2026年大学统计学期末考试题库-抽样调查方法与数据挖掘试题及答案

2026年大学统计学期末考试题库—抽样调查方法与数据挖掘试题及答案一、单项选择题（每题2分，共20分）1.在分层抽样中，若各层样本量按“层内方差越大、样本越多”的原则分配，则该分配方式称为A.比例分配B.内曼分配C.等额分配D.最优分配答案：B解析：内曼分配（Neymanallocation）公式为n_h∝N_hS_h，即层内方差S_h越大，该层样本量n_h越多，可使估计量方差最小。2.使用决策树做分类时，若某节点纯度已无法继续提升，则该节点应标记为A.根节点B.内部节点C.叶节点D.虚拟节点答案：C解析：纯度无法继续提升意味着无需再划分，成为叶节点并赋予类别标签。3.在简单随机抽样中，若总体大小N=1200，样本量n=60，则样本包含概率π_i为A.0.02B.0.05C.0.5D.1答案：B解析：π_i=n/N=60/1200=0.05。4.对高维稀疏文本数据，下列哪种距离度量最易受“零膨胀”影响而失真A.余弦相似度B.曼哈顿距离C.欧氏距离D.杰卡德距离答案：C解析：欧氏距离在零元素极多时，差异被大量“0”稀释，导致判别力下降。5.在聚类评估中，若已知真实标签，则可使用A.轮廓系数B.Calinski-Harabasz指数C.调整兰德指数（ARI）D.戴维森堡丁指数答案：C解析：ARI需要外部真实标签，衡量聚类与真实划分的一致性。6.使用bootstrap估计比率估计量方差时，重抽样次数B通常建议A.20B.50C.200D.2000答案：D解析：现代计算条件下B≥2000可使bootstrap方差估计稳定。7.在PPS抽样中，单元入样概率与辅助变量x_i成比例，若x_i出现极端大值，则可能导致A.估计量方差为零B.估计量偏倚C.设计效应小于1D.某些单元被重复抽中答案：B解析：极端大值使少数单元权重极大，若其y值异常，会放大偏倚。8.随机森林中，对每棵树节点分裂所用候选变量数mtry，若分类任务变量总数p=40，则默认mtry为A.2B.6C.20D.40答案：B解析：R语言randomForest默认mtry=sqrt(p)=√40≈6。9.在抽样调查中，回答率随问卷长度增加而下降，该现象属于A.测量误差B.覆盖不足C.无回答误差D.抽样框误差答案：C解析：问卷过长导致拒答，属于无回答误差来源。10.使用K-means对数据{x_1,…,x_n}聚类，若初始中心落在同一真实簇内，则算法可能A.收敛到全局最优B.出现空簇C.收敛到局部最优D.不收敛答案：C解析：K-means对初值敏感，可能陷入局部最优。二、多项选择题（每题3分，共15分，多选少选均不得分）11.下列哪些技术可有效降低整群抽样设计效应A.增大群内样本量B.减少群规模C.采用事后分层D.使用辅助变量回归估计答案：BCD解析：减少群规模可降低群内相关；事后分层与回归估计可提高精度；增大群内样本量反而可能增加设计效应。12.关于SMOTE算法，正确的是A.对少数类随机插值生成新样本B.会改变多数类分布C.可降低过拟合风险D.适用于连续与离散混合变量答案：AC解析：SMOTE仅合成少数类，不改变多数类；对离散变量需改进算法如SMOTE-NC。13.在复杂抽样设计中，下列哪些量需通过加权估计A.总体总量B.总体均值C.回归系数D.样本方差答案：ABC解析：复杂抽样需用权重w_i=1/π_i估计总量、均值及模型参数；样本方差为描述性统计，不需推断总体。14.使用LASSO做变量选择时，增大惩罚参数λ可导致A.更多变量系数被压缩至零B.训练集RSS单调不减C.测试集预测误差一定下降D.模型方差降低答案：ABD解析：λ增大，变量被剔除，训练误差上升但模型方差下降；测试误差呈U型，不一定下降。15.在抽样权重校准（calibration）中，可用作辅助信息的变量需满足A.总体总量已知B.与目标变量相关C.与inclusionprobability独立D.无测量误差答案：AB解析：校准需已知总体总量且与目标变量相关，其余非必须。三、判断题（每题2分，共10分，正确打“√”，错误打“×”）16.在拒绝抽样中，若提案分布g(x)与目标分布f(x)形状差异大，则接受概率低，效率下降。答案：√解析：接受概率α=f(x)/[Mg(x)]，形状差异大导致M需大，α降低。17.使用K-fold交叉验证时，K越大，偏差一定越小，方差一定越大。答案：×解析：K增大，训练集比例增高，偏差减小，但方差未必单调增，极端K=n时方差反而高。18.在分层抽样中，若层界按目标变量y的分布划分，则称该分层为“事后分层”。答案：×解析：按y划分属“最优分层”，事后分层指抽样后利用辅助变量重新分组。19.随机森林的OOB误差是训练集的无偏估计，因此可直接代替测试集误差。答案：×解析：OOB为内部估计，虽无偏但仍有波动，不能完全替代独立测试集。20.对非平衡面板数据，若采用“完全案例删除”处理缺失，则可能导致选择偏倚。答案：√解析：删除会系统性丢失某些特征样本，造成参数估计偏倚。四、简答题（每题8分，共24分）21.简述在抽样调查中使用“回归估计”提高精度的原理，并给出总体均值估计量的表达式。答案：回归估计利用辅助变量x与目标变量y的线性关系，构造估计量ȳ_reg=ȳ+β(X̄–x̄)其中ȳ、x̄为样本均值，X̄为总体已知均值，β为样本回归系数。通过消除x̄与X̄的随机波动，降低ȳ_reg的方差。若模型设定正确，方差减少量为β²Var(x̄)。22.说明决策树预剪枝与后剪枝的差异，并指出哪种在大数据环境下更常用及原因。答案：预剪枝在生长过程中通过阈值（如最小叶样本数、最大深度）提前停止，速度快但可能欠拟合；后剪枝先长成完整树再自底向上剪去不显著分支，精度高但计算量大。大数据下常用预剪枝，因后剪枝需存储整棵树且遍历代价高，预剪枝结合早期停止可分布式实现，节省内存与时间。23.给出“设计效应”（deff）的定义，并解释为何整群抽样的deff通常大于1。答案：deff=复杂抽样估计量方差/相同样本量的简单随机抽样方差。整群抽样中，群内单元往往正相关（ICC>0），导致有效样本量降低，方差增大，故deff>1。公式deff≈1+(b-1)ρ，其中b为群规模，ρ为组内相关系数。五、计算与推导题（共31分）24.（10分）某高校欲估计本科生月均生活费，采用分层抽样，分大一、大二、大三、大四4层，各层人数N_h与标准差S_h如下：层h：1234N_h：2000180016001400S_h：260220200180若总样本量n=400，试按内曼分配计算各层样本量n_h，并给出总均值估计量方差表达式。答案：内曼分配n_h=n·(N_hS_h)/Σ(N_hS_h)计算分子：2000×260=5200001800×220=3960001600×200=3200001400×180=252000总和=1488000n_1=400×520000/1488000≈139.8→140n_2=400×396000/1488000≈106.5→107n_3=400×320000/1488000≈86.0→86n_4=400×252000/1488000≈67.7→67总均值估计量ȳ_st=Σ(N_h/N)ȳ_h，其中N=6800方差Var(ȳ_st)=Σ(N_h/N)²(1n_h/N_h)S_h²/n_h代入即可得数值。25.（10分）给定二维数据{(x_i,y_i)}，i=1…n，证明加权最小二乘（WLS）估计量β̂=(XᵀWX)⁻¹XᵀWy是总体超总体模型E[y]=Xβ的BLUE，并说明权重矩阵W与抽样设计的关系。答案：模型设Var(y)=σ²V，V为已知对角阵。令W=V⁻¹，则GLS估计量β̂具有Gauss-Markov性质，方差最小。在抽样中，若单元方差与inclusionprobability相关，可取w_i=1/(π_iσ²)，则W为对角阵，WLS等价于设计加权回归，兼顾抽样设计与异方差，故为BLUE。26.（11分）某电商拥有客户交易数据，目标变量为“是否复购”。现采用随机森林建模，变量含连续型（近30天消费金额）与分类型（品类偏好）。训练集正负样本比例1:9，共50万条。（1）给出处理类别不平衡的两种方案并比较优劣；（2）若模型在测试集（10万条）上表现：AUC=0.87，F1=0.42，分析可能原因并给出改进措施；（3）解释为何OOB曲线在树数>800后仍波动，并给出稳定策略。答案：（1）方案A：欠采样多数类至与少数类平衡，优点训练快、内存小，缺点丢失大量信息，模型方差高。方案B：SMOTE+ENN，先合成少数类再清洗边界，优点保留信息、提升召回，缺点可能生成噪声、计算量大。大数据下推荐B，因50万条下计算可接受，且信息保留充分。（2）AUC高说明排序能力强，F1低反映阈值0.5下精确或召回低。原因：正负比例悬殊，模型倾向预测负类，导致真正例少。改进：调整阈值至最优F1点（如0.2），或采用代价敏感学习，将假阴性权重设为9倍。（3）OOB波动源于高维稀疏及强相关变量，树数增加仍可能因随机种子差异导致袋外预测小幅变化。稳定策略：增大单棵树样本量（降低树方差），或采用重复平均：多次运行取OOB均值，或改用cv-error。六、综合应用题（共40分）27.（20分）某市统计局欲估计老旧小区加装电梯意愿比例。总体=1200栋楼，采用二阶整群抽样：第一阶段PPS抽取30个小区（共600栋），第二阶段每小区简单随机抽取2栋楼，共60栋。已知：（1）小区规模M_i与楼栋意愿比例P_i强相关，ρ≈0.8；（2）第一阶段抽取概率π_i∝M_i；（3）调查获得栋水平数据，y_j=1表示愿意，0否则。任务：a)写出总体比例估计量及其方差估计步骤；b)若样本比例p̂=0.65，估计设计效应；c)若预算允许再增加60栋，比较两种方案：A.再抽30小区每区2栋；B.原30小区每区再增2栋。哪种更优？答案：a)采用二阶PPS+SRS估计量：p̂=(ΣΣy_j/(π_iπ_{j|i}))/(ΣΣ1/(π_iπ_{{j|i}}))其中π_i=30M_i/ΣM_i，π_{j|i}=2/M_i。方差用Sen-Yates-Grundy公式：Var̂(p̂)=Σ_{i<i'}(π_{ii'}-π_iπ_{i'})(t_i/π_it_{i'}/π_{i'})²/(π_{ii'}π_iπ_{i'})+Σ_i(M_ichoose2)⁻¹(12/M_i)Σ_{j<j'}(y_jy_{j'})²/2b)设计效应计算：先按简单随机抽样方差公式Var_SRS=p̂(1-p̂)/n，再求deff=Var̂(p̂)/Var_SRS。代入得deff≈2.1，表明整群+PPS使方差翻倍。c)方案A增加新群，可降低群内相关带来的方差；方案B加深原群，deff几乎不变。故A更优，预计方差减少约30%。28.（20分）某医疗研究机构收集基因表达数据，维度p=20000，样本n=800，目标预测癌症亚型（3类）。采用流程：Step1方差过滤+Wilcoxon检验筛至500基因；Step2LASSO多分类（family=multinomial）选变量；Step3用选出的变量训练SVM（RBF核）。交叉验证平均准确率仅72%，远低于文献85%。分析潜在问题并给出系统改进方案，要求：（1）指出至少3处技术缺陷；（2）给出每一步可替换的先进方法并说明理由；（3）给出完整验证策略避免信息泄露。答案：（1）缺陷：①过滤+Wrapper两阶段选变量导致选择偏倚，测试信息提前泄露；②高维下Wilcoxon检验忽略基因间相关，丢失协同效应；③LASSO对多类别分组效应处理不足，且未调α；④SVM未做内核参数调优；⑤未考虑样本不平衡，亚型3仅10%。（2）改进：Step1改用稳定性选择（StabilitySelection）或最小冗余最大相