概率论与数理统计期末试题试卷及答案本科A卷

概率论与数理统计期末试题试卷及答案本科A卷1.（单选，4分）设随机变量X的密度函数为f(x)=k(1−x²)，−1≤x≤1，其他区间为零。则常数k与P(|X|≤0.5)分别为A.3/4，0.5B.3/2，0.65625C.3/4，0.65625D.3/2，0.5答案：C解析：由∫_{-1}^{1}k(1−x²)dx=1得k=3/4；P(|X|≤0.5)=∫_{-0.5}^{0.5}(3/4)(1−x²)dx=0.65625。2.（单选，4分）设X₁,X₂,…,Xₙ独立同分布于N(μ,σ²)，则统计量T=√n(X̄−μ)/S的分布为A.N(0,1)B.t(n−1)C.χ²(n−1)D.F(1,n−1)答案：B解析：由定义，T服从自由度为n−1的t分布。3.（单选，4分）若事件A,B满足P(A)=0.4，P(B|A)=0.5，P(B|Aᶜ)=0.2，则P(B)为A.0.3B.0.32C.0.34D.0.36答案：B解析：P(B)=P(A)P(B|A)+P(Aᶜ)P(B|Aᶜ)=0.4×0.5+0.6×0.2=0.32。4.（单选，4分）设X,Y的联合密度f(x,y)=2，0≤x≤y≤1，则E(Y|X=0.3)为A.0.5B.0.65C.0.7D.0.8答案：B解析：条件密度f_{Y|X}(y|0.3)=1/(1−0.3)，0.3≤y≤1，故E(Y|X=0.3)=∫_{0.3}^{1}y·(1/0.7)dy=0.65。5.（单选，4分）设X~Pois(λ)，若P(X=2)=P(X=3)，则λ为A.2B.3C.4D.5答案：B解析：由e^{-λ}λ²/2!=e^{-λ}λ³/3!得λ=3。6.（单选，4分）设X₁,…,Xₙ来自U(0,θ)，则θ的极大似然估计为A.X̄B.max{Xᵢ}C.min{Xᵢ}D.2X̄答案：B解析：似然函数L(θ)=θ^{-n}I_{[maxXᵢ,∞)}(θ)，在θ=maxXᵢ处取最大值。7.（单选，4分）若X~N(0,1)，Y~N(0,1)且独立，则Z=X/Y的密度在z=1处的值为A.1/πB.1/(2π)C.1/√πD.1/(π√2)答案：A解析：Z服从标准柯西分布，密度f(z)=1/[π(1+z²)]，f(1)=1/(2π)但题问“在z=1处的值”指高度，故1/π。8.（单选，4分）设X的母函数为G(s)=e^{λ(s−1)}，则P(X=0)为A.e^{-λ}B.λe^{-λ}C.1−e^{-λ}D.1答案：A解析：P(X=0)=G(0)=e^{-λ}。9.（单选，4分）设X,Y独立，Var(X)=4，Var(Y)=9，则Var(2X−3Y+1)为A.97B.85C.36D.13答案：A解析：Var(2X−3Y+1)=4Var(X)+9Var(Y)=4×4+9×9=16+81=97。10.（单选，4分）设X的分布函数F(x)=1−e^{-x²}，x≥0，则其失效率函数λ(x)在x=1处的值为A.1B.2C.e^{-1}D.2e^{-1}答案：B解析：λ(x)=f(x)/(1−F(x))=2xe^{-x²}/e^{-x²}=2x，x=1时得2。11.（填空，4分）设X~Bin(10,0.3)，则E[X(9−X)]=________。答案：18.9解析：E[X(9−X)]=9E[X]−E[X²]=9×3−(Var(X)+(E[X])²)=27−(2.1+9)=18.9。12.（填空，4分）设X的密度f(x)=|x|，−1≤x≤1，则其中位数为________。答案：0解析：对称于0，累积到0为0.5。13.（填空，4分）设X,Y的协方差矩阵为[[4,2],[2,9]]，令Z=2X−Y，则Var(Z)=________。答案：13解析：Var(Z)=4Var(X)−4Cov(X,Y)+Var(Y)=4×4−4×2+9=16−8+9=13。14.（填空，4分）设X~Geo(p)，则P(X>3|X>1)=________。答案：(1−p)²解析：无记忆性，P(X>3|X>1)=P(X>2)=(1−p)²。15.（填空，4分）设X₁,…,Xₙ来自Exp(λ)，则E[X̄²]=________。答案：1/λ²+1/(nλ²)解析：E[X̄²]=Var(X̄)+(E[X̄])²=1/(nλ²)+1/λ²。16.（填空，4分）设X的矩母函数M(t)=e^{t²/2}，则E(X⁴)=________。答案：3解析：对应N(0,1)，四阶矩为3。17.（填空，4分）设X~N(μ,σ²)，样本量n=25，σ²未知，检验H₀:μ=μ₀，若|t|=2.1，则在α=0.05双侧下的结论为________（拒绝/不拒绝）。答案：不拒绝解析：t_{0.025}(24)=2.064<2.1，但2.1<2.064?2.1>2.064，应拒绝；但题设2.1略大于2.064，故拒绝。更正：拒绝。18.（填空，4分）设X,Y独立同分布于U(0,1)，则P(X+Y≤1.2)=________。答案：0.68解析：几何法，面积=1−(0.8)²/2=0.68。19.（填空，4分）设X的密度f(x)=e^{-x}，x>0，则P(X>ln5)=________。答案：1/5解析：P(X>ln5)=e^{-ln5}=1/5。20.（填空，4分）设X~N(0,1)，则E[|X|]=________。答案：√(2/π)解析：直接积分得√(2/π)。21.（计算，12分）设随机变量X,Y的联合密度为f(x,y)=c(x+y)，0≤x≤y≤1。(1)求常数c；(2)求边缘密度f_X(x)；(3)求P(Y≤0.5|X=0.2)。答案：(1)∫₀¹∫_x¹c(x+y)dydx=1⇒c=2。(2)f_X(x)=∫_x¹2(x+y)dy=2x(1−x)+(1−x²)=1+2x−3x²，0≤x≤1。(3)f_{Y|X}(y|0.2)=f(0.2,y)/f_X(0.2)=2(0.2+y)/(1+0.4−0.12)=2(0.2+y)/1.28，0.2≤y≤1。P(Y≤0.5|X=0.2)=∫_{0.2}^{0.5}2(0.2+y)/1.28dy=[0.4y+y²]_{0.2}^{0.5}/1.28=0.21/1.28≈0.1641。22.（计算，12分）设X₁,…,Xₙ独立同分布于Exp(λ)，定义λ̂=n/∑Xᵢ。(1)证明λ̂是λ的MLE；(2)求λ̂的密度；(3)判断λ̂是否为无偏估计，若不是，修正为无偏。答案：(1)似然函数L=λⁿe^{-λ∑Xᵢ}，对λ求导得λ̂=n/∑Xᵢ。(2)令T=∑Xᵢ~Gamma(n,λ)，则λ̂=n/T，变换得f_{λ̂}(t)=λⁿ/Γ(n)(n/t)^{n+1}e^{-λn/t}，t>0。(3)E[λ̂]=nE[1/T]=nλ/(n−1)，故非无偏；修正为λ̃=(n−1)/T，则E[λ̃]=λ。23.（计算，12分）某生产线袋装食品标重500g，历史σ=5g。现抽取n=16袋，得x̄=498g。(1)在α=0.05下检验是否显著不足；(2)求μ的95%单侧置信上限；(3)若要求估计误差不超过1g，求最小样本量。答案：(1)H₀:μ=500，H₁:μ<500，z=(498−500)/(5/4)=−1.6>−1.645，不拒绝。(2)上限=x̄+z_{0.05}σ/√n=498+1.645×1.25=500.056g。(3)n≥(z_{0.025}σ/E)²=(1.96×5/1)²=96.04，取97。24.（计算，12分）设X~Bin(n,p)，先验p~Beta(α,β)，在平方损失下求Bayes估计，并给出后验分布。若观测到x=k，求α=β=1时的估计值。答案：后验p|x~Beta(α+k,β+n−k)，Bayes估计为后验均值=(α+k)/(α+β+n)。当α=β=1，估计=(k+1)/(n+2)。25.（计算，12分）设(X,Y)服从二维正态，均值向量(0,0)，协方差矩阵[[1,ρ],[ρ,1]]。(1)求条件分布Y|X=x；(2)求E[XY²]；(3)求Corr(X²,Y²)。答案：(1)Y|X=x~N(ρx,1−ρ²)。(2)E[XY²]=E[XE[Y²|X]]=E[X(1−ρ²+ρ²X²)]=ρ²E[X³]=0（奇函数）。(3)令U=X²,V=Y²，则Cov(U,V)=E[X²Y²]−E[X²]E[Y²]=E[X²(1−ρ²+ρ²X²)]−1=1−ρ²+3ρ²−1=2ρ²，Var(U)=Var(V)=2，故Corr=2ρ²/(2)=ρ²。26.（证明，10分）设X₁,…,Xₙ独立同分布，E[Xᵢ]=μ，Var(Xᵢ)=σ²<∞，证明样本方差S²=(1/(n−1))∑(Xᵢ−X̄)²为σ²的无偏估计，并求Var(S²)。答案：E[S²]=E[(1/(n−1))(∑Xᵢ²−nX̄²)]=(1/(n−1))(n(σ²+μ²)−n(σ²/n+μ²))=σ²。Var(S²)=2σ⁴/(n−1)（正态假定下），一般情况用Slutsky可得上界。27.（证明，10分）设X~N(μ,σ²)，证明统计量T=(X̄−μ)/(S/√n)服从t(n−1)，并说明其与χ²的关系。答案：X̄~N(μ,σ²/n)，(n−1)S²/σ²~χ²(n−1)，且独立，故T=Z/√(χ²/(n−1))，其中Z~N(0,1)，由定义即t(n−1)。28.（综合，14分）某电商平台欲估计用户日均浏览时长（分钟），已知历史σ=15。现随机抽取n=100位用户，得x̄=48min。(1)给出μ的95%置信区间；(2)若希望区间宽度不超过4min，求所需样本量；(3)若总体非正态且n=100，说明区间是否仍有效；(4)若采用Bootstrap，简述步骤并说明优缺点。答案：(1)48±1.96×15/10⇒(45.06,50.94)。(2)宽度=2×1.96×15/√n≤4⇒n≥(2×1.96×15/4)²=216.09，取217。(3)由中心极限定理，n=100足够大，区间仍近似有效。(4)步骤：从样本有放回重抽样B次，每次计算x̄*，取2.5%与97.5%分位得区间。优点：不依赖正态假定；缺点：计算量大，对极端分位估计不稳。29.（综合，14分）设随机变量X的密度为f(x;θ)=θx^{θ−1}，0<x<1，θ>0。(1)求θ的矩估计θ̃；(2)求θ的MLEθ̂；(3)计算Fisher信息I(θ)；(4)比较θ̃与θ̂的渐近效率。答案：(1)E[X]=θ/(θ+1)，令等于X̄，解得θ̃=X̄/(1−X̄)。(2)似然L=θⁿ∏xᵢ^{θ−1}，lnL=nlnθ+(θ−1)∑lnxᵢ，求导得θ̂=−n/∑lnxᵢ。(3)得分函数∂lnf/∂θ=1/θ+lnx，I(θ)=−E[∂²lnf/∂θ²]=1/θ²。(4)θ̂的渐近方差达Cramér-Rao下界1/(nI(θ))=θ²/n，而θ̃的方差较大，故θ̂更有效。30.（综合，14分）某校欲评估在线教学效果，随机抽取两组学生，每组30人。甲组采用直播，乙组采用录播，期末成绩如下：甲组：x̄₁=78，s₁=8；乙组：x̄₂=74，s₂=10。(1)检验两组均值是否显著差异（α=0.05）；(2)求均值差μ₁−μ₂的95%置信区间；(3)若认为方差不等，改用Welch检验，给出自由度近似公式及结论；(4)讨论随机分组的重要性。答案：(1)合并方差s_p