第02讲排列组合（复习讲义）

第02讲排列、组合目录TOC\o"13"\h\u01考情解码・命题预警 202体系构建·思维可视 303核心突破·靶向攻坚 3知能解码 3知识点1排列与组合的概念 4知识点2排列数与组合数 4知识点3排列数、组合数的公式及性质 5题型破译 5题型1排列数与组合数的计数 5题型2直接法 6题型3间接法 8题型4捆绑法与插空法 9题型5分组与分配问题 10题型6定序问题 12题型7相同元素分配问题 1404真题溯源·考向感知 1505课本典例·高考素材 16考点要求考察形式2025年2024年2023年（1）排列与组合的概念（2）排列数、组合数的公式及性质单选题多选题填空题解答题2025年上海卷第9题，5分2024年上海卷第10题，5分2023年甲卷（理）第9题，5分2023年乙卷（理）第7题，5分2023年全国Ⅰ卷第13题，5分考情分析：从近三年的全国卷的考查情况来看，本节是高考常考内容，以考查基本概念和基本方法为主，涉及特殊元素与特殊位置、两元索相邻或不相邻、分组、分配等问题，分值为5分．本节内容与生活实际联系紧密，考生可适当留意常见的排列组合现象，如体育赛事排赛、彩票规则等，培养数学应用的思维意识．复习目标：（1）理解排列、组合的概念．（2）能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式．（3）能利用排列组合解决简单的实际问题．知识点1排列与组合的概念名称定义排列按照一定的顺序排成一列，叫做从个元素中取出个元素的一个排列组合作为一组，叫做从个元素中取出个元素的一个组合自主检测从6个不同的甜筒中选出4个送给4位同学，每人1个，不同的送法种数是（

）．A．360 B． C．24 D．【答案】A【详解】根据题意，从6个不同的甜筒中选出4个送给4位同学相当于从6个不同元素中选4个进行排列，故选：A.知识点2排列数与组合数（1）排列数：（2）组合数：自主检测下列选项正确的是（

）【答案】D故选：D知识点3排列数、组合数的公式及性质A．5 B．6或5 C．7 D．7或8【答案】B故选：B.题型1排列数与组合数的计数A．0 B．56 C．1 D．42【答案】A故选：A.【答案】ABD故选：ABD【答案】34故答案为：．【答案】5或7故答案为：5或7.【答案】8所以，故答案为：8题型2直接法例21甲乙丙等人站在一排，且甲不在两端，乙和丙中间恰好有两人，则不同排法共有（

）A．24种 B．16种 C．12种 D．8种【答案】B【详解】因为甲一定在乙丙之间，否则将在两端，先排乙丙有种排法，其次选一人在乙丙中间有种排法，然后乙丙中间排序有种排法，最后另一人选在排头排尾有种排法，故选：B.例22用0，1，2，3，4这5个数字组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有个．【答案】30故答案为：30【变式训练21】在全国人口普查过程中，甲、乙、丙、丁四位普查员要去A、B、C三个小区进行数据采集，若甲普查员不能去A小区，且每个小区至少去一名普查员，每人只能去一个小区．则不同的安排方法共有（

）A．24种 B．36种 C．6种 D．12种【答案】A所以共24种．故选：A【变式训练22】五种不同商品在货架上排成一排，而C，D两种不能连排，则不同的排法共有（

）种．A．24 B．72 C．36 D．42【答案】B【详解】先安排除了C，D两种外的三种商品，共有种方法，并形成4个空，再把C，D安排到形成的4个空中，有种方法，故选：B【答案】18所以安排方案共有18种．故答案为：18.题型3间接法例31某中学为了弘扬我国二十四节气文化，特制作出二十四节气宣传橱窗，其中“雨水”，“惊蛰”，“谷雨”，“芒种”，“白露”，“寒露”6块知识展板放置在排成一排的六个文化橱窗里，要求“雨水”和“谷雨”两块展板不相邻，且“白露”与“寒露”两块展板不相邻，则不同放置方式的种数为（

）A．144 B．240 C．336 D．456【答案】C故选：C.例32从八个连续整数中任取三个数，若取出的三个数中任意两个数之差不为1，则这样的取法总数为．【答案】20【详解】八个连续整数不妨设为1,2,3,4,5,6,7,8,其中三个连续数有6种，分别为1,2,3；2,3,4；3,4,5；4,5,6；5,6,7；6,7,8；三个数中只有两个数连续，比如1,2，剩余第三个数需从4,5,6,7,8中任选1个，有5种，同理7,8，剩余第三个数需从1,2,3,4,5中任选1个，有5种，比如2,3，剩余第三个数需从5,6,7,8中任选1个，有4种，同理，3,4；4,5；5,6；6,7均有4种，综上，从八个连续整数中任取三个数，若取出的三个数中任意两个数之差不为1，故答案为：20．【变式训练31】有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，乙和丙不相邻．则不同排列方式共有（

）A．12种 B．24种 C．48种 D．72种【答案】C【详解】先考虑甲的站位，可选中间3个位置，不考虑乙和丙位置相邻不相邻，然后考虑其中乙和丙位置相邻的情况，即将乙和丙看作一个元素，和丁、戊全排列，在这3个元素之间形成的两个位置上选一个将甲插入，故选：C【变式训练32】某公司从10名大学生中招聘4名工作人员，甲、乙两人至少有一人入选的不同选法种数为（

）A．90种 B．140种 C．196种 D．256种【答案】B【详解】依题意，从10名大学生中任取4名有种方法，甲乙都未取到的有种方法，故选：B【变式训练33】某班级一天排六节课，上午四节，下午两节．有3节不同的文化课、2节不同的艺术课和1节体育课，要求排出一个课表．上午第一节课和下午最后一节课都是艺术课，有种排法；上午有艺术课，且体育课不排在上午第一节，有种排法．【答案】48564【详解】若上午第一节课和下午最后一节课都是艺术课，若上午有艺术课，且体育课不排在上午第一节，则有：故答案为：48；564.题型4捆绑法与插空法例41将4辆车停放到5个并排车位上，由于甲车的车体较宽，停放时需要占两个车位，并且乙车与甲车相邻停放，则不同的停放方法种数为（

）A．6 B．12 C．18 D．24【答案】B【详解】因为客车甲占两个车位且乙车与客车甲相邻停放，所以将乙车与客车甲捆绑，看成一个车有种排法，与余下的两辆车全排有种排法，故选：B.例42两名老师和甲、乙等五名学生站成一排，要求甲不站最左边，两名老师相邻，且乙和老师不相邻，则不同的排法共有（

）A．774种 B．796种 C．816种 D．834种【答案】C【详解】不考虑甲的排列限制，先不排乙和两名老师，其他人任意排列有种排法，故选：C．【变式训练41】6名同学排成一排照相，则其中甲、乙不相邻的不同排法种数为（

）A．240 B．480 C．960 D．1920【答案】B故选：B【变式训练42】据典籍《周礼·春官》记载，“宫、商、角、徵、羽”这五音是中国古乐的基本音阶，成语“五音不全”就是指此五音.若把这五个音阶全部用上，排成一个五音阶音序，则“徵”和“羽”之间恰好有一个音阶的排法种数为种.(用数字作答)【答案】故答案为：【变式训练43】某校的5名团员利用周日到市养老院参加义务劳动．已知5名团员中有3位女生，2位男生，活动结束后5名团员站成一排拍照留念，若两名男生之间有女生，则排法总数有种．（用数字作答）【答案】故答案为：.题型5分组与分配问题例51为了提升数学素养，甲、乙、丙等五名同学打算选修学校开设的数学拓展课程，现有几何画板、数学与生活、趣味数学、数独四门课程可供选修，每名同学均需选修且只能选修其中一门课程，每门课程至少有一名同学选修，则甲不选修几何画板，且数独只能由乙和丙中一人或两人选修的情况的种数为（

）A．48 B．50 C．52 D．54【答案】C根据分类加法计数原理和分步乘法计数原理，数独只有1人报名的选择情况种数为：若数独有2人报名（乙和丙），有1种情况，故选：C.例52六本不相同的书发给4个人，每人至少一本，且书全部分完，则所有不同的分配方法种数为.【答案】1560故共有1560种不同的分配方法.故答案为：1560.【变式训练51】某市派4名专家到西部某市2家医院坐诊，每家医院至少派1名专家，且每名专家只去1家医院，则不同的分配方案种数为（

）A．20 B．18 C．16 D．14【答案】D【详解】先分组，再分配，分组有2种情况：将分好的组分配到两个不同的医院，有2种情况，故选：D【变式训练52】将6名志愿者安排到4个不同的社区进行创文共建活动，要求每个社区至少安排1名志愿者，每名志愿者只能到一个社区，则不同排法共有（

）A．480种 B．1560种 C．2640种 D．640种【答案】B【详解】首先将6名志愿者分成1，1，1，3，或1，1，2，2两种分组形式，故选：B【变式训练53】近期，哈尔滨这座“冰城”火了，2024年元旦假期三天接待游客300多万人次，神秘的鄂伦春族再次走进世人的眼帘，这些英雄的后代讲述着英雄的故事，让哈尔滨大放异彩．现安排6名鄂伦春小伙去三个不同的景点宣传鄂伦春族的民俗文化，每个景点至少安排1人，则不同的安排方法种数是．【答案】540故答案为：540.【变式训练54】《数术记遗》记述了我国古代十余种算法.甲、乙、丙三人拟收集该书中运筹算、九宫算、了知算、成数算和把头算等5种算法的相关资料，要求每人至少收集其中一种，且每种算法只由一个人收集，则不同的分工收集方案有种.【答案】150故答案为：150.题型6定序问题例61现有12件商品摆放在货架上，摆成上层4件下层8件，现要从下层8件中取3件调整到上层，若其他商品的相对顺序不变，则不同调整方法的种数是（

）A．8400 B．11760 C．13440 D．20160【答案】B故选：B例62重庆外国语学校第34届外语节于2025年5月22日举行，高二某班6名同学参加节目表演，表演完后老师为这6名同学合影留念.合影时4人先到2人后到，为节约时间，先到的4人排好队，后来的2人加入并保持排好队同学的相对顺序不变，这两名同学共有多少种加入方法（

）A．10 B．20 C．60 D．30【答案】D【详解】6人全排有中排序方法，故选：D【变式训练61】2025年4月23日是第三十个世界读书日．将2，0，2，5，4，2，3这些数字排成一排组成一个七位数，则不同的七位数有（

）个．A．480 B．600 C．720 D．840【答案】C故选：C.【变式训练62】高二（1）班5位同学排成一排准备照相时，又来了2位同学要加入，若保持原来5位同学的相对顺序不变，则不同的加入方法种数为（

）A．42 B．30 C．21 D．15【答案】A【详解】7位同学排成一排照相，共有种排法，原来5位同学的排列方法有种，故选：A【变式训练63】某班10名同学一起参加数学竞赛，赛后老师为这10名同学拍合影留念，前排站4人后排站6人，后来老师决定从后排6人中抽出两名同学站到前排，其他同学的相对顺序不变，则共有多少种调整方法（

）A．150 B．300 C．900 D．450【答案】D【详解】首先从后排的6人中选出2人，有种结果，然后与前排4人排列，有种排法，因为同学的相对顺序不变，则前排4人不要再排，故选：D.题型7相同元素分配问题例7120个不加区别的小球放入编号为1、2、3的三个盒子中，要求每个盒内的球数不小于它的编号数，则不同的放法种数共有（

）A．120 B．240 C．300 D．360【答案】A【详解】先往2号，3号盒内分别放入1个球和2个球，此时每个盒子至少还需放入1个球，将剩下的17个球排成一排，有16个空隙，插入2块隔板分为三堆放入三个盒中即可，故选：A【答案】【详解】由题意，问题可看作求12个小球分成3组，且每组至少有一个小球的分法数，故答案为：【变式训练71】现有9个三好学生的名额分给甲、乙、丙、丁4个班级，若每个班级至少1个名额，则不同的分配方法有（

）A．504种 B．126种 C．84种 D．56种【答案】D故选：DA．171 B．190 C．342 D．380【答案】A【详解】因为x，y，z均为正整数，故选：A【变式训练73】某校庆典活动开场舞安排高中三个年级的16名学生共同完成，要求每个年级至少安排1名学生，则名额的分配方案共有（

）A．105种 B．455种 C．120种 D．560种【答案】A【详解】取16个元素排成一排，在相邻的每两个元素形成的15个间隙中选取2个插入隔板，这样就把16个元素分成3个区间，这3个区间的元素个数分别对应这3个年级的学生名额，则名额的分配方案的种数与隔板插入方法的种数相等．故选：A.1．（2023·全国甲卷·高考真题）现有5名志愿者报名参加公益活动，在某一星期的星期六、星期日两天，每天从这5人中安排2人参加公益活动，则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有（

）A．120 B．60 C．30 D．20【答案】B故选：B.2．（2023·全国乙卷·高考真题）甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有（

）A．30种 B．60种 C．120种 D．240种【答案】C【详解】首先确定相同得读物，共有种情况，然后两人各自的另外一种读物相当于在剩余的5种读物里，选出两种进行排列，共有种，故选：C.3．（2024·上海·高考真题）设集合中的元素皆为无重复数字的三位正整数，且元素中任意两个不同元素之积皆为偶数，求集合中元素个数的最大值．【答案】329【详解】由题意知集合中且至多只有一个奇数，其余均是偶数．首先讨论三位数中的偶数，故答案为：329．4．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有种（用数字作答）．【答案】64（2）当从8门课中选修3门，故答案为：64.1．如图，现要用5种不同的颜色对某市的4个区县地图进行着色，要求有公共边的两个地区不能用同一种颜色，共有几种不同的着色方法？（

）

A．120 B．180 C．221 D．300【答案】B【详解】当Ⅰ，Ⅳ同色时，则Ⅰ有种涂色方法，Ⅱ有种涂色方法，Ⅰ，Ⅳ不同色时，则Ⅰ有种涂色方法，Ⅳ有种涂色方法，故选：B.2．填空题.（1）有3张参观券，要在5人中确定3人去参观，不同方法的种数是；（2）要从5件不同的礼物中选出3件分别送3位同学，不同方法的种数是；（3）5名工人各自在3天中选择1天休息，不同方法的种数是；（4）集合A有m个元素，集合B有n个元素，从两个集合中各取1个元素，不同方法的种数是.【答案】1060（3）每一个工人都有3种选择方法，故5名工人不同方法的种数有种.故答案为：10；60；；3．一名同学有4本不同的数学书，5本不同的物理书，3本不同的化学书，现要将这些书放在一个单层