北师大版九年级数学下册课件《第二章 2 二次函数的图象与性质 第3课时 二次函数y=a(x-h)和y=a(x-h)+k的图象与性质》

二次函数y=a(x-h)²和y=a(x-h)²+k的图象与性质偿1

学

习

目标1.经历二次函数图象平移的过程，理解函数图象平移的意义.2.了解y=ax²,y=a(x+h)²,y=a(x+h)²+k

三类二次函数图象之间

的关系。3.会从图象的平移变换的角度认识y=a(x+h)²+k型二次函数的

图象特征。说出下列函数图象的开口方向，对称轴，顶点，最值和增

减变化情况：当c>0时，向上平移c个单位当c<0时，向下平移|c

个单位复习回顾y=ax²

y=ax²+cy=ax²+cy=ax²请

知识点一

二次函数y=a(x-h)²

的图象与性质

重点我们已经认识了二次函数y=2x²的图象，那么二次函数y=2(x-1)²,y=2(x+1)²

的

图

象与y=2x²有什么关系?画出二次函数y=2(x-1)²和y=2(x+1)²的图象

.探索新知y=2(x+1)²9Ox-3-2-10工23y=2x²188202818y=2(x-1)²321882028y=2(x+1)²820281832画二次函数y=2x²,y=2(x-1)²

和y=2(x+1)²

的图象.(2)描点(3)连线(1)列表y=2(x-1)²y=2x²y想一想：y=2(x-1)²的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么?开口方向向上，对称轴x=1,顶点坐标(1,0)y=2(x+1)²的呢?开口方向向上，对称轴x=-1,顶点坐标(-1,0)归纳小结二次函数y

=a(x-h)²的图象和性质：a>0时，开口向上，最

低

点是顶点；a<0时，开口向

下，最

高

点是顶点：

对称轴是直线x=h

,顶点坐标是

(h,O)

●a的符号a>0a<0图象h>0h<0开口方向向上向下对称轴直线x=h顶点坐标(h

,0)函数的增减性当x<h时，y随x增大而减小；当x>h时，y随x增大而增大当x<h时，

y随x增大而增大；当x>h时，y随x增大而减小最值x=h时，y最小值=0x=h时，y最大值=0归纳小结例1

[衡水武邑县期中]关于抛物线

y=2(x+3)²,以下说法正确的是(

B

)A.开口向下a=2>0,开口向上B.对称轴是直线x=-3C.顶点坐标是(0,0)(-3,0)D.当

x>-3

时

，y

的值随x

值的增大而减小

增大

举

一

反三训练1-1

在平面直角坐标系中，二次函数y=a(x-h)²(a≠0)的图象可能是(1-2[南充期末]抛物线

y=(x-1)²

与

y轴的交点坐标为(

)A.(1,0)

B.(-1,0)C.(0,-1)

D.(0,1)B.D.A.1-3

关于二次函数y=8(x+

1-4

二次函数y=-2(x-5)²1)²,下列说法正确的是

的图象开口向

,对(

)称轴是直线

,顶点A.当

x=1

时

，y

有最小值0

坐标是

;当xB.当

x=1

时

，y

有最大值0

时，y

的值随x

值的增C.当x=-1时，y

有最小值0

大而减小.D.

当x=-1

时

，y

有最大值01-5

已知点A(x₁,y₁),B(x₂,y₂)

在抛物线

y=(x-2)²上，如果

x₁<x₂<

2,

那

么y₁

y₂

.(

填“>”“<”或

“=”)将y=2x²的图象向右平移1到

的y=2(x-1)²

图象；将y=2x²的图象向左平移1到

的y=2(x+1)²

图象

.

知识点二

二次函数y=a(x-h)²与

y=ax²

的图象间的关系

难点单位，就得单位，就得yy=2(x+1)²

y=2x²当h>0时，向右

平移h个单位

7y=ax²

-

y=a(x-h)²当h<0

时，向左

平移h|个单位归纳小结知识点睛平移前后抛物线表达式的二次项系数不变，二

次函数y=ax²与

y=a(x-h)²的图象的开口方向与开口大小

相同，最值相同.例2

[百色中考]将抛物线向右平移2个单位长度，则平移后所得抛物线的表达式为(D)举一反三训练2-1将抛物线

y=3x²平移得到抛物线

y=3(x+2)²,

则

这个平移过程正确的是

(

)A.向左平移2个单位长度B.向右平移2个单位长度C.向上平移2个单位长度D.向下平移2个单位长度的表达式是(

)A.y=3x²+3B.y=3(x-3)²C.y=3x²-3D.y=3(x+3)²2-2

[成都双流区模拟]将抛物线y=3x²向右平移3个单

位长度，所得到的抛物线向左平移3个单位长度后得到的抛物线的表达式为2-3

将抛物线

知识点三

二次函数y=

a(x-h)²

+k的图象与性质

重点由二次函数y=2x²的图象，你能得到二次函

的图象吗?你是怎样得到的?与同伴进行交流.想一想二次函数y=a(x-h)²+k

与y=ax²有

什么关系?都可以通过y=ax²的图象平移得到

.y=2x²y=2x²-103归纳小结h<0,

将抛物线y=ax²向左平移，h>0,

将抛物线y=ax²向右平移；k>0,

将抛物线y=ax²向上平移；

k<0,

将抛物线y=ax²向下平移，可概括为：左加右减，上加下减.y=a(x-h)²+k

y=a(x-h)²+ka>0a<0开口方向向上向下对称轴直线x=h顶点坐标(h,k)最值当x=h时，y最小值=k当x=h时，最大值=k增减性当x<h时，y随x的增大而减小；x>h时，

y随x

的增大而增大当x>h时，y随x的增大

而减小；x<h时，

y随x

的增大而增大归纳小结例3对于抛物线

,下列结论：①抛物线的开口向下；②对称轴为直线

x=2;③

顶点坐

标为(2,6);④当x>2时

，y

的值随

x

值的增大而减小.其中正确的有(D)A.1个

B.2个

C.3

个

D.4个a<0开口向下①正确对称轴为直线x=h对称轴为直线x=2②正确h=2,k=6顶点坐标为(h,k)顶点坐标为(2,6)③正确若a<0,当x>h时，

y的值随x值的增大而减小当x>2时，y的值随x值的增大而减小④正确知识点睛

由二次函数的顶点式y=a(x-h)²+h推断它的

图象和性质：(1)由

a的正负性判断抛物线的开口方向；(2)由h

的值确定抛物线的对称轴

x=h

和顶点的横坐标；(3)由k

的值确定顶点的纵坐标和函数的最值，从而得到抛

物线的顶点坐标(h,k);(4)

由

a

的正负性和h

的值共同判断

函数的增减性.

举一反三训练3-

1二次函数

y=(x+2)²-1

的图象大致为(

)A.B.

D.

3-2[绍兴中考]关于二次函数y=2(x-4)²+6

的最大值

或最小值，下列说法正确

的是(

)A.有最大值4B.有最小值4C.有最大值6D.有最小值63-3

[甘孜州中考改编]如图，二次函数y

=a(x+1)²+h的图象与

x轴

交

于A(-3,0),B

两点，下列说A.a<0B.

图象的对称轴为直线x=-1C.图象的顶点位于第二象限D.

当

x<0

时

，y

的值随

x

值法错误的是(

)

的增大而增大3-4抛物线y=3(x+1)²-2

的开口向

,对称轴为

直线x=

,顶点坐标

为

3-5

[亳州利辛县模拟]如果抛物线y=(x-m)²+

m+1

的对

称轴是直线x=1,

那么它的

顶点坐标为

例4

[哈尔滨中考改编]将抛物线

y=2x²向

上

平

移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，所得到的

抛物线的表达式为(B)A.y=2(x+2)²+3

0思路分析

y=2x²

3

度

y=2x²+32

度y=2(x-2)²+3长移位平单右个向长移位平单上个向B.y=2(x-2)²+3C.y=2(x-2)²-3D.y=2(x+2)²-3二次函数y

=a(x-h)²+

h

与

y=ax²的图象间的关系

难点四方法总结

由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以

求平移后的抛物线的表达式通常采用下列三种方法：

一是求

出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出

表达式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出表达式；三

是根据平移规律“上加下减，纵变横不变；左加右减，横变纵

不变”求出表达式.

举一反三训练4-1[绥化中考]将抛物线

y=2(x-3)²+2向左平移3个

单位长度，再向下平移

2个单位长度，得到的抛物

线的表达式是(

)A.y=2(x-6)²B.y=2(x-6)²+4

C.y=2x²D.y=2x²+4由抛物线y=x²先向

(填“左”或“右”)平移

1个单位长度，再向

(填“上”或“下”)平移

3个单位长度得到.4-2

抛物线

y=(x+1)²-3

可4-3

[山西中考改编]在平面直角坐标系中，抛物线的函

数表达式为y=3(x-2)²+1,若将x

轴向上平移2个单位长度，将

y轴向左平

移3个单位长度，则该抛

物线在新的平面直角坐标

系中

的

函

数

表

达

式

为4-4

[宿迁宿豫区期末]将顶点在原点的二次函数的图象

先向左平移1个单位长

度，再向下平移2个单位

长度，如果所得新抛物线

经过点(0,-3),那么新抛

物

线

的

表

达

式

为2的图象的一部分，该图象在y

轴右侧的部分与x

轴的交点坐标是

(1,0)

·与x轴的另

一

个交点的坐标

为

(

1

,

0

)抛物线与x

轴的两交点关于

对称轴对称

.顶点隐含对

称

轴

位

置

.对称轴为直线

x=-1与x轴的

一个交点

的坐标为(

-

3,0)提升训练如图是二次函数y=a(x+1)²+四思路分析例5技巧点拨(1)抛物线与x

轴的两个交点到对称轴的距离相等，设抛物线与

x

轴的两个交

点的横坐标分别为

x₁,x₂,

对称轴为直线

x=h,则(2)根据抛物线的对称性，可将对称轴两侧的

点转化到同侧，再利用二次函数的增减性比较

大小

.(x-m)²-1,

当x<3时

，y的值随x值的增大而减小，则m的取值范围是(

)A.m=3

B.m>3思路1:C.m≥3

D.m≤3

确定对称轴：直线x=m★☆☆[一题多解]对于二次函数

y=在对称轴的左侧，y的值随x值的增大而减小当x<3时

，y的值随x