统计学基础知识考核试题题库及答案

统计学基础知识考核试题题库及答案1.单选题1.1某校抽样调查120名学生的每日手机使用时间，得到平均值为4.3小时，标准差为1.2小时。若将原始数据全部乘以0.5后再同时减去0.8小时，则新样本的均值与标准差分别为A.1.35h，0.6hB.2.15h，0.6hC.1.35h，1.2hD.2.15h，1.2h答案：A解析：线性变换y=ax+b的均值μ_y=aμ_x+b，标准差σ_y=|a|σ_x。此处a=0.5，b=–0.8，故μ_y=0.5×4.3–0.8=1.35h，σ_y=0.5×1.2=0.6h。1.2设随机变量X服从参数λ=3的泊松分布，则P(X=2)等于A.9e⁻³/2B.3e⁻³C.e⁻³D.4.5e⁻³答案：A解析：泊松概率质量函数P(X=k)=λ^ke^{-λ}/k!，代入k=2得3²e^{-3}/2!=9e^{-3}/2。1.3在简单随机抽样中，样本容量n增大时，样本均值的抽样分布A.偏度绝对值增大B.峰度绝对值增大C.标准误减小D.方差增大答案：C解析：样本均值的标准误为σ/√n，n增大则标准误减小，分布更集中于总体均值附近。1.4对同一总体进行两次独立抽样，容量分别为10与40，测得样本方差分别为s₁²与s₂²，则A.s₁²一定是s₂²的无偏估计B.s₂²的抽样波动小于s₁²C.两者均值为总体方差的无偏估计D.两者合并方差一定大于s₁²答案：B解析：样本方差作为统计量本身具有随机性，容量越大其抽样分布越集中，波动越小；合并方差需加权，未必大于s₁²；无偏性针对期望而非单次观测。1.5在线性回归模型y=β₀+β₁x+ε中，若ε~N(0,σ²)且满足高斯-马尔可夫假定，则β₁的最小二乘估计量β̂₁的抽样分布为A.t分布，自由度n–2B.正态，均值为β₁，方差σ²/SxxC.正态，均值为β₁，方差σ²/nD.卡方，自由度n–2答案：B解析：β̂₁是y的线性组合，y正态则β̂₁正态；其方差为σ²/Sxx，其中Sxx=Σ(xi–x̄)²。1.6设X~N(μ,9)，抽取n=16的样本，检验H₀:μ=50vsH₁:μ≠50，显著性水平α=0.05，临界值为A.±1.645B.±1.96C.±2.12D.±2.58答案：B解析：σ已知，使用Z检验，双侧0.05对应±1.96。1.7在列联表χ²独立性检验中，若期望频数小于5的单元格比例超过20%，应优先A.增大样本量B.使用Fisher精确检验C.合并相邻行或列D.直接报告χ²值答案：C解析：合并可提升期望频数，保持检验近似有效；若结构不允许合并，再考虑Fisher或增大样本。1.8对时间序列做一阶差分后，序列的自相关函数迅速衰减至0，说明原序列A.存在线性趋势B.为白噪声C.为平稳序列D.存在季节波动答案：A解析：差分可消除趋势，差分后接近白噪声则原序列含趋势成分。1.9若随机变量X的矩母函数M_X(t)=(1–2t)^{-4}，t<1/2，则X的方差为A.8B.16C.32D.4答案：C解析：此为Gamma分布矩母函数，形状k=4，尺度θ=2，方差kθ²=4×4=32。1.10Bootstrap置信区间的“百分位法”直接采用A.样本统计量的标准误B.重抽样统计量的α/2与1–α/2经验分位数C.t分布临界值D.正态近似答案：B解析：百分位法以bootstrap分布的相应分位数作为区间端点，无需正态或t假设。2.多选题2.1下列关于中心极限定理的描述正确的有A.要求总体必须正态B.样本均值分布随n增大趋于正态C.总体方差有限是充分条件之一D.适用于样本比例E.要求样本独立同分布答案：BCDE解析：中心极限定理不要求总体正态，但需iid、有限方差；样本比例可看作均值特例。2.2在多元线性回归中，多重共线性可能导致A.参数估计方差膨胀B.t检验显著但模型整体F检验不显著C.回归系数符号与理论相反D.残差平方和急剧下降E.VIF值大于10答案：ACE解析：共线性使信息重叠，方差增大、符号反转、VIF升高；F检验仍可能显著；残差平方和不会因此急剧下降。2.3下列属于非参数检验方法的有A.Mann-WhitneyU检验B.Kruskal-Wallis检验C.Wilcoxon符号秩检验D.符号检验E.Durbin-Watson检验答案：ABCD解析：Durbin-Watson用于检验自相关，属回归诊断，非非参数检验。2.4关于贝叶斯估计，正确的有A.后验分布∝似然×先验B.损失函数为平方误差时，后验均值是Bayes估计C.随着样本量增加，先验影响减弱D.必须采用无信息先验E.可信区间频率学派意义下的覆盖概率等于置信水平答案：ABC解析：D错，可采用有信息先验；E错，可信区间与置信区间哲学不同，覆盖概率不保证等于名义水平。2.5下列指标可用于衡量分类模型性能的有A.ROC曲线下面积AUCB.F1分数C.对数损失D.平均绝对误差MAEE.马修斯相关系数MCC答案：ABCE解析：MAE用于回归，余者均可评估分类性能。3.判断题3.1若两变量相关系数r=0，则它们一定独立。答案：错误解析：r=0仅表示无线性相关，非线性关系可能存在，独立性更强。3.2在假设检验中，p值越大，拒绝原假设的证据越强。答案：错误解析：p值越小证据越强；p值大表明数据与原假设兼容。3.3对右偏总体，样本均值的抽样分布随n增大趋于对称。答案：正确解析：中心极限定理保证均值的抽样分布趋近正态，对称性增强。3.4若回归模型出现异方差，则最小二乘估计量不再无偏。答案：错误解析：异方差下OLS仍无偏，但不再有效，标准误需修正。3.5在ARIMA(0,1,1)模型中，一阶差分后序列服从MA(1)。答案：正确解析：ARIMA(0,1,1)即对原序列差分后得到MA(1)。4.填空题4.1设X~B(n=50,p=0.2)，用正态近似计算P(X≤10)时，连续性校正后的标准化统计量为______。答案：Z=(10.5–50×0.2)/√(50×0.2×0.8)=0.5/√8≈0.177解析：均值np=10，方差np(1–p)=8；连续性校正加0.5。4.2在单因素方差分析中，组间均方MSB=120，组内均方MSE=30，因素有4个水平，每水平样本量8，则F统计量为______。答案：120/30=4解析：F=MSB/MSE。4.3若随机变量X的密度函数f(x)=2x，0≤x≤1，则E(X)=______。答案：∫₀¹x·2xdx=2/3解析：直接求期望积分。4.4对某总体做无放回抽样，总体容量N=500，样本量n=50，总体比例p=0.1，则样本比例的标准误为______。答案：√[0.1×0.9/50×(500–50)/(500–1)]≈0.0387解析：有限总体修正因子√[(N–n)/(N–1)]。4.5在线性回归中，决定系数R²=0.81，则因变量的变异中被模型解释的比例为______%。答案：81解析：R²即解释比例。5.计算题5.1某生产线袋装食品标称质量500g。随机抽取25袋测得平均495g，样本标准差10g。假设质量服从正态分布，检验是否显著低于标称值（α=0.05）。答案：H₀:μ=500，H₁:μ<500t=(495–500)/(10/√25)=–2.5自由度24，单侧临界值–1.711–2.5<–1.711，拒绝H₀，认为平均质量显著低于500g。解析：总体标准差未知，用单样本t检验。5.2为比较两种化肥对小麦产量的影响，随机区组设计，8个地块分别施用A、B两种肥料，得产量差值d（kg）：4.5,3.2,–1.0,0.8,2.7,5.1,1.9,3.6。检验两种肥料是否显著差异（α=0.05）。答案：差值均值d̄=2.6，差值标准差s_d≈1.96t=2.6/(1.96/√8)≈3.75，自由度7，双侧临界±2.365|3.75|>2.365，拒绝H₀，认为两种肥料产量差异显著。解析：配对t检验。5.3设X~N(μ,16)，欲使μ的95%置信区间宽度不超过2，求最小样本量。答案：宽度=2×z_{0.025}×σ/√n≤22×1.96×4/√n≤2⇒√n≥7.84⇒n≥61.47取整62。解析：宽度公式直接反解。5.4某电商网站点击转化率历史值3%，现改版后1000次点击转化40次，检验是否显著提高（α=0.05）。答案：H₀:p=0.03，H₁:p>0.03Z=(0.04–0.03)/√(0.03×0.97/1000)≈1.84单侧临界1.645，1.84>1.645，拒绝H₀，认为转化率显著提高。解析：大样本正态近似。5.5已知随机变量X的密度f(x)=θx^{θ–1}，0<x<1，θ>0。基于样本x₁,…,xₙ，求θ的极大似然估计。答案：似然L=∏θx_i^{θ–1}=θⁿ(∏x_i)^{θ–1}对数似然lnL=nlnθ+(θ–1)Σlnx_i求导d/dθ=n/θ+Σlnx_i=0⇒θ̂=–n/Σlnx_i解析：常规MLE推导。6.综合应用题6.1某城市地铁公司记录14个工作日早高峰乘车人数（万人）：28.3,27.9,29.1,28.7,29.8,30.2,29.5,28.9,29.0,29.3,28.6,29.4,30.0,29.7。(1)计算均值、标准差及中位数；(2)使用Shapiro-Wilk检验正态性（α=0.05），给出结论；(3)若正态，求平均乘车人数95%置信区间；(4)预测下一个工作日乘车人数90%预测区间。答案：(1)x̄≈29.25，s≈0.684，中位数29.25(2)软件得W=0.974，p值=0.91>0.05，不拒绝正态假设(3)置信区间：29.25±t_{0.025,13}×0.684/√14=29.25±0.39→(28.86,29.64)(4)预测区间：29.25±t_{0.05,13}×s√(1+1/14)=29.25±1.23→(28.02,30.48)解析：依次使用描述统计、正态检验、均值的置信区间及新观测的预测区间公式。6.2研究人员建立Logistic回归预测客户违约，变量：x₁为月收入（千元），x₂为历史逾期次数，x₃为是否拥有房产（1是0否）。拟合得：logit(p)=–3.2+0.02x₁+0.45x₂–0.8x₃(1)解释x₃系数含义；(2)某客户月收入12k，逾期2次，无房产，求违约概率；(3)计算x₂的边际效应（保持其余变量均值）；(4)若样本量1000，违约100人，求模型基线准确率与最大可能准确率。答案：(1)在收入与逾期次数相同情况下，拥有房产者违约对数优势降低0.8，优势比为e^{-0.8}≈0.45，即风险降低55%(2)logit=–3.2+0.02×12+0.45×2–0=–2.06，p=1/(1+e^{2.06})≈0.113(3)边际效应=β₂·p(1–p)≈0.45×0.113×0.887≈0.045，即逾期次数增加1，违约概率上升约4.5个百分点(4)基线准确率=max(违约率,1–违约率)=90%；最大可能准确率为100%解析：Logistic系数解释、概率转换、边际效应公式及基线定义。6.3某工厂质检抽取10批零件，每批50件，记录不合格数：2,3,1,4,2,5,3,2,1,3。(1)构建p控制图，计算中心线与上下控制限；(2)有点出界吗？(3)若过程稳定，估计过程平均不合格率；(4)若要求不合格率不超过2%，需至少抽检多少件，才能以90%把握发现真实不合格率升至5%？答案：(1)总不合格26，总抽检500，平均不合格率p̄=0.052UCL=p̄+3√[p̄(1–p̄)/50]=0.052+0.094=0.146LCL=0.052–0.094=–0.042→取0(2)各点不合格率：0.04,0.06,0.02,0.08,0.04,0.10,0.06,0.04,0.02,0.06，均在0–0.146内，无出界(3)过程平均不合格率估计5.2%(4)单样本比例检验，H₁:p=0.05，H₀:p=0.02，单侧Z_{0.9}=1.28n≥[1.28√(0.02×0.98)+1.28√(0.05×0.95)]²/(0.05–0.02)²≈203解析：控制图公式、稳定性判断及样本量计算。6.4为研究温度对化学反应产率的影响，实验设置5个温度梯度，每个温度重复4次，得方差分析表：来源SSdfMSF温度480412015误差60154总计54019(1)完成上表；(2)温度效应是否显著（α=0.01）？(3)计算温度解释的变异比例；(4)若第3温度组