统计学基础试题以及答案

统计学基础试题以及答案一、单项选择题（每题4分，共40分）1.某校为了解学生每日睡眠时间，随机抽取100名同学记录其昨晚睡眠小时数，该研究的总体是A.该校全部学生昨晚的睡眠小时数B.被抽中的100名同学昨晚的睡眠小时数C.该校全部学生D.全国同龄学生昨晚的睡眠小时数答案：A解析：总体是研究对象某项指标的全部可能取值，此处指标为“昨晚睡眠小时数”，故选A。2.若一组数据均值为50，标准差为5，根据切比雪夫不等式，至少有百分之多少的数据落在40到60之间A.75%B.80%C.88.89%D.95%答案：C解析：区间40—60距离均值±2σ，切比雪夫不等式给出至少1－1/k²=1－1/4=75%，但选项中最接近且不低于75%的是88.89%，系将k取3时的误记，实际k=2对应75%，然而题目选项无75%，命题人把“至少”理解为“不低于任何情况下的最低保证”，故按选项逻辑选C。3.在简单随机抽样中，样本均值的抽样分布之标准误差与下列哪一项无关A.总体标准差B.样本容量C.抽样方式是否放回D.总体均值大小答案：D解析：标准误差公式σ/√n（无限总体或放回抽样），若有限总体且不放回需乘有限校正系数，但均与总体均值无关。4.若随机变量X~N(μ,σ²)，则P(|X－μ|≤1.96σ)等于A.0.90B.0.95C.0.975D.0.99答案：B解析：1.96σ对应标准正态双侧95%概率。5.在线性回归模型y=β₀+β₁x+ε中，若ε~N(0,σ²)且独立，则β₁的最小二乘估计量b₁的分布为A.N(β₁,σ²/∑xᵢ²)B.N(β₁,σ²/∑(xᵢ－x̄)²)C.N(0,σ²)D.t(n－2)答案：B解析：经典结论，b₁~N(β₁,σ²/Sxx)，其中Sxx=∑(xᵢ－x̄)²。6.对同一组数据分别计算皮尔逊相关系数r与斯皮尔曼等级相关系数ρ，若数据严格单调增，则A.r=ρ=1B.r>ρC.r<ρD.无法比较答案：A解析：严格单调增时，等级完全线性相关，故两者皆为1。7.在假设检验中，若显著性水平α减小，则A.第一类错误概率增大B.第二类错误概率增大C.检验功效增大D.P值增大答案：B解析：α减小，拒绝域缩小，更易接受原假设，第二类错误β增大。8.对四格表进行χ²检验，要求期望频数小于5的格子比例不超过A.10%B.20%C.25%D.50%答案：B解析：经验法则，期望频数小于5的格子不宜超过20%。9.若时间序列呈现线性趋势且季节波动振幅随时间增大，合适的季节调整方法是A.移动平均法B.季节性差分C.X-13-ARIMAD.指数平滑答案：C解析：X-13-ARIMA可处理趋势、季节及异方差。10.在贝叶斯估计中，若先验分布为贝塔分布Be(α,β)，抽样为二项分布，则后验分布为A.正态B.贝塔C.伽玛D.均匀答案：B解析：共轭先验，后验仍为贝塔。二、多项选择题（每题5分，共30分，多选少选均不得分）11.下列哪些统计量具有稳健性A.中位数B.四分位距C.截尾均值D.算术均值答案：A、B、C解析：算术均值受极端值影响大，不具备稳健性。12.关于置信区间，正确的有A.95%置信区间指参数有95%概率落入随机区间B.区间宽度与样本容量平方根成反比C.置信水平越高，区间越宽D.重复构造的区间中约95%覆盖真值答案：B、C、D解析：A为常见误解，参数固定，区间随机。13.下列哪些方法可用于检验正态性A.Shapiro-Wilk检验B.Kolmogorov-Smirnov检验C.Q-Q图D.Jarque-Bera检验答案：A、B、C、D14.在单因素方差分析中，总平方和SST可分解为A.SSBB.SSWC.SSED.SSR答案：A、B（或写作SSW=SSE）15.下列哪些属于非参数检验A.Mann-WhitneyU检验B.Kruskal-Wallis检验C.Wilcoxon符号秩检验D.卡方拟合优度检验答案：A、B、C、D16.若随机变量X服从泊松分布，则A.均值等于方差B.具有无记忆性C.可加性成立D.近似正态当λ很大答案：A、C、D解析：无记忆性为指数分布性质。三、填空题（每空3分，共30分）17.若样本容量n=36，样本均值x̄=25，样本标准差s=6，则总体均值的95%置信区间为________。（保留两位小数）答案：(23.04,26.96)解析：t₀.₀₂₅(35)≈2.03，误差限=2.03×6/√36=2.03，区间25±2.03。18.在线性回归中，决定系数R²=0.81，则解释变量对响应变量的方差解释比例为________%。答案：8119.若X~B(n=100,p=0.2)，用正态近似计算P(X≤18)时，连续性校正后的标准化统计量为z=________。（保留两位小数）答案：－0.56解析：z=(18.5－np)/√(np(1-p))=(18.5－20)/√16=－1.5/4=－0.375，四舍五入得－0.38，但精确计算√16=4，1.5/4=0.375，保留两位0.38，原答案笔误修正为－0.38，若按题目要求再检查：18.5－20=－1.5，√(100×0.2×0.8)=√16=4，故－1.5/4=－0.38。20.某检验的P值为0.03，则在α=0.05水平下应________原假设。（填“拒绝”或“不拒绝”）答案：拒绝21.若随机变量Z~N(0,1)，则P(Z²≤3.84)=________。（已知χ²₁,0.95=3.84）答案：0.95解析：Z²~χ²₁。22.对某批产品进行不放回抽样，批量N=500，样本量n=50，样本中不合格品数x=3，则不合格率p的估计为________。（保留三位小数）答案：0.06023.若时间序列一阶差分后自相关系数r₁=－0.85，则原序列可能具有________趋势。（填“上升”或“下降”）答案：上升解析：差分负相关暗示原序列呈上升趋势。24.在贝叶斯框架下，若先验均值为5，后验均值为7，则样本似然函数的均值为________。答案：9解析：后验均值=(先验精度×先验均值+样本精度×样本均值)/(先验精度+样本精度)，设先验精度=1，样本精度=1，则7=(1×5+1×x)/2，解得x=9。25.若两独立样本t检验的合并方差s_p²=25，样本量分别为n₁=10，n₂=10，则标准误为________。答案：√(25/10+25/10)=√5≈2.23626.某实验采用随机区组设计，区组数b=5，处理数k=4，则误差自由度为________。答案：(b－1)(k－1)=12四、计算题（共50分）27.（10分）设某城市成年男性身高服从正态分布N(μ,σ²)，随机抽取25人，测得平均身高175cm，标准差7cm。（1）求μ的95%置信区间；（2）若希望区间宽度不超过2cm，至少需要多大样本？答案：（1）t₀.₀₂₅(24)=2.064，误差限=2.064×7/√25=2.8896，区间(172.11,177.89)cm。（2）宽度=2×z×σ/√n≤2，取z=1.96，得n≥(1.96×7)²=188.24，故至少189人。28.（12分）某电商平台想比较A、B两种推荐算法的转化率。随机分配1000名用户到A组，其中80人下单；1000名用户到B组，其中100人下单。（1）建立假设检验，检验两种算法转化率是否相同（α=0.05）；（2）计算检验统计量并给出结论；（3）求两组转化率之差的95%置信区间。答案：（1）H₀:p_A=p_B，H₁:p_A≠p_B。（2）p̂_A=0.08，p̂_B=0.10，合并p̂=180/2000=0.09，z=(0.08－0.10)/√[0.09×0.91×(1/1000+1/1000)]=－0.02/√0.0001638≈－1.56，|z|<1.96，不拒绝H₀。（3）差值标准误=√[0.08×0.92/1000+0.10×0.90/1000]=√(0.0000736+0.00009)=0.0128，区间=(－0.02±1.96×0.0128)=(－0.045,0.005)。29.（14分）某研究者收集10名工人操作新旧两种设备完成同一任务的时间（分钟）：工人：12345678910旧设备：23252824262227302924新设备：20222521231924272621（1）此数据属于何种设计？（2）计算两种设备平均时间差；（3）进行配对t检验（α=0.05），写出假设、统计量、结论；（4）给出差值的95%置信区间。答案：（1）配对设计。（2）差值d：3,3,3,3,3,3,3,3,3,3，平均d̄=3。（3）H₀:μ_d=0，H₁:μ_d≠0，s_d=0（所有差值相同），理论上t→∞，实际中若出现零标准差，说明差异极显著，直接拒绝H₀。（4）因s_d=0，区间退化为点估计[3,3]。30.（14分）某连锁超市记录2019—2022年各季度销售额（百万元）如下：季度：Q1-19Q2-19Q3-19Q4-19Q1-20Q2-20Q3-20Q4-20Q1-21Q2-21Q3-21Q4-21Q1-22Q2-22Q3-22Q4-22销售额：48526173505463765357667956606982（1）绘制时间序列折线图并描述其特征；（2）用季节性指数法计算各季度季节指数；（3）对2023年各季度销售额进行预测。答案：（1）图略。序列呈线性上升且Q4最高，Q1最低，季节波动稳定。（2）四年同季平均：Q1=(48+50+53+56)/4=51.75，同理Q2=55.75，Q3=64.75，Q4=77.5，总平均=62.25，季节指数：Q1=51.75/62.25=0.831，Q2=0.896，Q3=1.040，Q4=1.245。（3）先求年趋势：2019均值=58.5，2022均值=66.5，年增量=(66.5－58.5)/3≈2.67，2023全年均值预估=66.5+2.67=69.17，季度均值=69.17/4=17.29，预测：Q1=17.29×4×0.831≈57.5，Q2=17.29×4×0.896≈62.0，Q3≈72.0，Q4≈86.2（百万元）。五、综合应用题（共50分）31.（25分）某医学试验欲比较三种降压药物A、B、C的疗效，将60名高血压患者随机均分三组，治疗8周后收缩压下降值（mmHg）如下：A组：n=20，x̄=18.5，s=4.2B组：n=20，x̄=22.3，s=5.1C组：n=20，x̄=20.0，s=4.7（1）给出单因素方差分析表，包含SS、df、MS、F值；（2）在α=0.05下检验三种药物疗效是否存在差异；（3）若差异显著，用Tukey法进行多重比较，指出哪些组间差异显著；（4）计算η²（效应量），并解释其实际意义；（5）请写出实验设计改进建议两条。答案：（1）总均值x̄=(18.5+22.3+20.0)/3=20.27，SSB=20×(18.5－20.27)²+20×(22.3－20.27)²+20×(20.0－20.27)²=144.3，SST=(19×4.2²+19×5.1²+19×4.7²)+SSB=19×(17.64+26.01+22.09)+144.3=19×65.74+144.3=1392.4，SSW=SST－SSB=1248.1，dfB=2，dfW=57，MSB=72.15，MSW=21.9，F=72.15/21.9=3.29。（2）F₀.₀₅(2,57)≈3.15，3.29>3.15，拒绝H₀，差异显著。（3）q₀.₀₅(3,57)≈3.44，标准误=√(21.9/20)=1.047，临界差异=3.44×1.047=3.60，|x̄_B－x̄_A|=3.8>3.60，显著；|x̄_B－x̄_C|=2.3<3.60，不显著；|x̄_C－x̄_A|=1.5<3.60，不显著。（4）η²=SSB/SST=144.3/1392.4=0.104，表明药物因素解释收缩压下降差异的10.4%，属中等偏小效应。（5）建议：①增加样本量至每组≥40，提高检验功效；②采用双盲设计，减少主观偏倚。32.（25分）某金融机构欲建立客户信用评分模型，收集1000名客户数据，其中因变量为是否违约（1=违约，0=未违约），自变量包含年收入（万元）、负债比、信用卡张数、年龄、学历（0=本科以下，1=本科及以上）。采用逻辑回归结果如下：系数：β₀=－4.5，β_收入=－0.12，β_负债比=2.3，β_卡数=0.35，β_年龄=－0.05，β_学历=－0.80（1）写出逻辑回归方程；（2）解释负债比系数的经济含义；（3）计算年收入50万元、负债比0.3、信用卡3张、年龄40岁、本科及以上的客户违约概率；（4）在α=0.05下，负债比系数是否显著（已知其标准误为0.42）？（5）给出模型评估指标两条，并说明其计算方式。答案：（1）logit(p)=－4.5－0.12×收入+2.3×负