核心素养测评(第七章第4节空间直线、平面的垂直)

核心素养测评(时间:45分钟分值:90分)【基础过关练】一、单选题1.(5分)已知α,β是两个不同的平面,l,m,n是三条不同的直线,下列条件中,可以得到l⊥α的是()A.l⊥m,l⊥n,m⊂α,n⊂αB.l⊥m,m∥αC.α⊥β,l∥βD.l∥m,m⊥α【解析】选D.对于A,l⊥m,l⊥n,m⊂α,n⊂α,则l与α相交、平行或l⊂α,故A错误;对于B,l⊥m,m∥α,则l与α相交、平行或l⊂α,故B错误;对于C,α⊥β,l∥β,则l与α相交、平行或l⊂α,故C错误;对于D,l∥m,m⊥α,则l⊥α,故D正确.2.(5分)空间四边形ABCD中,若AD⊥BC,AD⊥BD,则()A.平面ABC⊥平面ADCB.平面ABC⊥平面ADBC.平面ABC⊥平面DBCD.平面ADC⊥平面DBC【解析】选D.因为AD⊥BC,AD⊥BD,BC∩BD=B,BC,BD⊂平面DBC,所以AD⊥平面DBC.又因为AD⊂平面ADC,所以平面ADC⊥平面DBC.【变式备选】如图,在三棱锥D-ABC中,若AB=CB,AD=CD,E是AC的中点,则下列说法中正确的是()A.平面ABC⊥平面ABDB.平面ABC⊥平面BCDC.平面ABC⊥平面BDE,且平面ACD⊥平面BDED.平面ABC⊥平面ACD,且平面ACD⊥平面BDE【解析】选C.对于C,因为AB=CB,AD=CD,E是AC的中点,所以DE⊥AC,BE⊥AC.因为DE∩BE=E,DE⊂平面BDE,BE⊂平面BDE,所以AC⊥平面BDE.因为AC⊂平面ABC,所以平面ABC⊥平面BDE,同理,平面ACD⊥平面BDE,C正确;对于A,B,由于平面ABC⊥平面BDE,而平面BDE∩平面ABD=BD,故平面ABC与平面ABD不垂直,同理可得,平面ABC与平面BCD不垂直,A,B错误;对于D,平面ABC与平面ACD不一定垂直,D错误.3.(5分)如图,设平面α∩平面β=PQ,EG⊥平面α,FH⊥平面α,垂足分别为G,H.为使PQ⊥GH,则需增加的一个条件是()A.EF⊥平面α B.EF⊥平面βC.PQ⊥GE D.PQ⊥FH【解析】选B.因为EG⊥平面α,PQ⊂平面α,所以EG⊥PQ.若EF⊥平面β,则由PQ⊂平面β,可得EF⊥PQ.又EG与EF为相交直线,所以PQ⊥平面EFHG,所以PQ⊥GH.4.(5分)在正三棱锥A-BCD中,二面角A-BC-D的平面角为60°,则AC与平面BCD所成角的正切值为()A.3 B.33 C.32 D【解析】选C.取BC的中点为E,△BCD的中心为G,连接AE,DE,CG,AG,因为AB=AC,BD=CD,则AE⊥BC,DE⊥BC,可得二面角A-BC-D的平面角为∠AED,即∠AED=60°.因为三棱锥A-BCD为正三棱锥,则AG⊥平面BCD,且DE,CG⊂平面BCD,则AG⊥DE,AG⊥CG,可得AG=3EG,CG=DG=2EG.由AG⊥平面BCD,可知AC与平面BCD所成的角为∠ACG,所以tan∠ACG=AGCG=3EG25.(5分)如图,在四面体ABCD中,已知AB⊥AC,BD⊥AC,那么D在平面ABC内的射影H必在()A.直线AB上 B.直线BC上C.直线AC上 D.△ABC内部【解析】选A.由AB⊥AC,BD⊥AC,AB∩BD=B,AB,BD⊂平面ABD,得AC⊥平面ABD,而AC⊂平面ABC,则平面ABC⊥平面ABD,因此D在平面ABC内的射影H必在平面ABC与平面ABD的交线AB上.二、多选题6.(5分)如图,在以下四个正方体中,直线AB与平面CDE垂直的是()【解析】选BD.对于A,显然AB与CE不垂直,则直线AB与平面CDE不垂直;对于B,因为AB⊥CE,AB⊥ED,且CE∩ED=E,所以AB⊥平面CDE;对于C,显然AB与CE不垂直,所以直线AB与平面CDE不垂直;对于D,因为ED⊥平面ABC,则ED⊥AB,同理CE⊥AB,因为ED∩CE=E,所以AB⊥平面CDE.7.(5分)已知圆锥的顶点为S,O为底面圆心,母线SA与SB互相垂直,△SAB的面积为2,SA与圆锥底面所成的角为30°,则下列说法正确的是()A.圆锥的高为1B.圆锥的体积为3πC.圆锥侧面展开图的圆心角为3πD.二面角S-AB-O的大小为45°【解析】选ACD.对于A选项,因为SO与底面垂直,OA为底面圆的一条半径,则SO⊥OA,所以SA与圆锥底面所成的角为∠SAO=30°,又SA⊥SB,所以△SAB的面积为12SA·SB=12×SA2=2,解得SA=2,所以该圆锥的高为SO=SA·sin30°=2×12=1,故A对于B选项,该圆锥的底面半径为OA=SA·cos30°=2×32=3,故该圆锥的体积为V=13π×OA2×SO=13π×(3)对于C选项,设该圆锥侧面展开图的圆心角为θ,底面圆周长为2π×AO=23π,则θ=23πSA=23π2=对于D选项,取AB的中点E,连接OE,SE,因为SA=SB,E为AB的中点,则SE⊥AB,由垂径定理可得OE⊥AB,所以二面角S-AB-O的平面角为∠SEO,因为SO⊥平面OAE,OE⊂平面AOE,则SO⊥OE,因为SA⊥SB,SA=SB,则△SAB为等腰直角三角形,则AB=SA2+SB2=22+22=22,所以SE=12AB=2,所以sin∠SEO=SOSE=1即二面角S-AB-O的大小为45°,故D正确.三、填空题8.(5分)已知△ABC在平面α内,∠A=90°,DA⊥平面α,则直线CA与DB的位置关系是________.

【解析】因为DA⊥平面α,CA⊂平面α,所以DA⊥CA.在△ABC中,因为∠A=90°,所以AB⊥CA.又DA∩AB=A,DA,AB⊂平面DAB,所以CA⊥平面DAB.又DB⊂平面DAB,所以CA⊥DB.答案:垂直9.(5分)如图所示,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,且底面各边都相等,M是PC上的一动点,当点M满足________时,平面MBD⊥平面PCD(只要填写一个你认为是正确的条件即可).

【解析】如图,连接AC,则AC⊥BD,因为PA⊥底面ABCD,BD⊂平面ABCD,所以PA⊥BD.又PA∩AC=A,PA,AC⊂平面PAC,所以BD⊥平面PAC.又PC⊂平面PAC,所以BD⊥PC.所以当DM⊥PC(或BM⊥PC)时,有PC⊥平面MBD.又PC⊂平面PCD,所以平面MBD⊥平面PCD.答案:DM⊥PC(或BM⊥PC)四、解答题10.(10分)如图所示,在直角梯形BCEF中,∠CBF=∠BCE=90°,A,D分别是BF,CE上的点,AD∥BC,且DE=2AD=2AF(如图1),将四边形ADEF沿AD折起,连接BE,BF,CE(如图2).(1)判断四边形BCEF是否是平面四边形,并写出判断理由;【解析】(1)四边形BCEF不是平面四边形.理由如下:若B,C,E,F共面,则由BC∥AD,BC∥平面ADEF,可推出BC∥EF,则AD∥EF,矛盾,所以四边形BCEF不是平面四边形.(2)当EF⊥CF时,求证:平面ADEF⊥平面ABCD.【解析】(2)在平面ADEF中,易得EF⊥FD.又因为EF⊥CF,FD∩CF=F,所以EF⊥平面CDF.又CD⊂平面DCF,所以EF⊥CD.又因为CD⊥AD,而AD,EF延长后相交,所以CD⊥平面ADEF.又因为CD⊂平面ABCD,所以平面ADEF⊥平面ABCD.【能力提升练】11.(5分)如图,在四棱锥P-ABCD中,△PAB与△PBC是正三角形,AC⊥BD,则下列结论不一定成立的是()A.BP⊥ACB.PD⊥平面ABCDC.AC⊥PDD.平面PBD⊥平面ABCD【解析】选B.如图,取线段BP的中点O,连接OA,OC,易得BP⊥OA,BP⊥OC.又OA∩OC=O,所以BP⊥平面OAC,所以BP⊥AC,故选项A正确,不符合题意;又AC⊥BD,BP∩BD=B,所以AC⊥平面PBD,所以AC⊥PD,故选项C正确,不符合题意;又AC⊂平面ABCD,所以平面PBD⊥平面ABCD,故选项D正确,不符合题意.12.(5分)(多选题)(2024·保定模拟)如图1,在等腰梯形ABCD中,AB∥CD,EF⊥AB,CF=EF=2DF=2,AE=3,EB=4,将四边形AEFD沿EF进行折叠,使AD到达A'D'位置,且平面A'D'FE⊥平面BCFE,连接A'B,D'C,如图2,则()A.BE⊥A'D'B.平面A'EB∥平面D'FCC.多面体A'EBCD'F为三棱台D.直线A'D'与平面BCFE所成的角为π【解析】选ABD.对于A,因为平面A'D'FE⊥平面BCFE,平面A'D'FE∩平面BCFE=EF,BE⊥EF,BE⊂平面BCFE,所以BE⊥平面A'D'FE,所以BE⊥A'D',A正确.对于B,因为A'E∥D'F,A'E⊄平面D'FC,D'F⊂平面D'FC,则A'E∥平面D'FC.又BE∥CF,BE⊄平面D'FC,CF⊂平面D'FC,则BE∥平面D'FC.又A'E∩BE=E,A'E,BE⊂平面A'EB,所以平面A'EB∥平面D'FC,B正确.对于C,因为D'FA'E=13,FCEB=24,则D'对于D,延长A'D',EF相交于点G,因为平面A'D'FE⊥平面BCFE,平面A'D'FE∩平面BCFE=EF,A'E⊂平面A'D'FE,A'E⊥EF,所以A'E⊥平面BCFE,则∠A'GE为直线A'D'与平面BCFE所成的角.因为A'E∥D'F,所以D'FA'E=GFGF所以tan∠A'GE=A'则∠A'GE=π4,D正确【变式备选】(多选题)如图,在直角梯形ABCD中,AB∥CD,BC⊥DC,AE⊥DC,DE=EC,M,N分别是AD,BE的中点,将△ADE沿AE折起.下列说法正确的是()A.无论点D折至何位置(不在平面ABC内),都有MN∥平面DECB.无论点D折至何位置(不在平面ABC内),都有MN⊥AEC.在折起过程中,一定存在某个位置,使MN⊥平面ABCED.当二面角D-AE-C的大小为90°时,四棱锥D-ABCE的体积最大【解析】选ABD.如图,取AE的中点F,连接MF,NF,MN,则MF∥DE,因为MF⊄平面DCE,DE⊂平面DCE,所以MF∥平面DCE.又NF∥AB∥EC,NF⊄平面DCE,EC⊂平面DCE,所以NF∥平面DCE.又NF∩MF=F,可得平面MNF∥平面DEC.又因为无论点D折至何位置,都有MN⊂平面MNF,所以MN∥平面DEC,故A正确.同理,无论点D折至何位置,当点D不在平面ABC内时,易证AE⊥平面MNF,故MN⊥AE,故B正确.若MN⊥平面ABCE,则MN⊥NF,所以MF>NF,所以DE=2MF>2NF=EC,这与已知矛盾,故C错误.设点D到平面ABCE的距离为h,则VD-ABCE=13S矩形ABCE·h.当二面角D-AE-C的大小为90°时平面ADE⊥平面ABCE,此时h最大,四棱锥D-ABCE的体积最大,故D正确.13.(5分)如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E是棱CC1上的一个动点,平面BED1交棱AA1于点F.给出下列四个结论:①存在点E,使得A1C1∥平面BED1F;②存在点E,使得B1D⊥平面BED1F;③对于任意的点E,平面A1C1D⊥平面BED1F;④对于任意的点E,四棱锥B1-BED1F的体积均不变.其中,所有正确结论的序号是________.

【解析】①当E为棱CC1的中点时,F为棱AA1的中点,此时A1C1∥EF,A1C1∥平面BED1F成立,所以①正确.②因为BD1⊂平面BED1F,所以若存在点E,使得B1D⊥平面BED1F,则B1D⊥BD1,则矩形BDD1B1是正方形或菱形.在正方体中,BD=2BB1,则矩形BDD1B1不可能是正方形或菱形,所以不可能存在点E,使得B1D⊥平面BED1F,所以②错误.③连接D1B,则D1B⊥平面A1C1D,而D1B⊂平面BED1F,所以平面A1C1D⊥平面BED1F,所以③正确.④四棱锥B1-BED1F的体积等于VD1-设正方体的棱长为1,因为无论E,F在何点,△BB1E的面积都为12×1×1=1三棱锥D1-BB1E的高D1C1=1保持不变,△BB1F的面积都为12×1×1=1三棱锥D1-BB1F的高D1A1=1保持不变,所以三棱锥D1-BB1E和三棱锥D1-BB1F的体积均为定值,即四棱锥B1-BED1F的体积等于VD1-BB1E+答案:①③④14.(10分)如图,四边形PDCE为矩形,四边形ABCD为梯形,平面PDCE⊥平面ABCD,∠BAD=∠ADC=90°,AB=AD=12CD=1,PD=2(1)若M为PA的中点,求证:AC∥平面MDE;【解析】(1)连接PC,交DE于点N,连接MN,因为四边形PDCE为矩形,所以N为PC的中点.在△PAC中,M,N分别为PA,PC的中点,所以MN∥AC.因为MN⊂平面MDE,AC⊄平面MDE,所以AC∥平面MDE.(2)求直线PB与直线CD所成角的大小;【解析】(2)因为∠BAD=∠ADC=90°,所以AB∥CD,所以∠PBA是直线PB与直线CD所成的角.因为四边形PDCE为矩形,所以PD⊥CD.因为平面PDCE⊥平面ABCD,又PD⊂平面PDCE,平面PDCE∩平面ABCD=CD,所以PD⊥平面ABCD.因为AD,AB⊂平面ABCD,所以PD⊥AD,PD⊥AB.在Rt△PDA中,因为AD=1,PD=2,所以PA=3.因为∠BAD=90°,所以AB⊥AD.又因为PD⊥AB,PD∩AD=D,PD,AD⊂平面PAD,所以AB⊥平面PAD.因为PA⊂平面PAD,所以AB⊥PA.在Rt△PAB中,因为AB=1,所以tan∠PBA=PAAB=3,所以∠PBA=π即直线PB与直线CD所成角的大小为π3(3)设平面PAD∩平面EBC=l,试判断l与平面ABCD是否垂直,并证明你的结论.【解析】(3)l与平面ABCD垂直.证明如下:因为四边形PDCE为矩形,所以EC∥PD.因为PD⊂平面PAD,EC⊄平面PAD,所以EC∥平面PAD.又EC⊂平面EBC,平面PAD∩平面EBC=l,所以EC∥l,则l∥PD.由(2)可知PD⊥平面ABCD,所以l⊥平面ABCD.【创新思维练】15.(5分)(多选题)如图,直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是梯形,AB∥CD,AB⊥BC,AB=BC=AA1=1,CD=2,P是棱DD1的中点,Q在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的表面上运动,则()A.若Q在棱A1D1上运动,则C1Q+PQ的最小值为174+B.若Q在棱C1D1上运动,则三棱锥A-BPQ的体积为定值C.若AC1⊥PQ,则Q点的轨迹为平行四边形D.若|C1Q|=2,则Q点的轨迹长度为(1+22)【解析】选BCD.由题意可得,AD=2,∠ADC=∠A1D1C1=π4.将平面A1B1C1D1平面DAA1D1沿直线A1D1展开,如图所示.在△C1D1P中,C1D1=2,D1P=12∠PD1C1=3π4,所以C1P2=22+(12)2-2×2×12×cos3π4=则C1Q+PQ的最小值为174+2,故因为C1D1∥AB,C1D1⊄平面ABP,AB⊂平面ABP,所以C1D1∥平面ABP,即C1D1到平面ABP的距离为定值,即三棱锥的高h为定值.又因为S△ABP为定值,所以VA-BPQ=VQ-ABP=13S△ABP·h为定值,故B正确如图所示,取AA1,AB的中点分别为F,G,连接AC1,AC,AB1,A1B,PF,FG,过G作AD的平行线交CD于点E,连接PE,由直四棱柱的性质可得四边形A1ABB1为正方形,故A1B⊥AB1,而F,G为中点,故FG∥A1B,故FG⊥AB1.因为BB1⊥平面ABCD,CB⊂平面ABCD,故BB1⊥BC.又BC⊥AB,AB∩BB1=B,AB,BB1⊂平面BAA1B1,故BC⊥平面BAA1B1,故B1C1⊥平面BAA1B1,而FG⊂平面BAA1B1,故B1C1⊥FG,而B1C1∩AB1=B1,B1C1,AB1⊂平面B1C1A,故FG⊥平面B1C1A,而C1A⊂平面B1C1A,故FG⊥C1A.在梯形ABCD中,AC=2,AD=2,而CD=2,故AC2+AD2=CD2,故AC⊥AD,而EG∥AD,故同理可证AC1⊥EG,而FG∩EG=G,FG,EG⊂平面PEGF,则AC1⊥平面PEGF,所