北师大版九年级数学下册课件《第二章 2 二次函数的图象与性质 第1课时 二次函数y=x和y=-x的图象与性质》

二次函数y=x²

和y=-x²的图象与性质!

学

习

目

标I1.

经历探索二次函数y=x²

和y=-x²图象的画法和性质的过程，

获得利用图象研究函数性质的经验。2.能用描点法画出二次函数y=x²和y=-x²的图象，并能根据图

象认识和理解二次函数y=x²和y=-x²的性质，说出二次函数

图象的开口方向、对称轴和顶点坐标。3.建立二次函数表达式与图象之间的联系，理解表达式中的

系数对图象的影响。一般地，若两个变量x,y

之间的对应关系可以表示成y=ax²+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)的形式，则

称y是x的二次函数.复习回顾1.二次函数的定义：图象k>0k<0b>0b<02.你还记得一次函数与反比例函数的图象吗?(1)一次函数的图象是一条直线.

(2)反比例函数的图象是双曲线

●x2

中

叱

么

亦

业

工

变

化

的

规画函数图形的主要步骤是什么?

质吗?画二次函数y=x²

的图象.

知识点一

二次函数y=x²,y=-x²

的图象的画法探索新知①列表；

②描点；

③连线.10Xy=x²2.描点

.3.连线

.-3-2

-1

0

1

2

39

4

1

0

1

49注意：①在连接时必须用光滑的曲线；②在连接时必须依次连接.62y=x²4x1.列表：

在y=x²

中，自变量x可以是任意实数.例

1

画二次函数y=x²的图象.

举一反三训练

1-1

下列图象中，是二次函数y=x²

的图象的是(

)CDBA1-2

画二次函数

y=-x²的图象

.(1)你能描述图象的形状吗?与同伴进行交流.二次函数y=x²

的图象是一条开口向上的曲线.(2)图象与x

轴有交点吗?如果有，交点坐标是什么?有交点，交点在原点(0,0)

.议一议(

3

)

当x<0

时，随着x的值增大，y

的值如何变化?当x>0时呢?当x<0时，y

随着x的增大而减小.当x>0

时，y

随着x的增大而增大.(

4

)

当x取什么值时，

y

的值最小?

最小值是什么?你是如何知道的?当x=0时

，y有最小值0.议一议(5)图象是轴对称图形吗?如果是，它的对称轴是什么?请你找出几对

对称点，并与同伴交流.是轴对称图形，对称轴是y轴(直线x=0);如(1,1)和(-1,1)等.议一议二次函数y=x²的图象是一条抛物线，开口方向：

向上对称轴：y

轴顶点：对称轴与抛物线的交点，它是图象的最低点.坐标为

(0,0)归纳小结二次函数y=—x²的图象是什么形状?先想y一想，然后画出它的图象.3

-2

2①列表；②描点；③连线

.

-1

X二次函数y=

x²的图象也是一条抛物线，它的

-

y=-x²开口向下，关于y轴对称。对称轴与抛物线的

—5—交点是抛物线的顶点，它是图象的最高点.—10—-32做一做y=x²

和y=—x²

的图象关于x轴对称.x3-3

-2

0

x

-8-9—10——10—它与二次函数y=x²的图象有什么关系?1085-知识点二二次函数y=x²,

y=-x²

的图象与性质重点y=x²y=—x²图象y40x位置开口方

向开口向上，在x轴上方开口向下，在x轴下方对称性关于y轴对称，对称轴方程是直线x=0顶点最值顶点坐标是原点(0,0)当x=0时，y最小值=0当x=0时，y最大值=0增减性在对称轴左侧递减在对称轴右侧递增在对称轴左侧递增在对称轴右侧递减解题策略

在解决与二次函数的性质有关的题目时，可先画出函数的大致图象，再结合图象进行分析说明.草图分析图象的开口向上图象的对称轴为y轴图象的顶点坐标是(0,0)当x<0时，y的值随x值的增大而减小；当x>0时，y的值随x值的增大而增大(D)A.图象的开口向上B.图象的对称轴为y轴C.图象的顶点坐标是(0,0)

D.y的值随x值的增大而减小例2

对于二次函数y=x²,下列说法不正确的是

举一反三训练2-1

关于二次函数y=x²

与y=-x²

的图象，下列说法中

不正确的是(

)A.顶点相同B.对称轴相同C.形状相同D.最低点相同2-2如果点A(-3,m)在二次函数y=x²的图象上，那么

m

的值为

,点A关于

x轴的对称点B的坐标是

,点

A

关于

y

轴的对称点

C

的坐标是

,B,C

两点中在

抛物线

y=x²

上的点是2-3若二次函数y=-x²

的图象经过点(a,-4.5)

和(-a,

b),

则

b=

2-4

已知二次函数y=-x²,当

-1≤x≤2

时，函数y

的最

小值为

2-5[整体思想]如图，圆的半径

为

2

,C₁是

函

数

y=x²

的

图

象

，C₂

是函

数

y=-x²

的

图象，则阴影部分的面积【解析】观察图形可知，把x轴

上

边

的

阴影

部分

对

称到下边就得到一个半圆阴影，则阴影部分的面积S=是和

B(-2,n)在二次函数y=-x²

的图象上，试比较m与

n

的大小关系.解法1(利用增减性比较):因为-2<-1<0,所以点A,B都在y=-x²的图象的对称轴y

轴的左侧.因为当x<0时，y

的值随x值的增大而增大，且-1>-2,所以m>n.提

升

训

练例3

★☆☆[天津中考]如果点A(-1,m)解法2(直接代入求值比较):因为点A(-1,m),B(-2,n)在

二

次

函

数

y=-x²的图象上，所以m=-(-1)²=-1,n=-

(-2)²=-4,所以

m>n.解法3(画图象比较):画出

y=-x²

的

草图如图所示，在图上标出A,B

两点，由图可知，m>n.解法4(利用距离比较):因为抛物线的对称轴为直线x=0,且开口向下，所以抛物线上的点离对称轴越远，对应的函数值就越小.又因为点B(-2,n)

到对称轴

的距离比点A(-1,m)到对称轴的距离远，所以n<m,即

m>n.解题策略比较函数值的大小，一般可利用下列四种方法：(1)利用函数的增减性比较；(2)先求出函数值再比较；(3)先画出函数的大致图象再比

较；(4)利用点与对称轴之间的距离进行比较.例4

如图，平行于x

轴的直线与抛物线

y=x²

相交于A,B

两点，且点

A的

横坐标为4,若在直线AB

下方的抛物线

上存在点C,使得△ABC

的面积为28,求点C的

坐

标

.

▶思路分析对称性xᴀ=4点C的坐标xʙ=-4→AB=8SAABc=2A求h解：因为平行于x

轴的直线与抛物线y=x²

相交于A,B两点，所以点A,B关于y

轴对称.因为点A

的横坐标为4,所以点A的纵坐标为4²=16,点

B的横坐标为-4,所以AB=4-(-4)=8.设点

C

的坐标为(m,n),则n=m²,0≤n<16.因为△ABC的面积为所以当

时，△ABC的面积为28,此时n=9,所以m²=9,解得m

=±3,所以点C

的坐标为(3,9)或(-3,9).四知识点睛