高二期中）函数与有公切线，则实数的值为__________．【答案】4根据题意，函数与有公切线，设切点分别为，，，，；所以且，所以公切线为，则有，设，则在上递增，又，故，，故答案为：420．（2022·山东德州·高二期末）