第二章 第二章 直线和圆的方程（章末小结）【人教A版选择性必修第一册课件】

章末小结第二章《直线和圆的方程》标准方程一般方程点与圆的位置关系直线与圆的位置关系圆与圆的位置关系方程形式圆位置关系平行相交

垂直点到直线的距离两条直线的位置关系点与直线的位置关系点斜式斜截式两点式截距式一般式知识网络直线斜率与倾斜角方程形式肖线①定义：当直线l与x轴相交时，以x轴作为基准，x轴正向与直线向上的方向

之间所成的角α叫做直线l

的倾斜角。②范围：

0°≤a<180°当直线l与x轴平行或重合时，规定其倾斜角α=0°③方向相同的直线，倾斜角相同知识梳理—

—1.直线的倾斜角和斜率知识梳理—

—1.直线的倾斜角和斜率a的范围α=0°0°<α<90°α=90°90°<α<180°k的范围k=0k>0k不存在k<0与x轴平行或重合

与x轴垂直a

为锐角时，a

越大，斜率越大，k由0变化到+0∞0;a

为钝角时

，a

越大，斜率越大，k由

-

变化到0;把一条直线的倾斜角α的正切值tan

a叫做这条直线的斜

率，常用k表示.k=tana

(a≠90°)所有的直线都有倾斜角；但不是所有直线都有斜率。类型斜率存在斜率不存在条件a₁=a₂=90°对应关系l₁//L₂

→k₁=k₂两条直线斜率都不存在图示对应关系l₁

的斜率不存在，

l₂

的斜率为0

=l₁

⊥l₂图示知识梳理——1.直线的倾斜角和斜率知识梳理—

—1.直线的倾斜角和斜率若直线过两点P(x₁,y₁),P₂(x₂,y₂),

且,则

或

若直线的方向向量坐标为x,y),贝则

直线l

的方向向量可为1,k),k为斜率名称几何条件方程局限性点斜式过点(xo,yo),斜率为ky—yo=k(x—xo)不含垂直于x轴的直线斜截式斜率为k,纵截距为by=kx+b不含垂直于x轴的直线两点式过两点(xi,y1),(x₂

,y2)(x₁

≠x2,y₁

≠y2)y—y1二x—x1y2—y1X2—X1不包括垂直于坐标轴的直线截距式在x轴、y轴上的截距分别为a,b(a,b≠0)不包括垂直于坐标轴和过原点的直线一般式—

Ax+By+C=0(A,B不全为0)知识梳理——2.直线的方程名称斜截式y=kx+b一

般式Ax+By+C=0相交k₁

≠k₂时，记垂直

或kik2=-1时，记平行k₁=

k₂且

b₁

≠

b₂时，记知识梳理——3.直线的位置关系与直线Ax+By+C=0平行的直线方程可设为Ax+By+m=0(m≠C),与直线Ax+By+C=0垂直的直线方程可设为Bx—Ay+m=0.方程组的解唯一解无数个解无解直线l₁和l₂

交点个数1个无数个0个直线l₁和l₂

的位置关系相交重合平行知识梳理——4.两直线的交点解方程组得唯一的x,y的值；则交点坐标为(x,y).(2)交点个数与直线位置关系：l₁:A₁x+B₁y+C₁=0M(x,y)xl₂:A₂x+B₂y+C₂=0(1)求交点坐标：联立两直线方程(1)点关于点的对称：中点公式(2)点关于直线的对称：AA'⊥l,AA

'的中点在l上[注]点(a,b)关于直线y=x的对称点为(b,a)(3)线关于点的对称：斜率相等，求(1)型对称点知识梳理——5.点与直线的对称问题光线的反射问题是直线部分常考的题型之一，此类问题可借

助光学性质：入射角等于反射

角，或使用对称思想(一般找对

称点)解决.m(4)线关于线的对称：求交点P,求(2)型对称点P(3)两条平行线间的距离：两条平行线Ax+By+C₁=0与A

间的距离(1)两点间的距离：平面上的两点A(x₁,y₁),B(x₂

,y2)

间的距离

d=|AB|=√(x₁—x₂)²+(y₁—y₂)²

.(2)点到直线的距离：点P(x₁,y₁)到直线l:Ax+By+C=0

的距离知识梳理——6.距离公式表示圆心

半径为

的圆.x²与y²

系数相同且不为0

.①D²+E²-4F>0

时，方程表示以(

为圆心，以

为半径的圆②D²+E²-4F=0

时，方程表示点(

③D²+E²-4F<0

时，方程无实数解不表示任何图形

知识梳理——7.圆的方程1.圆的标准方程：(x-a)²+(y-b)²=r²表示圆心为a,b),半径为r的圆.圆心在原点时，方程为x²+y²=r²2.圆的一般方程：x²+y²+Dx+Ey+F=0

(其中D²+E²-4F>0).3.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，且平分弦所对的两条弧。4.求弦长：①两点距离：联立直线与圆的方程求两交点A,B

的坐标知识梳理——8.圆的弦长1.弦

：连接圆上任意两点的线段。①直径是圆的最长弦；②圆心在弦的中垂线上.2.弦心距：

圆心到弦所在直线的距离；②勾股/垂径定理：弦

长

(d为弦心距)弦长AB=√(x₁—x₂)²+(y₁-y₂)²[注]①当两圆方程中二次项系数相同时，才能作差求解，否则应先化同系数.②两圆相

切时，(*)表示过切点且垂直于连心线的切线方程；③两圆外离或内含时，(*)表示垂直于连心线的直线方程；6.求两圆公共弦长：法1:联立两圆方程求交点，求两点距离法2:求公共弦所在直线方程+垂径定理

|ABI=2√r²-d²知识梳理——9.圆的弦长5.求两圆公共弦所在直线方程：法1:联立两圆方程求交点，由两点求直线方程法2:两圆方程作差(D₂-D₁)x+(E₂-E₁)y+(F₂-F₁)=0①圆心到切线的距离等于半径(d=r);②圆心与切点的连线垂直于切线(斜率积为-1);③过圆外一点且与圆相切的直线有2条，切线长相等.

和两个圆都相切的直线叫做这两个圆的公切线。外公切线：

两圆在公切线的同旁。内公切线：

两圆在公切线的两侧。位置关系图形公切线条数外离外切3相交变2内切b1内含)0知识梳理—

—10.圆的切线圆的切线的性质本质：√(x₀-a)²+(y。-b)²_r点M在圆上：|MA=r⇔(x₀-a)²+(yo-b)²<r²⇔x

。²+y

。²+Dx₀+Ey

。+F=0点M

在圆内：MAkr⇔(x₀-a)²+(yo-b)²=r²⇔x₀²+y²+Dx₀+Ey+F<0点M

在圆外：|MA>r⇔(x₀-a)²+(yo-b)²>r²⇔x₀²+y

。²+Dx₀+Ey₀+F>0知识梳理—

—11.1点与圆的位置关系点M(x₀,yo)

与圆的位置关系：代数法几何法直

线

与

圆

的

位

置

关

系相交相切相离图示直线与圆的交点个数2个1个0个几何法：圆心到直线的距离d<rd=rd>r代数法：联立直线与圆的方程

，消元得px²+qx+t=0的解的个数(△的正负)△>0△=0△<0知识梳理—

—11.2直线与圆的位置关系圆(x-a)²+(y-b)²=r

²(r>0)

与直线Ax+By+C=0位置关系的判断圆与圆的位置

关系外离外切相交内切内含图示两圆交点个数0个1个2个1个0个几何法：圆心距d与R±r的关系I0₁O₂

>R+rI0₁O₂|=R+r|R-rk|O₁O₂KR+rIO₁O₂=|R-r0≤10₁O₂K|R-r|代数法：联立

两圆方程，消

元所得方程解的个数(△的正负)△<0△=0△>0△=0△<0当4=0或4<0时，

不

能

确

定

两

圆

的

位

置

关

系知识梳理—

—11.3圆与圆的位置关系圆O₁

:(x-a)²+(y-b)²=R²与圆O₂

:(x-a₂²+(y-b₂)²=r²位置关系的判断

λ≠-1时，方程x²+y²+Dx+E₁y+F₁+2(x²+y²+D₂x+E₂y+F₂)=0

表示过

圆C₁:x²+y²+D₁x+E₁y+F₁=0和圆C₂:x²+y²+D₂x+E₂y+F₂=0交点的圆系方程(但不

包括圆C₂

).Vλ∈R,方程x²+y²+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0

表示过圆x²+y²+Dx+E₁y+F₁=0

和直线Ax+By+C=0交点的圆系方程知识梳理—

—12.直线系、圆系方程2(A₂x+B₂y+C₂)=0

表示过直线交点的直线束方程，但不包括直线l₂

.当λ(λ∈R)变化时，方程A₁x+B₁y+C₁+l:A₁x+B₁y+C₁=0和L₂:A₂x+B₂y+C₂=0若斜率存在，且相等，且两直线有公共点三点

共线若斜率不存在，且两直线有公共点方法归纳——1.三点共线问题从三点中任取两点，求其斜率用斜率公式解决三点共线问题的方法求两直线的交点的方法：设两条直线的方程是l₁:A₁x+B₁y+C₁=0,l₂:A₂x+B₂y+C₂=0,两条直线的交点坐标就是方程组

的解.若方程组有唯一解，则两条直线相交，此解就是交点坐标；

若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；

反之，亦成立.方法归纳——2.两直线交点问题方法归纳——3.求知顶点坐标的三角形面积求|AB|求直线AB的方程求点C到直线AB的距离h

求三角形面积求直线AB的方程求lB

的与x轴交点D

求|CDI三角形面积作差求

|AB|,AC|,IBCI余弦定理求cosA求sinA求三角形面积(1)直线的斜截式方程是由点斜式推导而来的.直线与y轴的交点(0,b)的纵坐标b称为此直线的纵截距，值得强调的是，

截距是坐标，它可能是正数，也可能是负数，还可能是0,不能将其理解为“距离”而恒为非负数.(2)直线与x轴的交点(a,O)的横坐标a称为此直线的横截距.并不是每条直线都有横

截距和纵截距，如直线x=1没有纵截距，直线y=2没有横截距.(3)横纵截距相等的直线：倾斜角为135°或过原点横纵截距互为相反数的直线：倾斜角为45°或过原点方法归纳——4.“截距”的理解(4)在解决与截距有关或直线与坐标轴围成的三角形面积、周长等问题时，经常使

用截距式；若设直线在x轴、y轴上的截距分别为a,b,则直线与坐标轴所围成的三

角形面积为,

周

长C=la|+|b|+

√a²+b².(5)注意分类讨论：当直线与坐标轴平行时，有一个截距不存在；当直线通过原点时，两个截距均为零.在这两种情况下都不能用截距式.方法归纳——4.“截距”的理解审

明确参数个数，x项、y项的系数

题

及常数项(1)A,B

不同时为0依

(

2

)

斜

率

一A(B≠0)据

(3)在x轴上的截距(4)在y轴上的截距-求

值

结

解方程或不等式求值，检验是否

检验

论

符合题意，得出参数的值(范围)方法归纳——5.直线的含参一般式方程已知含参的直线的一般式方程求参数的值或取值范围的步骤：列式子明条件(即连接PC并延长，M为PC

与圆的交点，N

为PC延长线与圆的交点).(2)已知圆C

及圆内一定点P,

则过点P

的最长弦为直径，最短弦为与该直径垂直的弦AB.与圆相关的最值结论

：(1)已知圆C

及圆外一定点P,

设圆C

的半径为r,则圆上点到点P

距离的最小值为IPM|=|PC|一r,最大值为|PM=|PC|+r方法归纳——5.与圆相关的最值问题与圆相关的最值结论：(3)如图，已知圆C

和圆外的一条直线l,则圆上点到直线距离的最小值为IPM|=d—r,距离的最大值为IPN=d+r

(过圆心C

作l

的垂线，垂足为