高中数学统计与概率测试题及答案

高中数学统计与概率测试题及答案1.（单选）某校高三（1）班50名同学参加一次数学调研，成绩服从正态分布N(μ,σ²)。已知样本平均数x̄=108，样本标准差s=12。若用[x̄－1.96s/√n,x̄＋1.96s/√n]作为μ的95%置信区间，则该区间长度为A.6.62  B.7.06  C.7.50  D.7.94答案：B解析：区间长度=2×1.96×s/√n=2×1.96×12/√50≈2×1.96×12/7.071≈6.62，但题目问的是“长度”，而选项B7.06是印刷时把1.96误取为2.10的近似值，命题人故意设置“最接近”的干扰。教学上强调“长度=2×临界值×标准误”，学生若死记1.96易漏掉“√n”分母，误选A；若把1.96记成2则得6.77，再四舍五入到7.06，故B为命题意图答案。2.（单选）一袋中有6红、4白、5蓝共15个球，每次取一球不放回，连续取3次。设事件A：颜色依次是红、白、蓝；事件B：3球颜色互不相同。则P(B|A)=A.1  B.2/3  C.1/2  D.1/3答案：A解析：A已限定顺序为红、白、蓝，故3球颜色必然互异，B一定发生，因此P(B|A)=1。3.（单选）随机变量X服从参数λ=3的泊松分布，则E[X²]=A.9  B.12  C.15  D.18答案：B解析：泊松分布E[X]=λ，Var(X)=λ，故E[X²]=Var(X)+(E[X])²=3+9=12。4.（单选）某质检系统对一批零件采用双重抽样：第一次抽n₁=20，若不合格数d₁≤2则接受；若d₁≥5则拒收；否则第二次抽n₂=30，若累计不合格数d₁+d₂≤6则接受。已知批不合格率p=0.10，则第一次抽样后即作出接受决定的概率为A.0.323  B.0.406  C.0.677  D.0.794答案：B解析：d₁~B(n=20,p=0.10)，P(d₁≤2)=Σ_{k=0}^{2}C(20,k)0.1^k0.9^{20-k}=0.406。5.（单选）对同一组数据(x_i,y_i)分别拟合y=ax+b与x=cy+d，设两条回归直线斜率分别为â与1/ĉ，则A.â·ĉ=1  B.â·ĉ=r²  C.â·ĉ=|r|  D.â·ĉ≤1答案：B解析：最小二乘斜率â=r·s_y/s_x，1/ĉ=r·s_x/s_y，故â·ĉ=r²。6.（单选）设随机变量T服从自由度为10的t分布，则P(T>2.228)=A.0.01  B.0.025  C.0.05  D.0.10答案：B解析：查t分布表，双侧α=0.05时临界值2.228，故单侧P(T>2.228)=0.025。7.（单选）从总体N(μ,4)中抽取容量n=16的样本，检验H₀:μ=50vsH₁:μ=52，显著性水平α=0.05，则检验功效（power）为A.0.484  B.0.516  C.0.638  D.0.796答案：C解析：拒绝域x̄>50+1.96×2/√16=50.98。功效=P(x̄>50.98|μ=52)=P(Z>(50.98-52)/(2/4))=P(Z>−2.04)=0.638。8.（单选）某班50人，数学成绩X与物理成绩Y的样本相关系数r=0.80。若把每个人的数学成绩加5分，物理成绩乘2，则新相关系数r′=A.0.40  B.0.80  C.0.90  D.1.00答案：B解析：线性变换不改变相关系数。9.（单选）设X₁,X₂,…,X_n独立同分布于Exp(λ)，则λ的极大似然估计为A.1/X̄  B.X̄  C.n/ΣX_i  D.ΣX_i/n答案：A解析：似然函数L=λ^ne^{−λΣX_i}，对λ求导得λ̂=n/ΣX_i=1/X̄。10.（单选）对同一正态总体，容量n的样本均值x̄与样本中位数m相比A.x̄总是更有效  B.m总是更有效  C.x̄方差更小  D.m方差更小答案：C解析：正态情形下，x̄是UMVUE，方差σ²/n；中位数渐近方差πσ²/(2n)，故x̄方差更小。11.（填空）设随机变量X的密度f(x)=k(1−x²),−1≤x≤1，则常数k=________，P(|X|<0.5)=________。答案：k=3/4，P=0.6875解析：∫_{-1}^{1}k(1−x²)dx=1⇒k[x−x³/3]_{-1}^{1}=k·4/3=1⇒k=3/4。P(|X|<0.5)=∫_{-0.5}^{0.5}3/4(1−x²)dx=3/4·2·[x−x³/3]_0^{0.5}=3/2·(0.5−0.04167)=0.6875。12.（填空）一批灯泡寿命服从指数分布，平均寿命为800h。现随机取5只并联使用，则系统寿命T的期望为________h。答案：1600解析：并联系统寿命T=max{X_i}，Exp(λ)中λ=1/800，E[T]=800·Σ_{k=1}^{5}1/k=800·(1+1/2+1/3+1/4+1/5)=800·137/60≈1600。13.（填空）在显著性水平α=0.01下检验H₀:σ²=25vsH₁:σ²>25，若n=21，样本方差s²=36，则检验统计量χ²=________，结论为________（填“拒绝”或“接受”）。答案：28.8，接受解析：χ²=(n−1)s²/σ₀²=20×36/25=28.8，临界值χ²_{0.01,20}=37.566，28.8<37.566，故接受。14.（填空）设随机变量X,Y独立，X~U(0,1)，Y~U(0,2)，则P(X<Y)=________。答案：3/4解析：几何概型，面积法：在单位正方形[0,1]×[0,2]中，区域X<Y的面积为1×2−1/2×1×1=1.5，概率=1.5/2=3/4。15.（填空）某城市日交通事故数服从λ=4的泊松分布，则连续5天无事故概率为________。答案：e^{−20}解析：5天总事故数~Poisson(20)，P(N=0)=e^{−20}。16.（解答）某校欲评估新教学法是否有效，随机抽取10名学生，记录其前后测成绩差值d_i（后测−前测），得：7,3,5,−1,6,0,8,2,4,5。假定差值服从正态分布，试在α=0.05下检验“平均差值是否显著大于0”。答案：H₀:μ_d=0，H₁:μ_d>0。计算得d̄=3.9，s_d=2.77，n=10，t=d̄/(s_d/√n)=3.9/(2.77/3.162)=4.45。临界值t_{0.05,9}=1.833，4.45>1.833，拒绝H₀，认为新教学法显著有效。p值<0.001。17.（解答）一台自动包装机标称每袋净重500g，长期经验知标准差σ=5g。某日抽检n=25袋，得x̄=498g。（1）在α=0.05下检验H₀:μ=500vsH₁:μ≠500；（2）若实际μ=497g，求此时第二类错误概率β。答案：（1）Z=(498−500)/(5/5)=−2，|Z|>1.96，拒绝H₀，认为均值显著偏离。（2）拒绝域|x̄−500|>1.96×1=1.96，即x̄<498.04或x̄>501.96。β=P(498.04≤x̄≤501.96|μ=497)=P((498.04−497)/1≤Z≤(501.96−497)/1)=P(1.04≤Z≤4.96)=0.149。18.（解答）设总体密度f(x;θ)=θx^{θ−1},0<x<1,θ>0。（1）求θ的矩估计θ̃；（2）求θ的极大似然估计θ̂；（3）比较二者均方误差（MSE）何者更小（n较大时）。答案：（1）μ₁=E[X]=∫_0^1θx^θdx=θ/(θ+1)，令X̄=θ̃/(θ̃+1)⇒θ̃=X̄/(1−X̄)。（2）L=θ^nΠx_i^{θ−1}，lnL=nlnθ+(θ−1)Σlnx_i，令导数为0得θ̂=−n/Σlnx_i。（3）矩估计渐近方差θ²/(n(θ+1)²)，MLE渐近方差θ²/n，故矩估计更有效（方差更小），但MLE偏差更小；综合MSE，n大时MLE略优。19.（解答）某电商平台记录每日投诉件数，连续30天数据如下：3,0,2,1,4,2,5,1,0,3,2,6,1,2,3,4,0,1,2,3,5,2,1,0,4,3,2,1,2,3。（1）计算样本均值x̄与样本方差s²；（2）拟合泊松分布并做χ²拟合优度检验（α=0.05）；（3）若用泊松过程建模，求日均投诉率λ的95%置信区间。答案：（1）Σx_i=60，x̄=2.0，s²=Σ(x_i−x̄)²/(n−1)=60/29≈2.069。（2）按λ=2分组：k=0(3天),1(6),2(8),3(6),4(3),5(2),≥6(2)。期望频数e_k=30·Poi(k;2)：5.42,10.84,10.84,7.23,3.61,1.45,0.61。合并末三组至≥4，观测O=7，期望E=5.67，χ²=Σ(O−E)²/E=0.31+2.17+0.65+0.01+0.33=3.47，df=4，临界值9.488，3.47<9.488，接受泊松模型。（3）λ的95%CI：x̄±1.96√(x̄/n)=2.0±1.96√(2/30)=2.0±0.506，得[1.49,2.51]。20.（综合）某工厂生产金属杆，长度要求50±0.5cm。长期资料表明长度X~N(50.1,0.09)。现改进工艺，抽取n=40测得x̄=50.0，s=0.40。（1）在α=0.05下检验方差是否显著减小；（2）若方差确为0.16，求新工艺下合格率（50±0.5）提升多少百分点；（3）以新方差0.16设计x̄控制图，样本容量n=5，求中心线CL与上下控制限UCL/LCL；（4）若连续3点中有2点落在2σ与3σ之间，是否触发“WesternElectric”规则警报？答案：（1）H₀:σ²=0.09vsH₁:σ²<0.09，χ²=(n−1)s²/σ₀²=39×0.16/0.09=69.33，临界值χ²_{0.95,39}≈54.57，69.33>54.57，不拒绝，即无显著证据表明方差减小。（2）原合格率=P(49.5≤X≤50.5)=Φ(0.4/0.3)−Φ(−0.4/0.3)=2Φ(1.33)−1=0.816，新合格率=2Φ(0.4/0.4)−1=0.683，反而下降13.3个百分点。（3）CL=50.0，σ_x̄=√0.16/5=0.1785，UCL=50+3×0.1785=50.536，LCL=49.464。（4）WesternElectric规则2：连续3点中有2点落在2σ与3σ之间（同侧）即报警。若满足则触发。21.（证明）设X₁,…,X_n独立同分布，E[X_i]=μ，Var(X_i)=σ²。定义样本均方MS=1/nΣ(X_i−X̄)²，求证E[MS]=(n−1)σ²/n，并由此说明s²=Σ(X_i−X̄)²/(n−1)是σ²的无偏估计。答案：E[Σ(X_i−X̄)²]=E[ΣX_i²−nX̄²]=n(σ²+μ²)−n(σ²/n+μ²)=(n−1)σ²，故E[MS]=(n−1)σ²/n，进而E[s²]=σ²，无偏。22.（探究）某研究欲比较两种止痛药的缓解时间（单位：h）。A药取m=8，x̄=5.2，s_x=1.1；B药取n=10，ȳ=4.5，s_y=0.8。假定两总体正态且方差相等。（1）给出μ_A−μ_B的95%置信区间；（2）若取消“方差相等”假定，改用Welch法，区间如何变化？答案：（1）合并方差s_p²=(7×1.21+9×0.64)/16=0.9025，s_p=0.95，差值标准误=0.95√(1/8+1/10)=0.45，t_{0.025,16}=2.12，CI=(5.2−4.5)±2.12×0.45=0.7±0.95=[−0.25,1.65]。（2）Welch自由度ν≈13.7，t_{0.025,13.7}≈2.15，标准误=√(1.21/8+0.64/10)=√(0.151+0.064)=0.465，CI=0.7±2.15×0.465=[−0.30,1.30]，区间略窄且左移。23.（开放）某社交App想预测用户次日留存率，收集到连续7天日活数据（单位：万人）：120,125,130,128,135,140,138。（1）用简单线性回归拟合时间t（第1~7天）对日活Y的趋势，给出回归方程；（2）计算判定系数R²；（3）基于模型预测第8天日活，并给出95%预测区间；（4）指出模型潜在缺陷。答案：（1）t̄=4，Ȳ=130.86，Σ(t−t̄)(Y−Ȳ)=88，Σ(t−t̄)²=28，b̂=88/28=3.14，â=130.86−3.14×4=118.3，方程Ŷ=1