第六章 6.2 6.2.2　向量的减法运算 - 学生版

6.2.2向量的减法运算【课程标准要求】1.理解相反向量的含义,向量减法的意义及减法法则.2.掌握向量减法的几何意义.3.能熟练地进行向量的加、减综合运算.知识点一相反向量1.定义与向量a长度相等,方向相反的向量,叫做a的相反向量,记作-a.2.性质(1)零向量的相反向量仍是零向量.(2)对于相反向量,有a+(-a)=(-a)+a=0.(3)如果a,b互为相反向量,那么a=-b,b=-a,a+b=0.对相反向量的理解相反向量与相等向量一样,从“长度”和“方向”两方面进行定义,相反向量必为平行向量.知识点二向量的减法1.定义向量a加上b的相反向量,叫做a与b的差,即a-b=a+(-b),因此,减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量,求两个向量差的运算叫做向量的减法.2.几何意义在平面内任取一点O,作OA→=a,OB→=b,则BA→=a-b3.文字叙述如果把两个向量的起点放在一起,那么这两个向量的差是以减向量的终点为起点,被减向量的终点为终点的向量.用三角形法则作向量减法的注意事项(1)两个向量作差的前提是将两个向量移到共同的起点.(2)在用三角形法则作向量减法时,要注意“共起点,连终点,指向被减”.解题时要结合图形,准确判断,防止混淆.基础自测1.(人教A版必修第二册P13练习T2改编)化简AB→-AD→-DC→等于[A]AD→ [B]AC→ [C]DB→ 2.四边形ABCD中,设AB→=a,AD→=b,BC→=c,则DC→[A]a-b+c [B]b-(a+c)[C]a+b+c [D]b-a+c3.已知在四边形ABCD中,DB→-DA→=AC→-AD→,则四边形ABCD[A]平行四边形 [B]菱形[C]矩形 [D]正方形4.若菱形ABCD的边长为2,则|AB→-CB→+CD→题型一向量减法及其几何意义[例1]如图所示,O为△ABC内一点,OA→=a,OB→=b,OC→=c.求作:b+c则OD→=OB→+OC→=bAD→=OD→-OA→=b+c法二作CD→=OB→=连接AD,则AC→=OC→-OA→=cAD→=AC→+CD→=c-a+b=b+c向量减法的三角形法则的内容是:两向量相减,表示两向量起点的字母必须相同,这样两向量的差向量以减向量的终点字母为起点,以被减向量的终点的字母为终点.[变式训练]如图,已知向量a,b,c不共线,求作向量a-b-c.题型二向量加减法的混合运算[例2](1)如图,P,Q是△ABC的边BC上的两点,且BP→=QC→,则化简AB→+AC→-AP→-[A]0 [B]BP→ [C]PQ→ [D](2)化简:(AD→-BM→)+(BC→-MC→)(2)原式=AD→+(MB→+BC→)-MC→=AD→+MC(1)向量减法运算的常用方法(2)向量加减法化简的两种形式①首尾相连且为和.②起点相同且为差.解题时要注意观察是否有这两种形式,同时注意逆向应用.[变式训练]如图,已知O为平行四边形ABCD内一点,OA→=a,OB→=b,OC→=c,则OD→题型三向量加减法的综合应用[例3]设点M是线段BC的中点,点A在线段BC外,|BC→|=4,|AB→+AC→|=|AB→-AC→|,则|[A]8 [B]4 [C]2 [D]1又四边形ACDB为平行四边形,所以四边形ACDB为矩形,故AC⊥AB.则AM为Rt△ABC斜边BC上的中线,因此,|AM→|=12|BC→|=2(1)重要思想与方法在应用三角形法则进行向量的减法运算时,应用数形结合的思想方法.(2)易错易混点提醒在用三角形法则作向量减法时,要注意“差向量连接两向量的终点,箭头指向被减向量”.解题时要结合图形,准确判断,防止混淆.[变式训练]已知|AB→|=7,|AD→|=9,则|AB→-AD→|的取值范围为且|AD→|=|AB→|=所以2≤|AB→-AD→|≤所以|AB→-AD→|的取值范围为(分值:95分)单选每题5分.1.向量a,b互为相反向量,已知|b|=3,则下列结论正确的是()[A]a=b [B]a+b为实数0[C]a与b方向相同 [D]|a|=32.已知非零向量a与b同向,则a-b()[A]必与a同向[B]必与b同向[C]可能与a同向、反向,也可能是0[D]不可能与b同向3.下列表达式化简结果与PA→相等的是([A]AB→+BP→ [B]PB[C]BC→+CA→-PA→ [D]对于B,PB→+BA→=PA→对于C,BC→+CA→-PA→=BA→-PA→=BA→+对于D,PB→+PC→不确定是否等于故选B.4.在四边形ABCD中,AB→=DC→,若|AD→-AB→|=|BC→-BA→|,[A]菱形 [B]矩形[C]正方形 [D]不确定即|BD→|=|AC→所以平行四边形ABCD是矩形.故选B.5.如图,A,B,C,D是平面上的任意四点,下列式子正确的是()[A]AB→+CD→=BC→[B]AC→+BD→=BC[C]AC→+DB→=DC→[D]AB→+DA→=AC故选B.6.已知向量a,b满足|a|=1,|a-b|=12,则|b|的取值范围为([A](32,32) [B][3[C][32,32] [D][127.(5分)下列四个等式:①a+b=b+a;②-(-a)=a;③AB→+BC→+CA→=0;④a+(-a)其中正确的是.(填序号)

8.(5分)已知非零向量a,b满足:|a|=|b|=|a-b|,作OA→=a,OB→=a+b,则∠AOB=9.(13分)如图,已知向量a和向量b,用三角形法则作出a-b+a.10.(15分)如图,中国象棋的半个棋盘上有一只“马”,开始下棋时,它位于点A,这只“马”第一步有几种可能的走法?试在图中画出来.它能否从点A走到与它相邻的点B?它能否从任一交叉点出发,走到棋盘上的其他任何一个交叉点?11.P为四边形ABCD所在平面上一点,PA→+PB→+PC→+PD→=AB→+CD→,[A]四边形ABCD的对角线交点[B]AC的中点[C]BD的中点[D]CD边上一点12.(5分)如图,在矩形ABCD中,|AD→|=43,|AB→|=8.设AB→=a,BC→=b,BD→=c,则|a-b则|a-b-c|=|D'B'→|=(13.(17分)如图所示,在平行四边形ABCD中,E,F分别为边AB和BC的中点,G为AC与BD的交点.