2024-2025学年广东广州天河区九年级(上)数学期末试题及答案

初中初中广东省广州市天河区2024-2025学年九年级上学期数学期末考试试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下列几何图形是国际通用的交通标志，其中是中心对称图形的是（

）A． B．C． D．2．彩票是公平公正的机会游戏，国家发行彩票的目的是筹集社会公益资金，促进社会公益事业发展．已知某种彩票的中奖概率为1%，则下列说法正确的是（

A．买1张这种彩票，不可能中奖 B．买200张这种彩票，可能有2张中奖C．买100张这种彩票，一定有1张中奖 D．若100人每人买1张这种彩票，一定会有一人中奖3．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，连结OC,OD，则∠COD=（）A．72° B．60° C．54° D．48°4．已知点Am,−2与点B3,n关于原点对称，则m+n的值为（A．5 B．4 C．−5 D．−15．下列关于二次函数y=x−22−3A．图象是一条开口向下的抛物线 B．顶点坐标是−2,−3C．函数图象与y轴交于正半轴 D．y有最大值，最大值为−36．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，点O为AB的中点，若以点O为圆心，5为半径作⊙OA．点C在⊙O外 B．点C在⊙O上 C．点C在⊙O内 D．无法判断7．设点−1,y1，2,y2，3,y3是抛物线y=−2x2+mA．y3>y2>y1 B．8．如图，某校团委准备在艺术节期间举办学生绘画展览，为美化画面，在长为30cm、宽为20cm的矩形画面四周镶上宽度相等的彩纸，并使美化后整个图形的面积恰好是原画面面积的2倍，若设彩纸的宽度为xcm，根据题意可列方程（

A．30+x20+x=600 C．30−2x20−2x=1200 9．如图，已知△ABC中，∠B=70°，BC=6，以BC为直径作半圆（圆心为点O），分别交AB，AC于点D，E．若DE=BD，则CE的长为（A．10π3 B．5π3 C．10．在同一平面直角坐标系中，画出直线y=ax+b与抛物线y=ax2+bxA． B．C． D．二、填空题11．设x1，x2是方程x2+5x=012．如图，把△ABC绕点A逆时针旋转75°得到△AB′C′．若∠BAC=35°，则13．某厂生产了1000只灯泡.为了解这1000只灯泡的使用寿命，从中随机抽取了50只灯泡进行检测，获得了它们的使用寿命（单位：小时），数据整理如下：使用寿命x<10001000≤x<16001600≤x<22002200≤x<2800x≥2800灯泡只数51012176根据以上数据，估计这1000只灯泡中使用寿命不小于2200小时的灯泡的数量为只．14．如图，AB是⊙O的直径，AC与⊙O相切，A为切点，连接BC交⊙O于点D．已知∠ACB=50°，则∠BAD的度数为．15．在认识圆锥主题活动课上，芳芳用半径9cm，圆心角120°的扇形纸板，做了一个圆锥形的生日帽，如图所示．在不考虑接缝的情况下，这个圆锥形生日帽的高是cm．16．在平面直角坐标系中，已知点A−1,3，B5,3，若C是坐标轴上的一点，且∠ACB=90°，则满足条件的点C的坐标为三、解答题17．解方程：x218．如图，在Rt△OAB中，∠OAB=90°，且点B的坐标为4,2，将△OAB绕点O逆时针旋转90°得到△O(1)画出△OA(2)求在旋转过程中，线段OB扫过的面积（结果保留π）．19．校体育节即将开幕，篮球、排球、拔河比赛将同时开展，三项比赛均需要多名志愿者协助，小聪和小明分别被随机分配到其中一项比赛担任志愿者．(1)求小聪被分配到篮球比赛当志愿者的概率．(2)请用画树状图或列表的方法，求出小聪和小明被分配到同一比赛当志愿者的概率．20．已知二次函数y=ax2+bx+3a≠0中的x．．．01234．．．y．．．30−1■3．．．(1)求这个二次函数的解析式；(2)直接写出当y<0时，x的取值范围．21．关于x的一元二次方程x2（1）求k的取值范围；（2）如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程m−1x2+x+m−3=0与方程x22．在一次数学活动课中，某数学小组探究求环形花坛（同心圆）面积的方法．现有以下工具（图1）：①卷尺：②直棒EF：③T型尺（CD所在的直线垂直平分线段AB）．【活动1】找出大圆的圆心．小天同学选择用T型尺找到大圆圆心，操作方法如图2所示：小河同学说：“类似小天的方法，我发现可以利用没有刻度的直尺和圆规找到任意一个圆的圆心．”【活动2】求环形花坛面积．如图3，小河说：“我只用一根直棒和一个卷尺就可以求出环形花坛的面积，具体做法是：将直棒与小圆相切，用卷尺量出此时直棒与大圆两交点M，N之间的距离，就可求出环形花坛的面积．”小天思考后，说：“如图4，如果直线与大圆两交点分别为M，N，与小圆两交点分别为P，Q，只要测出MN，PQ的长度，也可求出环形花坛的面积．”【解决问题】(1)利用尺规在图5中找到圆心（保留作图痕迹，不写作法）：(2)图3中，如果测得MN=10 m(3)填空：图4中，如果测得MN=a，PQ=b，用含a，b的式子表示环形花坛的面积S环形花坛23．大棚经济“金钥匙”，激活乡村产业振兴新引擎．刘叔叔计划在自家菜地修建一个蔬菜大棚，图1是其横截面的示意图，其中AB，CD为两段垂直于地面的墙体，两段墙体之间的水平距离为9米，大棚的顶部用抛物线形铝合金骨架作支撑．已知骨架的一端固定在离地面3.5米的墙体A处，另一端固定在墙体D处，骨架最高点P到墙体AB的水平距离为2米，且点P离地面的高度为3.75米．请尝试数学建模解决以下问题：(1)在图1中，以B为原点，水平直线BC为x轴，AB所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．设大棚顶部骨架上某处离地面的高度为y（米），该处离墙体AB的水平距离为x（米），求y与x之间的函数关系式；(2)为了大棚顶部更加稳固，刘叔叔计划在棚顶安装铝合金支架，如图2所示，支架可以看成是由线段AE，FG组成，其中点E，F在顶棚抛物线形骨架上，FG∥AB交AE于点G．为不影响耕作，将点E到地面的距离定为1.5米．求做这一个支架所需铝合金材料的最大长度．24．如图，将锐角△AEF的边AE绕点A顺时针旋转90°得到线段AC，过C作BC∥EF，交边FA的延长线上于点B，连接BC，作△ABC的外接圆，交边AE于点D，连接DC．(1)若∠EFA=60°，且ED=2，求∠ADC的度数，并求DC的长；(2)求证：EF=BD．25．已知关于x的函数y=ax(1)当a>0，k=4时，①求当x≤0时，该函数的最小值；②当0≤x≤5时，y有最小值为−2，求当0≤x≤5时，y的最大值．(2)当k=a时，若该函数图象与坐标轴有两个交点，求a的值；(3)当a<0，且k=a时，若该函数图象与x轴有两个不同交点，试说明该图象与直线y=kx−2始终有两个交点，并求出这两点之间距离的取值范围．初中初中《广东省广州市天河区2024-2025学年九年级上学期数学期末考试试卷》参考答案题号12345678910答案CBADCBDDBD1．C【分析】本题考查了中心对称图形的概念：中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．根据中心对称图形的概念求解．【详解】解：A、不是中心对称图形，不符合题意；B、不是中心对称图形，不符合题意；C、是中心对称图形，符合题意；D、不是中心对称图形，不符合题意。故选：C．2．B【分析】本题考查了概率的意义，根据概率的意义，反映了事件发生的机会的大小，不一定会发生，解题的关键是正确理解概率的意义．【详解】A、买1张这种彩票，可能中奖，原选项不符合题意；B、买200张这种彩票，可能有2张中奖，可能会发生，原选项符合题意；C、买100张这种彩票，不一定有1张中奖，原选项不符合题意；D、100人每人买1张这种彩票，不一定会有一人中奖，原选项不符合题意；故选：B．3．A【分析】本题考查正多边形内接于圆的知识．根据周角等于360°，正五边形ABCDE内接于⊙O，因此，∠COD是该圆的五等分角，即可求得该角度数．【详解】解：∵该五边形ABCDE是正五边形∴∠COD=1故答案为：A．4．D【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标，根据点x,y关于原点对称的点的坐标为−x,−y进行解答即可，熟知关于原点对称的点的坐标变换规律是解题的关键．【详解】解：∵点Am,−2与点B∴m=−3，n=2，∴m+n=−3+2=−1，故选：D．5．C【分析】本题考查了二次函数的图象性质．由二次函数解析式可得抛物线开口方向、对称轴、顶点坐标，二次函数的最值，由此解答即可．【详解】解：A、∵a=1>0，∴图象是一条开口向上的抛物线，故此选项不符合题意；B、∵y=(x−2)2−3，∴C、当x=0时，y=0−22−3=1>0，∴D、∵a=1>0，开口向上，∴y有最小值，最大值为−3，故此选项不符合题意；故选：C．6．B【分析】本题考查了点与圆的位置关系，直角三角形的性质等知识，掌握点与圆的三种位置关系是解题关键．连接OC，根据直角三角形的性质，得到OC=1【详解】解：如图，连接OC，∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，点O为AB∴OC=1∵以点O为圆心，5为半径作⊙O，∴OC=r=5，∴点C在⊙O上，故选：B7．D【分析】本题考查了二次函数图象上的点的坐标特征，二次函数的增减性，利用增减性比较函数值的大小，由题意可得对称轴为y轴，则−1,y1关于y轴的对称点为【详解】解：∵抛物线解析式为y=−2x∴对称轴为y轴∵−1,y1关于对称轴y轴对称点为∴1,y1是抛物线又∵a=−2<0，∴当x>0时，y随x的增大而减小，∵1<2<3，点1,y1，2,y2，∴y故选：D．8．D【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．根据原画的长、宽及四周彩纸的宽，可得出原画四周镶上彩纸后的长为(30+2x)cm，宽为(20+2x)cm，再结合原画四周镶上彩纸后的面积等于原画面面积的2倍，即可得出关于【详解】解：∵原画面是长为30cm，宽为20cm的矩形，且彩纸的宽度为∴原画四周镶上彩纸后的长为30+2xcm，宽为20+2x根据题意得：(30+2x)(20+2x)=2×30×20，即(30+2x)(20+2x)=1200．故选：D．9．B【分析】本题考查了圆周角定理、弧长公式、等边对等角，连接OD、OE，由等边对等角可得∠ODB=∠B=70°，求出∠BOD=40°，再由圆周角定理可得∠BOD=∠DOE=40°，从而得出∠COE=100°，再由弧长公式计算即可得解．【详解】解：如图，连接OD、OE，∵∠B=70°，OB=OD，∴∠ODB=∠B=70°，∴∠BOD=180°−∠ODB−∠B=40°，∵DE=∴∠BOD=∠DOE=40°，∴∠COE=180°−∠BOD−∠DOE=100°，∵BC=6，∴BO=CO=3，∴CE的长为100×3π故选：B．10．D【分析】本题考查二次函数的图象与一次函数的图象的综合判断，根据两个函数的性质和图象的特征，结合选项中的图象逐项判断即可．【详解】解：当x=0时，y=0，则抛物线y=axA、直线y=ax+b中，a>0，b>0，抛物线y=ax2+bx中，a>0，−C、直线y=ax+b中，a>0，b=0，抛物线y=ax2+bx中，a>0，−D、直线y=ax+b中，a<0，b<0，抛物线y=ax2+bx中，a<0，−故选：D．11．−5【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键：关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0的两个实数根x1，x2和系数a，b，根据一元二次方程根与系数的关系即可直接得出答案．【详解】解：∵x1，x2是方程∴x1故答案为：−5．12．110°/110度【分析】本题考查了旋转的性质，由旋转的性质可得∠CAC′=75°【详解】解：由旋转的性质可得：∠CAC∴∠BAC故答案为：110°．13．460【分析】用1000乘以抽查的灯泡中使用寿命不小于2200小时的灯泡所占的比例即可．【详解】解：估计这1000只灯泡中使用寿命不小于2200小时的灯泡的数量为1000×17+6故答案为：460．【点睛】本题考查了用样本估计总体，用样本估计总体时，样本容量越大，样本对总体的估计也就越精确．14．50°/50度【分析】此题考查了切线的性质以及圆周角定理推论．熟练掌握圆的切线垂直于经过切点的半径，直径对的圆周角是直角，是解决问题的关键．根据圆切线性质得到∠BAC=90°，得到∠B=40°，根据直径性质得到∠ACB=90°，得到∠BAD=50°．【详解】解：∵AC与⊙O相切，∴∠BAC=90°．又∵∠ACB=50°，∴∠B=90°−∠ACB=40°．∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°．∴∠BAD=90°−∠B=50°．故答案为：50°．15．6【分析】先利用弧长公式得到圆心角为120°，半径为9cm的扇形的弧长为120°×π×9本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥的底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了弧长公式和勾股定理．【详解】解：∵半径9cm，圆心角120°的扇形纸板，∴扇形的弧长为120°×π设圆锥的底面圆半径为r，∴2rπ解得r=3cm故圆锥的高为：92故答案为：6216．0,3+5或2,0或【分析】本题考查了坐标与图形、勾股定理，由题意结合勾股定理可得AC2+BC2=36，再分两种情况：当点C在y轴上时，设C0,m【详解】解：∵点A−1,3，B∴AB∥x轴，AB=5−−1∵∠ACB=90°，∴AC∴AC当点C在y轴上时，设C0,m，则AC2∴5−02解得：m=3−5或3+5，即C0,3+当点C在x轴上时，设Cn,0，则AC2∴−1−n2解得：n=2，即C2,0综上所述，点C的坐标为0,3+5或2,0或0,3−故答案为：0,3+5或2,0或0,3−17．x【分析】本题考查了用因式分解法解一元二次方程，熟练掌握因式分解法解一元二次方程是解题的关键．利用因式分解法，即可得到两个一元一次方程，再求出方程的解即可．【详解】解：x2x+1x−5∴x+1=0或x−5=0，∴x118．(1)见解析(2)5【分析】本题考查了旋转的性质、勾股定理、扇形面积公式，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．（1）根据旋转的性质作图即可；（2）由题意可得∠BOB1=90°【详解】（1）解：如图：△OA；（2）解：由题意可得：∠BOB1=90°∴线段OB扫过的面积为90×π19．(1)1(2)1【分析】本题考查列表法与树状图法求概率．（1）直接利用概率公式可得答案；（2）画树状图得出所有等可能的结果数以及小聪和小明被分配到同一比赛当志愿者的结果数，再利用概率公式可得出答案．【详解】（1）小聪随机分配到被篮球、排球、拔河三个项目中，因此被分配到篮球比赛当志愿者的概率为13（2）将篮球、排球、拔河分别记为A，B，C，画树状图如下：共有9种等可能的结果，其中小聪和小明被分配到同一比赛当志愿者的结果有3种，∴小聪和小明被分配到同一比赛当志愿者的概率为3920．(1)y=(2)1<x<3【分析】本题考查待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的性质，正确求得二次函数解析式是解答的关键．（1）利用待定系数法求解二次函数解析式即可；（2）根据二次函数的开口方向及二次函数图像与x轴交点坐标可得答案．【详解】（1）解：根据表格数据，该二次函数图象的顶点坐标为(2,−1)，故设该二次函数的解析式为y=a(x−2)将(0,3)代入，得3=4a−1，解得a=1，∴该二次函数的解析式为y=(x−2)（2）在二次函数y=(x−2)2−1中，令y=0解得：x1∴二次函数y=(x−2)2−1的图象与x由y=(x−2)2−1∴当y<0时，x的取值范围是1<x<3．21．（1）k≤94；（2）m的值为【分析】（1）利用判别式的意义得到Δ=−3（2）利用（1）中的结论得到k的最大整数为2，解方程x2−3x+2=0解得x1=1   ,   x2=2，把【详解】解：（1）根据题意得Δ=−3解得k≤9（2）k的最大整数为2，方程x2−3x+k=0变形为x2∵一元二次方程m−1x2+x+m−3=0∴当x=1时，m−1+1+m−3=0，解得m=3当x=2时，4m−1+2+m−3=0，解得而m−1≠0，∴m的值为32【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2−4ac有如下关系：当22．(1)见解析(2)25π(3)π【分析】本题考查作图与应用，线段的垂直平分线的性质、垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．（1）先作出两条不平行的弦AC,BC，再作出AC,BC的垂直平分线，其交点即为所求的点O．（2）设切点为C，连接OM，OC．利用勾股定理即可解决问题；（3）连接OM，OP，过点O作OH⊥MN，由垂径定理得MH=12MN=12a,PH=12PQ=【详解】（1）解：如图点O即为所求；（2）解：如图，设切点为C，连接OM，OC．∵MN是切线，∴OC⊥MN，∴CM=CN=5，∴OM∴S（3）解：如图，连接OM，OP，过点O作OH⊥MN，∵OH⊥MN，∴MH=∵Rt△OMH中，Rt△OPH中，O∴OMS环形花坛故答案为：π23．(1)y=−(2)做这一个支架所需铝合金材料的最大长度为217【分析】本题主要考查了二次函数的应用，求一次函数关系式及勾股定理，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．（1）设y与x之间的函数关系式y=a(x−2)2+3.75（2）先求得E8,1.5，再求出AE=82+3.5−1.52=217，然后求得直线AE的函数关系式为【详解】（1）解：由题意可得P2,3.75∴设y与x之间的函数关系式y=a(x−2)2+3.75得a(0−2)2+3.75=3.5∴水流所在抛物线的函数表达式为y=−1（2）解：∵点E到地面的距离定为1.5米，∴将y=1.5代入y=−1−1解得：x1∴E8,1.5∴AE=8设直线AE的函数关系式为y=kx+b，将点A0,3.5，Eb=3.58k+b=1.5，解得：k=−∴直线AE的函数关系式为y=−1设Ft,−∵FG∥AB，∴Gt,−∴FG=−1∵−1∴当t=4时，FG有最大值，为1，∴做这一个支架所需铝合金材料的最大长度为21724．(1)∠ADC=60°，CD=2(2)见解析【分析】（1）由平行线的性质可得∠ABC=180°−∠EFA=120°，有内接四边形的性质可得∠ADC=60°，由旋转的性质可得∠DAC=90°，AC=AE，从而得出∠ACD=180°−∠DAC−∠ADC=30°，由直角三角形的性质可得CD=2AD，求出AE=AC=3AD，再结合（2）作DG∥AC交圆于G，连接CG、BG，由旋转的性质可得：∠DAC=90°，AC=AE，证明四边形ADGC为矩形，得出DG=AC，∠DGC=90°，进而得出DG=AC，DG=AE，由圆周角定理可得∠ADC=∠DBG，证明∠ADC=∠EFA，得出∠DBG=∠EFA，再证明∠BGC=∠EAF，即可得出【详解】（1）解：∵BC∥EF，∠EFA=60°，∴∠EFA+∠ABC=180°，∴∠ABC=180°−∠EFA=120°，∵作△ABC的外接圆，交边AE于点D，∴∠ADC+∠ABC=180°，∴∠ADC=60°，由旋转的性质可得：∠DAC=90°，AC=AE，∴∠ACD=180°−∠DAC−∠ADC=30°，∴CD=2AD，∴AC=C∴AE=AC=3∵DE=AE−AD=3∴AD=3∴CD=2AD=23（2）证明：如图，作DG∥AC交圆于G，连接CG、BG，，由旋转的性质可得：∠DAC=90°，AC=AE，∴∠ADG=180°−∠DAC=90°，CD为圆的直径，∴∠DGC=90°，∴四边形ADGC为矩形，∴DG=AC，∠DGC=90°，∴DG=AC，∴∠ADC=∠DBG，∵BC∥EF，∴∠EFA+∠ABC=180°，∵作△ABC的外接圆，交边AE于点D，∴∠ADC+∠ABC=180°，∴∠ADC=∠EFA，∴∠DBG=∠EFA，∵BC=∴∠BAC=∠BGC，∵∠EAF+∠CAB=180°−∠DAC=90°，∠BGC+∠DGB=90°，∴∠BGC=∠EAF，∴△AEF≌△GBDAAS∴BD=E