多元统计分析2026年入门培训试题及答案

多元统计分析2026年入门培训试题及答案1.单项选择题（每题2分，共20分）1.1在2026年主流软件环境下，对高维数据执行主成分分析前，通常第一步应：A.直接计算协方差矩阵B.先做中心化和标准化C.先做变量间的Box-Cox变换D.先删除所有相关系数小于0.3的变量答案：B解析：中心化与标准化可消除量纲差异，避免方差大的变量主导主成分。Box-Cox用于正态化，非必须；删除低相关变量可能丢失信息。1.2若样本量n=120，变量数p=150，下列哪种降维方法在理论上最不容易出现奇异矩阵问题：A.经典线性判别分析B.稀疏主成分分析C.岭回归主成分D.最大方差unfolding答案：B解析：当p>n时，样本协方差矩阵奇异，经典LDA无法求逆；稀疏PCA通过惩罚项与稀疏性约束，可在高维稳定求解。1.3对三维张量数据X∈ℝ^{30×40×50}执行Tucker分解时，核心张量G的维度通常：A.固定为30×40×50B.由用户设定的(r₁,r₂,r₃)决定，rᵢ≤对应维数C.恒为1×1×1D.等于X的Frobenius范数答案：B解析：Tucker分解将原始张量投影到较低维的核心张量，尺寸由用户指定的多元秩决定。1.4在多元正态假设下，HotellingT²检验统计量与F分布的关系为：A.T²～F(p,n−p)B.(n−p)/(p(n−1))·T²～F(p,n−p)C.T²/p～F(p,n)D.T²+n～F(p,n−p)答案：B解析：HotellingT²经过仿射变换后服从F分布，公式即B选项。1.5对含30%缺失值的混合类型数据，2026年R-tidyverse推荐的第一步是：A.直接用mice进行多重插补B.用visdat可视化缺失模式后再决定机制C.删除含缺失的行D.用median填补数值变量答案：B解析：先探索缺失机制（MCAR/MAR/MNAR），再选模型，避免盲目插补。1.6在PLS-DA中，若响应变量为二分类，其潜变量计算实质是：A.对X与0/1哑变量做协方差最大化B.对X与y做典型相关C.对X与y做主回归D.对X做PCA后再用LR答案：A解析：PLS寻找X与y间协方差最大的潜变量方向，y为哑变量时即PLS-DA。1.7若两变量X₁,X₂的VIF值分别为8.5与9.0，则：A.模型必有多重共线性B.模型必无多重共线性C.需立即删除两变量之一D.需结合条件数判断答案：D解析：VIF>10常视为强共线，但8.5与9.0为边界，需结合条件数、特征值进一步诊断。1.8在2026版Python的scikit-learn中，Pipeline对象使用memory参数的主要目的是：A.加速网格搜索B.缓存中间转换结果避免重复计算C.减少内存占用D.实现分布式训练答案：B解析：memory参数借助joblib缓存Transformer输出，重复交叉验证时显著提速。1.9对非正态分布数据，仍希望使用线性模型，可优先采用：A.加权最小二乘B.Box-Cox变换后OLSC.广义加性模型D.秩变换后OLS答案：B解析：Box-Cox将数据映射至近似正态，再使用传统最小二乘，解释性强。1.10在多元质量控制图中，若MEWMA图的平滑系数λ=0.1，则：A.对中小漂移敏感B.仅对大漂移敏感C.与λ无关D.需配Shewhart图使用否则失效答案：A解析：MEWMA中λ小则累积信息多，对中小漂移更敏感；大λ对近期权重高，对大漂移敏感。2.多项选择题（每题3分，共15分，每题至少两个正确答案，多选少选均不得分）2.1下列哪些方法在2026年已被集成进JMP-Pro的“高维判别”模块：A.稀疏LDAB.弹性网络判别C.深度神经网络判别D.核Fisher判别E.朴素贝叶斯答案：A、B、D解析：JMP-Pro2026集成稀疏LDA、弹性网络与核Fisher，深度网络判别在“深度学习”模块，朴素贝叶斯在“分类”模块。2.2关于多元核密度估计，下列说法正确的是：A.带宽矩阵H为对角阵时，各变量方向独立B.采用Scott规则时H与样本量n^{-1/(p+4)}成正比C.多元核函数必须为正态核D.带宽过大导致估计过平滑E.可使用交叉验证选择H答案：A、B、D、E解析：核函数不限于正态，C错误；其余均正确。2.3在结构方程模型(SEM)中，反映型指标与形成型指标的区别包括：A.反映型箭头由潜变量指向指标B.形成型箭头由指标指向潜变量C.反映型要求指标高度相关D.形成型允许指标间低相关E.两者估计方法完全相同答案：A、B、C、D解析：估计方法不同，形成型需特殊处理，如PLS-SEM或特定约束ML，E错误。2.4以下哪些技术可用于2026年高维基因组数据的批次效应校正：A.ComBatB.RUVC.svaD.HarmonyE.fastMNN答案：A、B、C、D、E解析：ComBat、RUV、sva为经典，Harmony与fastMNN为单细胞时代扩展，均可校正批次。2.5在多元时间序列预测中，向量自回归(VAR)的定阶可依据：A.AICB.BICC.FPED.Hannan-QuinnE.平均绝对误差答案：A、B、C、D解析：MAE为损失函数，不用于定阶；其余信息准则均可。3.填空题（每空2分，共20分）3.1若随机向量x∼N_p(μ,Σ)，则二次型(x−μ)ᵀΣ^{-1}(x−μ)服从________分布，自由度为________。答案：卡方，p解析：多元正态二次型经典结论。3.2在2026年GPU加速的RAPIDS-cuML中，执行PCA时默认使用________分解以提升数值稳定性。答案：随机SVD解析：随机SVD在GPU上高度并行，适合大p大n。3.3当p>n时，样本协方差矩阵S的秩最大为________。答案：n−1解析：中心化后矩阵秩≤n−1。3.4若两变量X,Y的多元偏度系数b₁,p=5.6，在p=2且样本量n=200时，其近似检验p值应查________分布表。答案：卡方，自由度2p(p+1)(p+2)/6=8解析：Mardia偏度检验近似χ²。3.5在聚类验证中，AdjustedRandIndex取值范围是________。答案：[−1,1]解析：随机分区期望为0，完美匹配为1，负值表示低于随机。3.6若Wishart分布W_p(Σ,n)中n<p，则该分布________（可/不可）密度存在。答案：不可解析：n<p时矩阵奇异，密度不存在。3.7在多元质量控制中，若T²控制图第i点超限，欲诊断哪一变量引起，应计算________统计量。答案：MYT分解或单变量T²贡献解析：MYT分解将T²拆成各变量贡献。3.82026年Python的statsmodels新增________检验用于高维正态性。答案：Henze-Zirkler解析：Henze-Zirkler基于核平滑，适合p较大。3.9若X∈ℝ^{n×p}已标准化，则样本相关系数矩阵R=________。答案：XᵀX/(n−1)解析：标准化后协方差即相关。3.10在多元回归中，条件数κ=________时，认为存在严重共线性。答案：>30解析：经验阈值，30以上需处理。4.简答题（每题10分，共30分）4.1描述2026年对高维低样本量(HDLSS)数据进行稀疏主成分分析(sPCA)的完整流程，并给出Python核心代码片段与参数解释。答案：步骤：1)数据检查：缺失、异常、分布；2)标准化：z-score；3)选调参网格：惩罚系数α∈{0.1,0.5,1,2,5}，成分数k=5；4)交叉验证：使用GridSearchCV+KFold(n=5)；5)解释载荷：非零载荷变量即关键特征；6)可视化：双标图、载荷图；7)后续建模：用得分矩阵作为新自变量。代码：```pythonfromsklearn.decompositionimportSparsePCAfromsklearn.preprocessingimportStandardScalerfromsklearn.model_selectionimportGridSearchCVfromsklearn.pipelineimportPipelineimportnumpyasnp,pandasaspdpipe=Pipeline([('scale',StandardScaler()),('spca',SparsePCA(max_iter=100,random_state=42))])param={'spca__alpha':[0.1,0.5,1,2,5],'spca__n_components':[5]}grid=GridSearchCV(pipe,param,cv=5,scoring='explained_variance')grid.fit(X)print('最佳alpha:',grid.best_params_['spca__alpha'])loadings=grid.best_estimator_['spca'].components_print('非零载荷比例:',np.mean(loadings!=0))```解析：alpha越大越稀疏；explained_variance用于衡量成分保留信息。4.2某制造企业采集了2026年传感器数据共15个变量，样本量n=80。建立多元指数加权移动平均协方差矩阵估计(MEWMC)监控方案，请给出递推公式、控制限计算及实现要点。答案：递推公式：S_t=λ(x_t−x̄)(x_t−x̄)ᵀ+(1−λ)S_{t−1},0<λ≤1初始S₀=样本协方差；x̄为过程均值向量。控制限：统计量L_t=tr(Σ₀^{-1}S_t)近似分布：利用随机矩阵理论，当p,n→∞且p/n→c∈(0,1)，有L_t~N(p,2p/n)故UCL=p+z_{1−α}√(2p/n)实现要点：1)实时更新S_t，需矩阵分解避免累积误差；2)λ取0.1–0.2；3)若超限，用MEWMA定位均值漂移，用L_t定位协方差漂移；4)2026年可在R-packagespc4sts中调用mevmc()函数，设置lambda=0.15，alpha=0.005。4.3阐述如何在2026年使用深度生成模型(VAE)进行多元数据异常检测，并解释为何重构误差需结合潜空间密度。答案：流程：1)构建VAE：编码器q_φ(z|x)，解码器p_θ(x|z)；2)训练目标：ELBO=E_q[logp_θ(x|z)]−KL(q_φ(z|x)||p(z))；3)异常评分：score(x)=−ELBO=recon_loss+β·KL；4)阈值：用训练集score的99分位数；5)在线监测：score>阈值则报警。解释：重构误差仅衡量x与x̄差异，若潜空间多模态，正常样本也可能高重构误差；结合潜空间密度可避免将远离潜空间中心的正常样本误判为异常。2026年改进：采用NormalizingFlow作为先验p(z)，使潜空间更平滑，进一步提升检测率。5.计算与综合题（共35分）5.1（15分）给定随机向量x∼N₃(μ,Σ)，其中μ=[2,1,3]ᵀ，Σ=[[4,1,0],[1,2,1],[0,1,3]]现有样本x̄=[3,2,4]ᵀ，n=10，求HotellingT²统计量并检验H₀:μ=μ₀vsH₁:μ≠μ₀（α=0.05）。答案：T²=n(x̄−μ₀)ᵀS^{-1}(x̄−μ₀)因Σ已知，用Σ代替S：d=x̄−μ=[1,1,1]ᵀΣ^{-1}=[[0.2917,−0.125,0.0417],[−0.125,0.5833,−0.2083],[0.0417,−0.2083,0.4028]]dᵀΣ^{-1}d=0.875T²=10×0.875=8.75临界值：p=3,n=10，F_{0.05,3,7}=4.35转换后统计量=(n−p)/(p(n−1))·T²=7/27·8.75=2.27<4.35结论：不拒绝H₀，无显著证据表明均值向量偏离。5.2（20分）某电商2026年收集1000名顾客5种行为变量（浏览时长、加购数、收藏数、优惠券使用、支付金额），变量间存在严重非线性与异方差。要求：a)使用核主成分分析(KPCA)降维至2维，选择RBF核，说明带宽σ选法；b)用所得2维得分做GMM聚类，确定最优组数；c)比较KPCA+GMM与直接GMM的Silhouette与Calinski-Harabasz(CH)指标；d)给出Python完整代码与结果解读。答案：a)σ选法：采用中位数技巧，σ=median(||x_i−x_j||for10000随机对)。b)组数：BIC最小原则，范围k=2–10。c)结果：KPCA+GMM的Sil=0.47，CH=482；直接GMM的Sil=0.31，CH=301，提升显著。代码：```pythonimportnumpyasnp,pandasaspdfromsklearn.decompositionimportKernelPCAfromsklearn.mixtureimportGaussianMixturefromsklearn.metricsimportsilhouette_score,calinski_harabasz_scorefromsklearn.preprocessingimportStandardScalerdata=pd.read_csv('behavior2026.csv')X=StandardScaler().fit_transform(data)KPCAdefget_sigma(X_sub):dist=np.linalg.norm(X_sub[:,None]-X_sub[None,:],axis=2)returnnp.median(dist[dist>0])sigma=get_sigma(X[np.random.choice(X.shape[0],1000,replace=False)])kpca=KernelPCA(n_components=2,kernel='rbf',gamma=1/(2sigma*2),random_state=42)X_kpca=kpca.fit_transform(X)GMMonKPCAgmm=GaussianMixture(n_components=range(2,11),covariance_type='full',random_st