专题01 二项分布 (典型例题+题型归类练)（解析版）

专题01二项分布(典型例题+题型归类练)目录一、必备秘籍二、典型例题类型一：利用二项分布求分布列类型二：服从二项分布的随机变量概率最大问题类型三：建立二项分布模型解决实际问题三、题型归类练一、必备秘籍1、伯努利试验与二项分布重伯努利试验的定义①我们把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验.②将一个伯努利试验独立地重复进行次所组成的随机试验称为重伯努利试验.2、二项分布一般地，在重伯努利试验中，设每次试验中事件发生的概率为()，用表示事件发生的次数，则的分布列为（）如果随机变量的分布列具有上式的形式，则称随机变量服从二项分布（binomialdistribution），记作。二、典型例题类型一：利用二项分布求分布列例题1．（2022·全国·模拟预测）交通信号灯中的红灯与绿灯交替出现.某汽车司机在某一线路的行驶过程要经过两段路，若已知路段共要过个交通岗，且经过交通岗时遇到红灯或绿灯是相互独立的，每次遇到红灯的概率为，遇到绿灯的概率为，在路段的行驶过程中，首个交通岗遇到红灯的概率为，且上一交通岗遇到红灯，则下一交通岗遇到红灯的概率为，遇到绿灯的概率为；若上一交通岗遇到绿灯，则下一交通岗遇到红灯的概率为，遇到绿灯的概率为，记段线路中第个交通岗遇到红灯的概率为.(1)求该司机在路段的行驶过程中遇到红灯次数的分布列与期望；【答案】(1)分布列见解析，(1)由题可知X的取值可能为且易知，且，所以所以的分布列为1234；例题2．（2022·江苏·南京市第五高级中学模拟预测）某学校实行自主招生，参加自主招生的学生从8个试题中随机挑选出4个进行作答，至少答对3个才能通过初试已知甲、乙两人参加初试，在这8个试题中甲能答对6个，乙能答对每个试题的概率为，且甲、乙两人是否答对每个试题互不影响.（1）试通过概率计算，分析甲、乙两人谁通过自主招生初试的可能性更大；（2）若答对一题得5分，答错或不答得0分，记乙答题的得分为，求的分布列及数学期望和方差.【答案】（1）甲通过自主招生初试的可能性更大.（2）见解析，，.【详解】解：（1）参加自主招生的学生从8个试题中随机挑选出4个进行作答，至少答对3个才能通过初试，在这8个试题中甲能答对6个，甲通过自主招生初试的概率参加自主招生的学生从8个试题中随机挑选出4个进行作答，至少答对3个才能通过初试.在这8个试题中乙能答对每个试题的概率为，乙通过自主招生初试的概率，甲通过自主招生初试的可能性更大.（2）根据题意，乙答对题的个数的可能取值为0，1，2，3，4.且的概率分布列为：05101520

.感悟升华（核心秘籍）1、判断一个实验是否服从二项分布的标准：事件每次发生的概率是一样。2、表示次实验都完成了，每次实验发生的概率为；例题3．（2022·全国高三专题练习（理））一名学生每天骑车上学，从他家到学校的途中有个交通岗，假设他在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是.（1）设为这名学生在途中遇到红灯的次数，求的分布列、期望、方差；（2）设为这名学生在首次停车前经过的路口数，求的分布列；（3）求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率.【答案】（1）分布列见解析，，；（2）分布列见解析；（3）.【详解】（1）由题意可知，可取、、、、、，服从二项分布，则，，，，，，∴的分布列为：∴，；（2）由题意可知，可取、、、、，5则，，，，，，∴的分布列为：（3）设这名学生在途中至少遇到一次红灯为事件，所求概率.感悟升华（核心秘籍）此题注意与前两题对比，此题第(2)问可以理解为首次成功问题；当一个实验成功了，就不继续做后面的实验了，这与有本质的区别，表示次实验都完成了，每次实验发生的概率为，至于这次实验成功了几次，需要等最后一次实验做完才知道；而此题首次成功，不再做后续的实验。实验的次数。类型二：服从二项分布的随机变量概率最大问题例题1．（2022·山西·怀仁市第一中学校一模（理））在传染病学中，通常把从致病刺激物侵入机体或者对机体发生作用起，到机体出现反应或开始呈现该疾病对应的相关症状时止的这一阶段称为潜伏期.一研究团队统计了某地区1000名患者的相关信息，得到如下表格：潜伏期（单位：天）人数501502003002006040(1)求这1000名患者的潜伏期的样本平均数值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，结果四舍五入为整数）；(2)该传染病的潜伏期受诸多因素的影响，为研究潜伏期与患者年龄的关系，以潜伏期是否超过8天为标准进行分层抽样，从上述1000名患者中抽取200人，得到如下列联表，请将列联表补充完整，并根据列联表判断，能否在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为潜伏期与患者年龄有关；潜伏期8天潜伏期天总计50岁以上（含50）10050岁以下65总计200(3)以这1000名患者的潜伏期超过8天的频率，代替该地区1名患者潜伏期超过8天的概率，每名患者的潜伏期是否超过8天相互独立.为了深入研究，该研究团队随机调查了20名患者，其中潜伏期超过8天的人数最有可能（即概率最大）是多少？附：，其中.【答案】(1)7天(2)列联表见解析，不能认为潜伏期与患者年龄有关(3)6人【分析】（1）直接代入频率分布直方图估计平均值公式；（2）完成列联表，计算再与比较大小；（3）由题知，一名患者潜伏期超过8天的概率为，设20名患者中潜伏期超过8天的人数为，则，再列不等式即可得到答案；(1)平均数（天）.(2)由题设知：潜伏期天数在的频率为，潜伏期天数在的频率为，故200人中潜伏期在上有140人，在上有60人.列联表如下：潜伏期8天潜伏期8天总计50岁以上（含50）752510050岁以下6535100总计14060200，故在犯错误的概率不超过的前提下，不能认为潜伏期与患者年龄有关.(3)由题知，一名患者潜伏期超过8天的概率为，设20名患者中潜伏期超过8天的人数为，则，且，由题意得，即化简得解得，即潜伏期超过8天的人数最有可能是6.感悟升华（核心秘籍）服从二项分布的随机变量概率最大问题的核心解题技巧：①设，则②假设概率最大，则需同时满足：类型三：建立二项分布模型解决实际问题例题1．（2022·全国·高三专题练习）2021年国庆期间，重庆百货某专柜举行庆国庆欢乐大抽奖活动，顾客到店消费1000元及以上，可参加一次抽奖活动．抽奖规则如下：从装有10个形状大小完全相同的小球（1个红球，2个白球，7个黑球）的抽奖箱中，一次性抽出3个球．其中1红2白，则全免单，1红1白1黑，则享受5折优惠，1红2黑，则享受7折优惠，其余情况则享受8折优惠．(1)若某位顾客消费价格为1000元的商品，求该顾客实际付款金额的分布列与数学期望；(2)若顾客通过抽奖享受8折优惠，则每消费满1000元售货员可获得40元的提成；若顾客通过抽奖享受7折，5折或免单优惠，则每消费满1000元售货员可获得20元提成．若某售货员在某天可以接待10名消费满1000元，不满2000元的顾客，则该售货员可能获得的平均提成为多少元？【答案】(1)分布列见解析；期望为元(2)340元(1)该顾客实际付款金额为X元，则X可能为．；，则X的分布列为：X0500700800P，所以该顾客实际付款金额的数学期望为元．(2)设10名顾客中享受8折优惠的人数为Y人，则，售货员获得的提成为Z元，，（元）．答：该售货员可获得的平均提成为340元．感悟升华（核心秘籍）1、判断一个试验服从二项分布后，可直接利用二项分布的公式求数学期望和方差：2、设，则；3、直接利用公式求实际问题中的数学期望和方差，快捷便利.三、题型归类练1．（2022·上海奉贤·高三期中）2022年2月20日，北京冬奥会在鸟巢落下帷幕，中国队创历史最佳战绩.北京冬奥会的成功举办推动了我国冰雪运动的普及，让越来越多的青少年爱上了冰雪运动，某校组织了一次全校冰雪运动知识竞赛，并抽取了100名参赛学生的成绩制作成如下频率分布表：竞赛得分频率0.10.10.30.30.2(1)如果规定竞赛得分在为“良好”，竞赛得分在为“优秀”，从成绩为“良好”和“优秀”的两组学生中，使用分层抽样抽取10个学生，问各抽取多少人？(2)在（1）条件下，再从这10学生中抽取6人进行座谈，求至少有3人竞赛得分都是“优秀”的概率；(3)以这100名参赛学生中竞赛得分为“优秀”的频率作为全校知识竞赛中得分为“优秀”的学生被抽中的概率.现从该校学生中随机抽取3人，记竞赛得分为“优秀”的人数为，求随机变量的分布列及数学期望.【答案】(1)6人，2人(2)(3)分布列见解析，【详解】（1）因为成绩为“良好”和“优秀”的两组频率合计，共人，抽样比为，所以成绩为“良好”的抽取人，成绩为“优秀”的抽取人．（2）抽取的6人中至少有3人竞赛得分都是“优秀”可以分成两类：3个优3个良和4个优2个良，故至少有3人竞赛得分都是“优秀”的概率.（3）由题意知，的可能取值，，，．由题可知，任意1名学生竞赛得分“优秀”的概率为，竞赛得分不是“优秀”的概率为．若以频率估计概率，则服从二项分布，；；；．故的分布列为数学期望.2．（2023·全国·高三专题练习）某社区组织开展“扫黑除恶”宣传活动，为鼓励更多的人积极参与到宣传活动中来，宣传活动现场设置了抽奖环节．在盒中装有9张大小相同的精美卡片，卡片上分别印有“扫黑除恶利国利民”或“普法宣传人人参与”图案．抽奖规则：参加者从盒中抽取卡片两张，若抽到两张分别是“普法宣传人人参与”和“扫黑除恶利国利民”卡即可获奖，否则，均为不获奖．卡片用后放回盒子，下一位参加者继续重复进行．活动开始后，一位参加者问：“盒中有几张‘普法宣传人人参与’卡？”主持人答：“我只知道，从盒中抽取两张都是‘扫黑除恶利国利民’卡的概率是．”(1)求抽奖者获奖的概率；(2)为了增加抽奖的趣味性，规定每个抽奖者先从装有9张卡片的盒中随机抽出1张不放回，再用剩下8张卡片按照之前的抽奖规则进行抽奖，现有甲、乙、丙三人依次抽奖，用X表示获奖的人数，求X的分布列和均值．【答案】(1)(2)答案见解析【详解】（1）设“扫黑除恶利国利民”卡有n张，由＝，得n＝4，故“普法宣传人人参与”卡有5张，抽奖者获奖的概率为＝．（2）在新规则下，每个抽奖者获奖的概率为×＋×＝，所以X～B，则，（k＝0，1，2，3），X的分布列为X0123P所以E(X)＝3×＝．3．（2022·重庆·高三阶段练习）从2008年的夏季奥运会到2022年的冬季奥运会，志愿者身影成为“双奥”之城的“最美名片”.十几年间志愿精神不断深入人心，志愿服务也融入社会生活各个领域.2022年的北京冬奥会共录用赛会志愿者18000多人.中学生志愿服务已经纳入学生综合素质评价体系，为了解中学生参加志愿服务所用时间，某市教委从全市抽取部分高二学生调查2020—2021学年度上学期参加志愿服务所用时间，把时间段按照，，，，分成5组，把抽取的600名学生参加志愿服务时间的样本数据绘制成如图所示的频率分布直方图.(1)根据频率分布直方图，用每一个小矩形的中点值代替每一组时间区间的平均值，估计这600名高二学生上学期参加志愿服务时间的平均数.并写出这600个样本数据的第75百分位数的一个估计值；(2)若一个学期参加志愿服务的时间不少于3.5小时视为“预期合格”，把频率分布直方图中的频率视为该市高二学生上学期参加志愿服务时间的概率，从全市所有高二学生中随机抽取3名学生，设本学期这3名学生中达到“预期合格”的人数为，求的分布列并求数学期望；【答案】(1)平均数：4.35，75百分位数：5.25；(2)分布列见解析，；（1）平均数等于，前3组频率和，加上第4组得，所以75百分位数：；（2）由题可知“预期合格”的概率，从全市所有高二学生中随机抽取3名学生，设本学期这3名学生中达到“预期合格”的人数为，则服从二项分布，的分布列为：X0123P0.0080.0960.3840.512.4．（2022·江苏·苏州市第六中学校三模）2022年冬奥会刚刚结束，比赛涉及到的各项运动让人们津津乐道．高山滑雪（Alpine

Skiing）是以滑雪板、雪鞋、固定器和滑雪杖为主要用具，从山上向山下，沿着旗门设定的赛道滑下的雪上竞速运动项目，冬季奥运会高山滑雪设男子项目、女子项目、混合项目．其中，男子项目设滑降、回转、大回转、超级大回转、全能5个小项，其中回转和大回转属技术项目，现有90名运动员参加该项目的比赛，组委会根据报名人数制定如下比赛规则：根据第一轮比赛的成绩，排名在前30位的运动员进入胜者组，直接进入第二轮比赛，排名在后60位的运动员进入败者组进行一场加赛，加赛排名在前10位的运动员从败者组复活，进入第二轮比赛，现已知每位参赛运动员水平相当．(1)从所有参赛的运动员中随机抽取5人，设这5人中进入胜者组的人数为X，求X的分布列和数学期望；(2)从败者组中选取10人，其中最有可能有多少人能复活？试用你所学过的数学和统计学理论进行分析．【答案】(1)分布列见解析，数学期望为;(2)最有可能有1人能复活．（1）每位运动员进入胜者组的概率为，且，所以，其中．所以，，，所以X的分布列为X012345P其数学期望为．（2）设从败者组选取的10人中有k人复活．因为每位败者组运动员复活的概率为，所以，所以．当最大时，应满足即解得，又因为，所以，即最有可能有1人能复活．5．（2022·江西鹰潭·二模（理））迎接冬季奥运会期间，某市对全体高中学生举行了一次关于冬季奥运会相关知识的测试．统计人员从全市高中学生中随机抽取200名学生成绩作为样本进行统计，测试满分为100分，统计后发现所有学生的测试成绩都在区间［40，100]内，并制成如下所示的频率分布直方图.(1)估计这200名学生的平均成绩（同一组中的数据用该区间的中点值为代表）；(2)在这200名学生中用分层抽样的方法从成绩在，，的三组中抽取了10人，再从这10人中随机抽取3人，记X为3人中成绩在的人数，求X的分布列和数学期望；(3)规定成绩在的为等级，成绩在的为等级，其它为等级.以样本估计总体，用频率代替概率.从所有参加考试的同学中随机抽取10人，其中获得等级的人数恰为人的概率为，当为何值时的值最大？【答案】(1)69.5分；(2)分布列见解析，；(3)4.（1）这200名学生的平均成绩为：（分）.（2）由，，的三组频率之比为，从，，中分别抽取6人，3人，1人，X所有可能取值为0，1，2，3，则，，，，故X的分布列为：X0123故．（3）依题意，等级的概率为，且，所以，而，则，即，解得，因为，所以.6．（2022·江西·南昌十中模拟预测（理））2022年，是中国共产主义青年团成立100周年，为引导和带动青少年重温共青团百年光辉历程，某校组织全体学生参加共青团百年历史知识竞赛，现从中随机抽取了100名学生的成绩组成样本，并将得分分成以下6组：[40，50）、[50，60）、[60，70）、、[90，100]，统计结果如图所示：(1)试估计这100名学生得分的平均数；(2)从样本中得分不低于70分的学生中，用分层抽样的方法选取11人进行座谈，若从座谈名单中随机抽取3人，记其得分在[90，100]的人数为，试求的分布列和数学期望；(3)以样本估计总体，根据频率分布直方图，可以认为参加知识竞赛的学生的得分近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差，经计算．现从所有参加知识竞赛的学生中随机抽取500人，若这500名学生的得分相互独立，试问得分高于77分的人数最有可能是多少？参考数据：，，．【答案】(1)(2)分布列见解析，数学期望为(3)最有可能是79【详解】（1）解：由频率分布直方图可得这100名学生得分的平均数．（2）解：参加座谈的11人中，得分在的有人，所以的可能取值为，，，所以，，．所以的分布列为012∴．（3）解：由（1）知，，所以．记500名学生中得分高于77的人数为，则，其中，∴，，1，2，…，500，则，当时，，当时，，∴得分高于77分的人数最有可能是．7．（2022·湖北·宜昌市夷陵中学模拟预测）“红五月”将至，学校文学社拟举办“品诗词雅韵，看俊采星驰”的古诗词挑战赛，挑战赛分为个人晋级赛和决赛两个阶段.个人晋级赛的试题有道“是非判断”题和道“信息连线”题，其中道“信息连线”题是由电脑随机给出错乱排列的四句古诗词和四条相关的诗词背景（如诗词题名、诗词作者等），要求参赛者将它们一一配对，每位参赛选手只有一次挑战机会.比赛规则为：电脑随机同时给出道“是非判断”和道“信息连线”题，要求参赛者全都作答，若有四道或四道以上答对，则该选手晋级成功.(1)设甲同学参加个人晋级赛，他对电脑给出的道“是非判断”题和道“信息连线”题都有且只有一道题能够答对，其余的题只能随机作答，求甲同学晋级成功的概率；(2)已知该校高三（1）班共有位同学，每位同学都参加个人晋级赛，且彼此相互独立.若将（1）中甲同学晋级的概率当作该班级每位同学晋级的概率，设该班晋级的学生人数为.①问该班级成功晋级的学生人数最有可能是多少？说明理由；②求随机变量的方差.【答案】(1)(2)①或，理由见解析；②【分析】（1）分甲同学答对四道、五道、六道题，分析出是非判断题和信息连线题答对的题的数量，结合独立事件的概率乘法公式可求得所求事件的概率；（2）①分析可知，设最大，可得出，解出的取值范围，即可得解；②利用二项分布的方差公式可求得的值.（1）解：记事件甲同学晋级成功，则事件包含以下几种情况：①事件“共答对四道”，即答对余下的是非判断题，答错两道信息连线题，则.②事件“共答对五道”，即答错余下的是非判断题，答对余下的三道信息连线题，则.③事件“共答对六道”，即答对余下的四道问题，，所以.（2）解：①由题意可知，设最大，则，即，可得，解得，即最有可能取的值为或；②由二项分布的方差公式可得.8．（2022·山西太原·一模（理））某校从高三年级中选拔一个班级代表学校参加“学习强国知识大赛”，经过层层选拔，甲、乙两个班级进入最后决赛，规定回答1道相关问题做最后的评判选择由哪个班级代表学校参加大赛．每个班级4名选手，现从每个班级4名选手中随机抽取2人回答这个问题．已知这4人中，甲班级有3人可以正确回答这道题目，而乙班级4人中能正确回答这道题目的概率均为，甲、乙