统计学原理试题与答案

统计学原理试题与答案1.单项选择题（每题2分，共20分）1.1某城市连续7天的日最高气温（℃）为：28，30，29，31，27，28，29。若定义“气温异常日”为当日气温与7天中位数之差的绝对值大于1.5℃，则异常日有几天？A.1  B.2  C.3  D.4答案：B解析：先排序得27，28，28，29，29，30，31，中位数为29。计算各日偏离：|28-29|=1，|30-29|=1，|29-29|=0，|31-29|=2，|27-29|=2，|28-29|=1，|29-29|=0。绝对值大于1.5的有31℃与27℃两天，故选B。1.2设随机变量X服从参数为λ的泊松分布，若P(X=2)=3P(X=1)，则λ等于A.2  B.3  C.4  D.6答案：D解析：泊松概率质量函数P(X=k)=e^{-λ}λ^{k}/k!。由题意e^{-λ}λ^{2}/2!=3·e^{-λ}λ^{1}/1!，化简得λ/2=3，故λ=6。1.3对正态总体N(μ,σ²)进行n次独立观测，若σ已知，μ的1-α置信区间长度L与样本量n的关系为A.L∝1/√n  B.L∝1/n  C.L∝√n  D.L与n无关答案：A解析：区间长度L=2·z_{α/2}·σ/√n，显然L与1/√n成正比。1.4在单因素方差分析中，若因素水平数k=4，每组样本量n_i=5，则误差自由度为A.16  B.19  C.20  D.15答案：A解析：总自由度N-1=20-1=19，因素自由度k-1=3，误差自由度=19-3=16。1.5设X₁,X₂,…,X_n为来自U(0,θ)的样本，θ>0未知，则θ的极大似然估计为A.样本均值  B.样本中位数  C.样本最大值  D.样本最小值答案：C解析：均匀分布的似然函数L(θ)=θ^{-n}I_{[X_{(n)},∞)}(θ)，在θ≥X_{(n)}时取最大值，故MLE为样本最大值X_{(n)}。1.6若随机变量X的矩母函数M_X(t)=(1-βt)^{-α}，t<1/β，则X的方差为A.αβ  B.αβ²  C.α²β  D.α²β²答案：B解析：对M_X(t)求二阶导得E[X²]=α(α+1)β²，E[X]=αβ，故Var(X)=αβ²。1.7对同一总体进行两次独立抽样，样本量分别为n₁=100，n₂=400，样本均值分别为x̄₁=50，x̄₂=48，若合并样本方差S²=36，则合并均值为A.48.2  B.48.4  C.48.6  D.48.8答案：B解析：合并均值=(100·50+400·48)/500=48.4。1.8在线性回归模型Y=Xβ+ε，ε~N(0,σ²I)中，若设计矩阵X列满秩，则β的最小二乘估计的协方差矩阵为A.σ²(X'X)^{-1}  B.σ²X'X  C.σ²I  D.σ²X答案：A解析：经典结论Cov(β̂)=σ²(X'X)^{-1}。1.9设X~Bin(n,p)，Y~Bin(m,p)且独立，则X+Y的分布为A.Bin(n+m,p)  B.Bin(nm,p)  C.Poisson(np+mp)  D.N(np+mp,np(1-p))答案：A解析：二项分布的可加性。1.10若随机变量X的密度f(x)=2x，0<x<1，则P(X≤0.5|X≤0.8)等于A.0.25  B.0.3125  C.0.5  D.0.64答案：B解析：P(X≤0.5|X≤0.8)=P(X≤0.5)/P(X≤0.8)=∫₀^{0.5}2xdx/∫₀^{0.8}2xdx=0.25/0.64=0.3125。2.多项选择题（每题3分，共15分，多选少选均不得分）2.1下列关于t分布的叙述正确的有A.当自由度→∞时趋近标准正态  B.对称于0  C.方差总大于1  D.可用于小样本均值推断答案：ABD解析：t分布方差=df/(df-2)，df>2时存在且大于1，但df≤2时方差不存在，故C不严谨。2.2对于简单随机样本，样本均值x̄作为总体均值μ的估计量，具有A.无偏性  B.相合性  C.有效性  D.充分性答案：AB解析：x̄是μ的UMVUE，故无偏、相合、有效；但对一般分布未必充分，故D不选。2.3在线性回归中，若出现多重共线性，则可能出现A.系数估计方差膨胀  B.t检验容易不显著  C.R²急剧下降  D.预测值仍无偏答案：ABD解析：共线性使信息矩阵接近奇异，方差膨胀，t值变小，但R²未必下降，预测无偏性保持。2.4下列属于非参数检验方法的有A.Wilcoxon符号秩检验  B.Kruskal-Wallis检验  C.Mann-WhitneyU检验  D.Durbin-Watson检验答案：ABC解析：Durbin-Watson用于自相关，属回归诊断，非非参检验。2.5若X~N(0,1)，Y~N(0,1)且独立，则A.X+Y~N(0,2)  B.X-Y~N(0,2)  C.X/Y服从Cauchy分布  D.X²+Y²~Exp(1/2)答案：ABC解析：X²+Y²~χ²(2)，即Exp(1/2)，故D也正确；但题目要求“下列”，系统默认选ABC即可。3.填空题（每空2分，共20分）3.1设X的密度f(x)=θx^{θ-1}，0<x<1，θ>0，则θ的矩估计量为________。答案：θ̂=(1-X̄)/X̄解析：E[X]=∫₀¹xθx^{θ-1}dx=θ/(θ+1)，令样本均值等于期望解得θ̂。3.2若随机变量X的偏度为0，峰度为3，则X________服从正态分布。（填“一定”或“不一定”）答案：不一定解析：存在非正态分布亦满足偏度0峰度3，如t分布df>4时峰度3。3.3对同一总体进行有放回抽样，样本量n=100，样本比例p̂=0.18，则比例的标准误为________。答案：0.0384解析：√[0.18·0.82/100]=0.0384。3.4在假设检验中，若显著性水平α=0.05，当p值=0.04时，应________原假设。（填“拒绝”或“不拒绝”）答案：拒绝3.5若X~Poisson(λ)，则P(X为偶数)=________。答案：e^{-λ}cosh(λ)解析：∑_{k=0}^{∞}e^{-λ}λ^{2k}/(2k)!=e^{-λ}(e^{λ}+e^{-λ})/2。3.6设X₁,…,X_n来自N(μ,σ²)，则样本方差S²是σ²的________估计。（填“无偏”或“有偏”）答案：无偏3.7若Cov(X,Y)=0，则X与Y________独立。（填“一定”或“不一定”）答案：不一定解析：仅说明线性无关，可存在非线性关系。3.8对同一正态总体，若样本量由n增至4n，则置信区间长度将变为原来的________倍。答案：1/2解析：长度∝1/√n。3.9设X~Exp(λ)，则其中位数为________。答案：ln2/λ解析：解F(x)=1-e^{-λx}=0.5。3.10若随机变量X的密度f(x)=1/π(1+x²)，则E[X]________存在。（填“不”或“”）答案：不解析：柯西分布期望不存在。4.计算与证明题（共45分）4.1（8分）设X₁,…,X_n独立同分布，密度f(x)=θ^{-1}e^{-x/θ}，x>0，θ>0未知。(1)求θ的极大似然估计θ̂；(2)证明θ̂是θ的充分统计量；(3)计算E[θ̂]并判断其无偏性。答案与解析：(1)似然函数L(θ)=θ^{-n}exp(-∑X_i/θ)，对数似然l(θ)=-nlnθ-∑X_i/θ，令导数为0得θ̂=X̄。(2)由因子分解定理，联合密度可写为g(T|θ)h(x)，其中T=∑X_i，故T充分，从而θ̂=T/n亦充分。(3)E[θ̂]=E[X̄]=θ，故无偏。4.2（10分）某生产线包装量服从N(μ,4²)。质检部门希望检验H₀:μ=500vsH₁:μ≠500。现抽取n=25，得x̄=497.2。(1)计算检验统计量；(2)在α=0.05下给出决策；(3)求μ的95%置信区间；(4)若真实μ=498，求第二类错误概率β。答案与解析：(1)z=(497.2-500)/(4/√25)=-3.5。(2)临界值±1.96，|z|>1.96，拒绝H₀。(3)497.2±1.96·4/5→(495.63,498.77)。(4)真实均值498，临界域|x̄-500|>1.568。标准化：β=P(498.43<x̄<501.57|μ=498)=P(0.11<Z<4.39)=Φ(4.39)-Φ(0.11)=0.456。4.3（9分）设(X,Y)的联合密度f(x,y)=2，0<x<y<1。(1)求边缘密度f_X(x)；(2)求条件密度f_{Y|X}(y|x)；(3)计算E[Y|X=x]；(4)判断X与Y是否独立。答案与解析：(1)f_X(x)=∫_x^12dy=2(1-x)，0<x<1。(2)f_{Y|X}(y|x)=f(x,y)/f_X(x)=1/(1-x)，x<y<1。(3)E[Y|X=x]=∫_x^1y/(1-x)dy=(1+x)/2。(4)f(x,y)≠f_X(x)f_Y(y)，故不独立。4.4（8分）为比较三种肥料对小麦产量的影响，随机区组设计，得如下数据（kg/亩）：肥料A：48,50,47  肥料B：52,54,51  肥料C：46,45,44(1)写出方差分析表（含SS、df、MS、F）；(2)在α=0.05下检验肥料效应是否显著；(3)若显著，用Tukey法进行多重比较，求临界差异HSD。答案与解析：总均值=48.67，SSA=3[(48.67-48.67)²+…]=3[(48.67-48.33)²+(52.33-48.67)²+(45-48.67)²]=3(0.11+13.44+13.44)=80.97，dfA=2，MSA=40.48；SSE=(48-48.33)²+…=8.67，dfE=6，MSE=1.445；F=MSA/MSE=28.0>F_{0.05}(2,6)=5.14，显著。q_{0.05}(3,6)=4.34，HSD=4.34·√(1.445/3)=3.01。均值差：A-B=-4，|A-B|>3.01，A与B差异显著；A-C=3.33，不显著；B-C=7.33，显著。4.5（10分）设Y_i=β₀+β₁x_i+ε_i，ε_i~N(0,σ²)独立，i=1,…,n。已知∑x_i=0，∑x_i²=n。(1)求β̂₁的分布；(2)证明Cov(β̂₀,β̂₁)=0；(3)若n=20，σ²=9，x_i取值为-0.9,-0.8,…,0.9，求β̂₁的标准误；(4)构造β₁的95%置信区间。答案与解析：(1)β̂₁=∑x_iY_i/∑x_i²=∑x_iY_i/n~N(β₁,σ²/n)。(2)Cov(β̂₀,β̂₁)=Cov(Ȳ,∑x_iY_i/n)=σ²∑x_i/n²=0。(3)∑x_i²=n=20，故SE(β̂₁)=√(9/20)=0.67。(4)t_{0.025}(18)=2.101，区间：β̂₁±2.101·0.67。5.综合应用题（共40分）5.1（12分）某电商平台记录用户日点击次数X，历史数据表明X~Poisson(λ)。为提升活跃度，运营团队推出新界面，随机抽取30天，得∑X_i=810，∑X_i²=22500。(1)计算样本均值与样本方差；(2)在α=0.05下检验“新界面使λ提高”，即H₀:λ=25vsH₁:λ>25；(3)求λ的95%单侧置信下限；(4)若真实λ=28，求检验功效1-β。答案与解析：(1)x̄=810/30=27，s²=(22500-30·27²)/29=51.72。(2)大样本z=(27-25)/√(25/30)=2.19>1.645，拒绝H₀。(3)下限：27-1.645·√(27/30)=25.48。(4)真实λ=28，临界值25+1.645·√(25/30)=26.50，标准化：z=(26.50-28)/√(28/30)=-1.74，功效=Φ(1.74)=0.959。5.2（14分）某城市公交IC卡记录显示，乘客上下车时间间隔T（分钟）服从某右偏分布。随机抽取200趟，得平均间隔7.8min，标准差3.2min。(1)利用中心极限定理，求P(T̄<7.5)；(2)构建总体中位数m的95%置信区间（使用顺序统计量法）；(3)若认为T~Exp(λ)，用矩估计求λ̂，并计算P(T>10)；(4)在指数假设下，检验H₀:λ=0.15vsH₁:λ≠0.15，α=0.05。答案与解析：(1)CLT：T̄≈N(7.8,3.2²/200)，z=(7.5-7.8)/0.226=-1.33，P=Φ(-1.33)=0.091。(2)顺序统计量：k₁=200/2-1.