2024-2025学年江苏南京师大附中高一上学期12月考数学试题及答案

试卷第1页，共3页南京师大附中2024-2025学年第1学期高一年级12月月考数学试卷xA．充分必要条件B．必要不充分条件C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件4．若lna与lnb互为相反数，则的最大值为()5．在平面直角坐标系xOy中，已知点P(cosα,sinα)，将线段OP绕原点O按顺时针方向旋转至线段OP,.若cosα=，则P,的纵坐标为()6．设函数的取值范围是()7．已知幂函数f(x)=xα的图象经过点若,b=f,c=f，则8．若定义在数集A上的函数f(x)满足：任意x1,x2∈A，当且仅当x1=x2时，f(x1)=f(x2)试卷第2页，共3页成立，则称f(x)为“单函数”.①f(x)=(x-1)3是“单函数”是“单函数”③若f(x)为“单函数”，则当x1,x2∈A且x1≠x2时，都有f(x1)≠f(x2)④已知区间DA，若f(x)在D上具有单调性，则f(x)一定是“单函数”上述四个命题中，真命题的个数是()多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得C．loga<b-0.110．已知则下列说法正确的是()A．若tanα=3，则cosα=-C．若sinαcosα=，则tanα=211．设函数下列说法正确的是()A．f(x)的定义域为(-1,1)B．f(x)是奇函数C．对于函数f(x)定义域内的任意两个不同的实数x1,x2，总满足D．对于任意的，都有f试卷第3页，共3页13．函数f(x)=log2(x2-414．定义在R上的函数f(x)满足：f(x)=2f(x-1).已知当x∈(-1,0]时，16．若定义在R上的函数f(x)满足：存在M,T∈R且T>0，使得任意x∈R,f(x+T)=f(x)+M，则称f(x)为“T代M阶函数”.(1)判断f(x)=sinπx是否为“4代M阶函数”，若是，求出M的值；若不是，请说明(2)已知f(x)为“3代M阶函数”，且f(x)的图象关于直线x=3对称，证明：f(x)是(3)设函数F(x)=f(x)+g(x)为“2代M阶函数”，其中f(x)是奇函数，g(x)是偶函数.若f(1)=1，求f(1219)的值.答案第1页，共9页【分析】利用解绝对值不等式和指数不等式得到集合，再利用交集计算即可.}，∩故选：B.【分析】分别判断当x=2kπ+,k∈Z时sinx的值，以及当sinx=时x的取值情况，然后根据充分、必要条件的概念判断即可.【详解】判断充分性所以由x=2kπ+,k∈Z能推出sinx=充分性成立.判断必要性所以由sinx=不能推出x=2kπ+,k∈Z，必要性不成立.故x=2kπ+,k∈Z是si故选：C【分析】利用诱导公式和特殊角的三角函数值化简求值即可.【详解】由题意故选：D答案第2页，共9页【分析】根据对数的运算，结合基本不等式进行求解即可.【详解】因为lna与lnb互为相反数，故选：D【分析】利用线段OP绕原点O按顺时针方向旋转至线段OP,及点P的坐标，可用α表示点P,的坐标，再用诱导公式化简，从而求解.【详解】因为点P(cosα,sinα)，将线段OP绕原点O按顺时针方向旋转至线段OP,，所以可得点P,的坐标为，即P,所以点P,的纵坐标为-cosα=-故选：B.【分析】利用指数函数单调性来确定f(x)的单调性，然后由单调来解不等式即可.答案第3页，共9页x是减函数，可知=3x-是增函数，故选：C.【分析】先利用幂函数的定义求得f(x)=x-2，判断f(x)=x-2为偶函数，且在(0,+∞)上单调递减，根据诱导公式和偶函数性质得,b=f，c=f根据正弦函数单调性可得<sin根据切弦互化结合正、余弦函数值的有界性分析可得 >sin根据幂函数的单调性即可比较大小.【详解】因为幂函数f(x)=xα的图象经过点所以，所以α=-2，所以f(x)=x-2，其定义域为(-∞,0)(0,+∞)关于原点对称，又f(-x)=(-x)-2=x-2=f(x)，所以f(x)=x-2为偶函数，且在(0,+∞)上单调递减，(π)π3π因为y=sinx在|(0,2,|内单调递增，则sin14<(π)π3π故选：A【分析】根据题意f(x)为单函数的充分必要条件为f(x)在其定义域上单调，结合相关多项式函数、对数函数的性质以及单调函数的定义依次判断命题即可.答案第4页，共9页【详解】①f(x)=(x-1)3在R上单调递增，故当且仅当x1=x2时，f(x1)=f(x2)成立，符合定义，真命题；②由解析式知f(0)=2-0=2=log24=f(4)，而0≠4，故并非仅当x1=x2时f(x1)=f(x2)成立，不符合定义，假命题；③由定义知：任意x1,x2∈A，若f(x1)=f(x2)，当且仅当x1=x2时成立，其逆否命题为当x1,x22时，都有f(x1)≠f(x2)为真命题；④对于f(x)=x2在(0,+∞)上单调递增，具有单调性，而在R上f(-1)=f(1)且-1≠1，不符合定义，假命题.综上，①③为真命题.故选：B【点睛】关键点点睛：根据函数新定义，结合单调性的性质及二次、三次函数性质判断各项真假.【分析】根据指数函数、对数函数、幂函数的单调性判断函数值得大小即可得结论.对于A，因为a>b>1，所以0<又函数y=lnx在(0,+∞)上递增，所以不正确；所以a-b>，故B正确；又b-0.1>0，所以loga<b-0.1，故C正确；对于D，因为a>b>1，则函数y=ax在(0,+∞)上递增，所以a0.2<a0.3，又函数y=x0.2在(0,+∞)上递增，所以b0.2<a0.2，则b0.2<a0.3，故D正确.故选：BCD.答案第5页，共9页【分析】根据商数关系和平方关系计算后可判断AB的正误，利用“1”的代换和弦切互化可判断C的正误，利用诱导公式化简后可判断D的正误.【详解】对于A，因为tanα=3，<α<，故故A正确；对于B，因为，故cosα<0，故tanα=故B错误；对于C，因为sinαcosα=，故故，故2tan2α-5tanα+2=0，故tanα=2或tanα=而，故tanα>1，故tanα=2，故C正确；对于D，由tan=-1可得：故选：AC.11．ABD【分析】根据真数大于0求得定义域，可判断A；利用奇偶性定义判断奇偶性，可判断B；取特殊值计算可判断C；根据对数运算化简即可判断D.【详解】对于A，由>0，解得-1<x<1，故函数的定义域为(-1,1)，故A正对于B，由A可知定义域关于原点对称=-lg所以f(x)是奇函数，故B正确；答案第6页，共9页故选：ABD.【分析】根据扇形的面积公式和弧长公式求解.【详解】因为扇形面积为α.r2=4，所以r=2，故答案为:8.13．(-∞,-1)【分析】先求出f(x)的定义域，令u=x2-4x-5，分别求出y=log2u，u=x2-4x-5在定义域上的单调性，再由复合函数的单调性即可求出答案.【详解】要使函数f(x)有意义，则x2-4x-5>0，即x>5或x<-1，设u=x2-4x-5，则当x>5时，函数u=x2-4x-5在(5,+∞)上单调递增，当x<-1时，函数u=x2-4x-5在(-∞,-1)上单调递减.∵函数y=log2u在定义域上为单调递增函数，∴根据复合函数的单调性之间的关系可知，函数f(x)在(5,+∞)上单调递增，在(-∞,-1)上单调递减，即函数f(x)的递减区间为(-∞,-1).故答案为:(-∞,-1).4【分析】先根据函数的递推关系得到函数在其他区间上的表达式，结合函数图像可得到m的最大值.因为f，且当x∈故当所以当x≤0时，f(x)<1，kf(xk)=2k1(xk)(xk+1)，k3*，所以k≤3，所以当0<x≤3时，f(x)≤1，所以当化简得(4x15)(4x13)=0，因为对任意，都有f所以m的最大值是，答案第7页，共9页答案第8页，共9页故答案为：.【分析】（1）应用诱导公式化简函数式，根据已知有sinxcosx=-，且sinx>0,cosx<0，利用sinxcosx与cosx-sinx关系求值；法一：根据x∈应用基本不等式求函数的最大值；法二：令t=sinx+cosx，利用三角恒等变换及三角函数性质得1<t≤且g(x)=t2+t-1，进而求其最大值.所以cosx-sinx=-i(cosx-sinx)2=-s1-2sinxcosx=-·=-.(2,，.(2,，. 当且仅当sinx=cosx=时取等，故g(x)的最大值为1+.当t=时，g(x)max=1+，即g(x)的最大值16．(1)是，0(2)证明见解析(3)1219【分析】（1）利用给定定义判断并证明即可.答案第9页，共9页（2）利用给定定义结合对称性的性质和奇偶性的定义证明即可.（3）利用给定定义和奇偶性的性质对目标式进行化简，再求值即可.此时T=4,M=0，所以f(x)为4代0阶函数.（2）因为f(x)为“3代M阶函数”，因为f(x)的图象关于直线x=3对称，所以f(x+3)=f(-x+3)，即f(x)+M=f(-x)+M，所以f(x)=f(-x)，所以f(x)是偶函数.（3）由题意得，存在常数M满足F(x+2)=F(x)+M，令x=a，