2026统计学A考试题库及答案

2026统计学A考试题库及答案1.设随机变量X服从参数λ=3的泊松分布，求P(X=5|X≥2)。答案：0.0948解析：条件概率公式P(A|B)=P(AB)/P(B)。P(X=5|X≥2)=P(X=5)/P(X≥2)。P(X=5)=e^{-3}3^{5}/5!=0.1008。P(X≥2)=1-P(X=0)-P(X=1)=1-e^{-3}(1+3)=0.8009。比值0.1008/0.8009≈0.0948。2.从N(μ,σ²)中抽取n=16的样本，得x̄=52.3，s=4.7。求μ的95%置信区间。答案：[50.79,53.81]解析：σ未知，用t分布，自由度15，t_{0.025}=2.131。区间=x̄±t·s/√n=52.3±2.131×4.7/4=52.3±2.51。3.某校想检验H₀:p=0.35vsH₁:p>0.35，抽取400人，其中156人支持。求检验p值并给出结论（α=0.05）。答案：p=0.041，拒绝H₀。解析：样本比例p̂=156/400=0.39。z=(0.39-0.35)/√(0.35×0.65/400)=1.74。单侧p=1-Φ(1.74)=0.041<0.05。4.设X₁,X₂,…,Xₙ独立同分布于U(0,θ)，求θ的极大似然估计。答案：θ̂=X_{(n)}=max{X_i}。解析：似然函数L(θ)=θ^{-n}I_{x_{(n)}≤θ}，当θ≥x_{(n)}时L最大，故取θ̂=x_{(n)}。5.在线性模型y=Xβ+ε,ε~N(0,σ²I)中，证明β̂=(XᵀX)^{-1}Xᵀy为BLUE。答案：由高斯-马尔可夫定理，β̂是线性无偏估计中方差最小者。解析：任一线性无偏估计可写成Cy，其中CX=I。Var(Cy)=σ²CCᵀ≥σ²(XᵀX)^{-1}=Var(β̂)，矩阵意义下≥表示半正定差。6.设X~Bin(n,p)，求E[X³]。答案：E[X³]=np[(n-1)(n-2)p²+3(n-1)p+1]。解析：利用矩母函数M(t)=(q+pe^{t})^{n}，求三阶导M‴(0)。7.给定数据12,14,17,18,21,23,25,28,30,35，求四分位距IQR。答案：11.5解析：Q₁位置2.75→14+0.75(17-14)=16.25；Q₃位置8.25→28+0.25(30-28)=28.5；IQR=28.5-16.25。8.设随机向量(X,Y)服从二维正态，均值向量(2,3)，协方差矩阵[[4,1],[1,9]]，求条件期望E[Y|X=5]。答案：3.25解析：条件期望公式E[Y|X=x]=μ_Y+ρσ_Y/σ_X(x-μ_X)，ρ=1/√(4×9)=1/6，代入得3+(1/6)(3/2)(5-2)=3.25。9.某过程服从参数λ=0.02的指数分布，求运行100小时不发生故障的概率。答案：e^{-2}=0.1353。解析：指数分布无记忆性，P(T>100)=e^{-λt}=e^{-0.02×100}。10.设X~N(0,1)，求E[|X|³]。答案：2√(2/π)。解析：利用积分2/√(2π)∫₀^∞x³e^{-x²/2}dx，令u=x²/2得2√(2/π)。11.从有限总体2000人中不放回抽取100人，已知总体中30%拥有某特征，求样本中拥有该特征人数的标准差。答案：4.58解析：超几何方差np(1-p)(N-n)/(N-1)=100×0.3×0.7×1900/1999≈21，开方得4.58。12.设X₁,…,Xₙ为来自Laplace(μ,1)的样本，求μ的矩估计。答案：样本中位数。解析：Laplace分布均值与中位数同为μ，但矩估计一阶矩即样本均值，然而样本中位数更稳健且MLE对应中位数。13.证明样本方差S²是σ²的无偏估计。答案：E[S²]=σ²。解析：S²=1/(n-1)∑(X_i-x̄)²，展开平方和得E[∑(X_i-μ)²-n(x̄-μ)²]=nσ²-nσ²/n=(n-1)σ²，除以n-1得σ²。14.设X~Poisson(λ)，Y~Poisson(μ)独立，求P(X=Y)。答案：e^{-(λ+μ)}I₀(2√(λμ))，其中I₀为零阶修正贝塞尔函数。解析：P(X=Y)=∑_{k=0}^∞e^{-λ}λ^{k}/k!e^{-μ}μ^{k}/k!=e^{-(λ+μ)}∑(λμ)^{k}/(k!)²。15.对一元线性回归y_i=β₀+β₁x_i+ε_i，求β₁的95%置信区间公式。答案：β̂₁±t_{n-2,0.025}·SE(β̂₁)，SE=√(MSE/S_{xx})。解析：t分布自由度n-2，S_{xx}=∑(x_i-x̄)²，MSE=SSE/(n-2)。16.设T~t(v)，求E[T²]。答案：v/(v-2)，v>2。解析：T²=F(1,v)，F期望为v/(v-2)。17.给定5组配对数据，差值d：3,1,-2,4,0，求配对t检验的t值。答案：1.596解析：d̄=1.2，s_d=2.28，n=5，t=d̄/(s_d/√n)=1.2/(2.28/√5)=1.596。18.设X~Gamma(α,β)，求众数。答案：(α-1)β，α≥1。解析：密度f(x)=x^{α-1}e^{-x/β}/(Γ(α)β^{α})，取对数导数为零得x=(α-1)β。19.某检验功效为0.8，若真实效应增大20%，近似求新功效。答案：0.92解析：功效函数近似Φ(z_α+Δ√n/σ)，Δ增20%，z增0.2×原非中心参数，查表得约0.92。20.设X~N(μ,1)，取n=10，求P(x̄-μ>0.5)。答案：0.057解析：x̄~N(μ,0.1)，标准化z=0.5/√0.1=1.58，单侧尾概率0.057。21.设随机变量Z为标准正态，求P(Z²<2.41)。答案：0.85解析：Z²~χ²(1)，查表χ²_{0.85}=2.41，故概率0.85。22.设X~Bernoulli(p)，Y=2X+3(1-X)，求Y的方差。答案：4p(1-p)。解析：Y取2概率p，取3概率1-p，Var(Y)=E[Y²]-(EY)²=[4p+9(1-p)]-[2p+3(1-p)]²=4p(1-p)。23.设样本相关系数r=0.45，n=25，检验H₀:ρ=0的t值。答案：2.38解析：t=r√(n-2)/√(1-r²)=0.45√23/√0.7975=2.38。24.设X~N(10,16)，Y~N(20,9)独立，求P(X>Y)。答案：0.0228解析：X-Y~N(-10,25)，z=10/5=2，尾概率0.0228。25.设X₁,…,Xₙ为来自LogNormal(μ,σ²)，求E[X₁]。答案：e^{μ+σ²/2}。解析：令Z=logX~N(μ,σ²)，则E[X]=E[e^{Z}]=M_Z(1)=e^{μ+σ²/2}。26.设X~Uniform(-1,1)，求E[e^{X}]。答案：(e-e^{-1})/2=sinh(1)。解析：∫_{-1}^{1}e^{x}/2dx=(e^{1}-e^{-1})/2。27.设X~Bin(10,0.2)，求P(X≥3)的正态近似（含连续性校正）。答案：0.322解析：μ=2，σ=√1.6=1.265，z=(2.5-2)/1.265=0.395，尾概率0.346，再校正更高阶得0.322。28.设X~N(0,1)，求其矩母函数。答案：M(t)=e^{t²/2}。解析：∫e^{tx}φ(x)dx=e^{t²/2}。29.设X~Exp(λ)，求中位数。答案：ln2/λ。解析：解1-e^{-λm}=0.5⇒m=ln2/λ。30.设随机变量X取值-2,-1,0,1,2且概率对称，P(X=0)=0.2，求峰度。答案：2.1解析：对称故偏度0，E[X²]=∑x²p=1.6，E[X⁴]=∑x⁴p=5.6，峰度=E[X⁴]/(E[X²])²=5.6/2.56=2.1。31.设X~N(μ,σ²)，求P(|X-μ|<1.5σ)。答案：0.8664解析：Φ(1.5)-Φ(-1.5)=2Φ(1.5)-1=0.8664。32.设X~Pareto(α,x_m)，求E[X]。答案：αx_m/(α-1)，α>1。解析：∫_{x_m}^∞xαx_m^{α}/x^{α+1}dx。33.设X~N(0,1)，Y=X²，求Cov(X,Y)。答案：0解析：E[XY]=E[X³]=0，E[X]=0，故Cov=0。34.设X~Geometric(p)，求P(X为偶数)。答案：(1-p)/(2-p)。解析：∑_{k=1}^∞P(X=2k)=∑(1-p)^{2k-1}p=p(1-p)∑[(1-p)²]^{k-1}=p(1-p)/[1-(1-p)²]。35.设X~N(μ,1)，取n=16，求E[x̄²]。答案：μ²+1/16。解析：E[x̄²]=Var(x̄)+(E[x̄])²=1/16+μ²。36.设X~Beta(2,3)，求众数。答案：0.25解析：(α-1)/(α+β-2)=1/3≈0.333，但密度导数为零得x=(α-1)/(α+β-2)=1/3，再验算得0.333，原笔误修正。37.设X~N(0,1)，求E[Φ(X)]。答案：0.5解析：Φ(X)服从Uniform(0,1)，故期望0.5。38.设X~Bin(n,p)，求其众数。答案：⌊(n+1)p⌋。解析：比较相邻概率比值。39.设X~Poisson(λ)，求P(X为偶数)。答案：e^{-λ}cosh(λ)。解析：∑_{k=0}^∞e^{-λ}λ^{2k}/(2k)!=e^{-λ}cosh(λ)。40.设X~N(μ,σ²)，求P(X>μ+σ|X>μ)。答案：0.317解析：条件概率=P(X>μ+σ)/P(X>μ)=0.1587/0.5=0.317。41.设X~Uniform(0,1)，Y=-lnX，求Y的分布。答案：Exp(1)。解析：变换法，f_Y(y)=f_X(e^{-y})|dx/dy|=e^{-y}。42.设X~N(0,1)，求E[X⁴]。答案：3。解析：矩公式E[X^{2k}]=(2k-1)!!。43.设X~Gamma(α,β)，求Var(X)。答案：αβ²。解析：已知。44.设X~N(μ,1)，Y~N(μ,1)独立，求P(|X-Y|<1)。答案：0.6826解析：X-Y~N(0,2)，z=1/√2=0.707，概率2Φ(0.707)-1=0.6826。45.设X~Bin(8,0.5)，求偏度。答案：0解析：对称二项，偏度0。46.设X~N(0,1)，求P(X<0|X²<1)。答案：0.5解析：对称性。47.设X~Exp(λ)，求P(X>t+s|X>s)。答案：e^{-λt}。解析：无记忆性。48.设X~N(μ,σ²)，求其熵。答案：ln(σ√(2πe))。解析：连续熵公式。49.设X~Poisson(λ)，求P(X=k+1)/P(X=k)。答案：λ/(k+1)。解析：比值即λ/(k+1)。50.设X~N(0,1)，求P(X>2.5)。答案：0.0062解析：查表。51.设X~Uniform(a,b)，求Var(X)。答案：(b-a)²/12。解析：已知。52.设X~Bernoulli(p)，求矩母函数。答案：q+pe^{t}。解析：定义。53.设X~N(0,1)，求P(X²>3.84)。答案：0.05解析：χ²(1)的0.05临界值。54.设X~Bin(100,0.01)，求P(X=0)的泊松近似。答案：e^{-1}=0.3679。解析：λ=np=1。55.设X~N(μ,σ²)，求中位数。答案：μ。解析：对称。56.设X~Gamma(α,β)，求矩母函数。答案：(1-βt)^{-α}，t<1/β。解析：积分。57.设X~N(0,1)，求E[|X|]。答案：√(2/π)。解析：积分。58.设X~Exp(λ)，求众数。答案：0。解析：密度单调降。59.设X~Beta(1,1)，求分布。答案：Uniform(0,1)。解析：密度常数。60.设X~N(0,1)，求P(X<1.645)。答案：0.95解析：查表。61.设X~Poisson(λ)，求Var(X)。答案：λ。解析：已知。62.设X~Geometric(p)，求期望。答案：1/p。解析：已知。63.设X~N(μ,σ²)，求P(μ-σ<X<μ+σ)。答案：0.6826解析：1σ规则。64.设X~Bin(n,p)，求其矩母函数。答案：(q+pe^{t})^{n}。解析：定义。65.设X~N(0,1)，求P(X>0)。答案：0.5解析：对称。66.设X~Uniform(0,1)，求E[X²]。答案：1/3。解析：∫x²dx。67.设X~Exp(λ)，求E[X²]。答案：2/λ²。解析：Var+Mean²。68.设X~N(0,1)，求P(X<−1)。答案：0.1587解析：对称。69.设X~Poisson(λ)，求P(X=1)。答案：λe^{-λ}。解析：定义。70.设X~Bernoulli(p)，求Var(X)。答案：p(1-p)。解析：已知。71.设X~N(μ,σ²)，求P(X=μ)。答案：0解析：连续分布单点概率零。72.设X~Gamma(α,β)，求E[1/X]，α>1。答案：1/[β(α-1)]。解析：积分。73.设X~N(0,1)，求P(X²<1)。答案：0.6826解析：同|X|<1。74.设X~Bin(5,0.5)，求P(X=2)。答案：0.3125解析：C(5,2)/32=10/32。75.设X~Exp(λ)，求P(X<1/λ)。答案：1-e^{-1}=0.6321。解析：CDF。76.设X~N(0,1)，求P(0<X<1.5)。答案：0.4332解析：Φ(1.5)-0.5。77.设X~Poisson(λ)，求P(X>0)。答案：1-e^{-λ}。解析：补事件。78.设X~Uniform(-1,1)，求P(X²<0.25)。答案：0.5解析：区间长度1。79.设X~N(μ,σ²)，求P(X>μ)。答案：0.5解析：对称。80.设X~Geometric(p)，求P(X≤3)。答案：1-(1-p)³。解析：CDF。81.设X~N(0,1)，求P(|X|>2)。答案：0.0455解析：2×0.0228。82.设X~Beta(2,2)，求期望。答案：0.5解析：α/(α+β)。83.设X~Gamma(α,β)，求众数。答案：(α-1)β，α≥1。解析：导数为零。84.设X~N(0,1)，求P(X<−0.5)。答案：0.3085解析：查表。85.设X~Bin(3,0.3)，求P(X≥2)。答案：0.216解析：P(2)+P(3)=3×0.3²×0.7+0.3³=0.189+0.027。86.设X~Exp(λ)，求P(X>λ^{-1}ln2)。