重庆市荣昌区2025-2026学年第一学期九年级期末数学试题（含解析）

荣昌区2025—2026学年度第一学期期末学业质量测试九年级数学试题（全卷共8页三个大题，满分150分，考试时间120分钟）注意事项：1．答题前、务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上；2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题的答案标号涂黑，若需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号；3．答非选择题时，必须用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上；4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效；5．本卷中，计算结果如果是无理数，在没有特殊说明的情况下，保留根号或π．参考公式：抛物线的顶点坐标为，对称轴公式为．一、选择题：（本大题共10个小题，每小题4分，满分40分）每一个小题都给出代号为A，B，C，D的四个结论，其中只有一个是正确的，把正确结论的代号填涂在答题卡的相应位置上．1.的绝对值是（）．A. B.或 C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查了绝对值的意义，掌握绝对值的意义是解题的关键．【详解】解：∵当时，，∴，故选：C．2.以下标识图案中，既是中心对称图形又是轴对称图形的个数是（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，熟练掌握如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形是解题的关键．根据轴对称图形与中心对称图形定义，即可判断.【详解】解：第一张图既不是轴对称，也不是中心对称；第二张图是轴对称，不是中心对称；第三张图既是轴对称，也是中心对称；第四张图既是轴对称，也是中心对称；故既是中心对称图形又是轴对称图形的图是第三个、第四个，共2个，故选：B．3.已知方程有一个根是2，则m的值是（）A.9 B.2 C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查了一元二次方程的解，能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．根据题意，是方程的一个根，将其代入方程即可求解m．【详解】解：由题意可知，是方程的根，代入得，即，整理得，解得．故选：C．4.已知，分别是方程的两个实数根，则的值是（）A. B. C.3 D.1【答案】B【解析】【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据一元二次方程根与系数的关系：，直接计算两根之积即可解答．【详解】解：∵，分别是方程的两个实数根，其中，，，∴两根之积．故选：B．5.抛物线的对称轴是直线（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查了二次函数的性质，掌握二次函数的对称轴为直线是解题的关键．直接利用二次函数顶点式的性质求解即可．【详解】解∵，∴对称轴为直线．故选A．6.如图，，是半径，，点是上一点，连接，，则的度数是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】此题主要考查了圆周角定理，解题的关键是掌握圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．得出优弧所对的圆心角，即可得出的度数．【详解】解：∵劣弧所对的圆心角为，∴优弧所对的圆心角为，故优弧所对的圆周角，故选D．7.下列事件：①在一男三女四个同学中，随机抽取一人上台演讲，抽到的是女同学；②翻开数学书，恰好翻到奇数页；③射击运动员射击一次，命中靶心．其中必然事件的个数是（）A.0 B.1 C.2 D.3【答案】A【解析】【分析】本题考查了必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据概念逐项判断每个事件是否为必然事件即可解答．【详解】解：①∵总共有4个同学，其中1男3女，∴抽到女同学不是必然事件；②∵书的页码有奇数和偶数，∴翻到奇数页不是必然事件；③∵射击运动员可能命中也可能不命中靶心，∴命中靶心不是必然事件；∴三个事件都不是必然事件，必然事件的个数为0．故选：A．8.如图，中，，，，以点为圆心、为半径画弧，分别交于点，以点为圆心、为半径画弧，交于点，则图中阴影部分面积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查了扇形面积公式，平行四边形的性质，含的直角三角形，勾股定理，明确题意，熟知知识点是解决本题的关键．过点作交于点，由勾股定理，可求出的长度，再利用的面积减去扇形、扇形的面积即可得出答案．【详解】解：过点作交于点，如下图所示：∵，，∴，得，由勾股定理得，∵，，∴，∵，∴，∴扇形的面积为，扇形的面积为，的面积为，∴阴影部分面积为，故选D．9.如图，矩形中，，，点E为边的中点，将线段绕点E旋转得到线段，点F恰好落在对角线上，连接，则的长度是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】连接，先利用勾股定理求得，通过旋转的性质，结合等边对等角和三角形内角和定理可推出，进而可得；过点B作于点H，易证，然后根据相似三角形对应边成比例，可求得、、，从而得到，最后利用勾股定理即可解得．【详解】解：如图，连接，∵点E为边的中点，将线段绕点E旋转得到线段，点F恰好落在对角线上，∴，∴，，∵，∴，即，∴，∵矩形中，，，∴，，，，∴，，∴，∴，∴，过点B作于点H，如图所示，则，，∴，∴，即，∴，，∴，∴．故选：B．本题考查了矩形的性质，旋转的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，等边对等角，三角形内角和定理等，灵活运用以上知识点，作出合适的辅助线构建相似三角形是解题的关键．10.对于实数（且）进行如下n次操作：；；；…；．下列说法：①若，则；②若是整数，则；③的值可能为．其中正确的个数是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查了分式的加减乘除运算、解一元二次方程，根据题意找出数字的变化规律解题的关键．根据题意找规律，再进行分式的运算求解．通过代数简化发现序列具有周期性：当为奇数时，当为偶数时，周期为，据此分析各说法．【详解】解：∵，，类似地，，，故序列周期为.①∵，∴若，则，正确.②∵，∴若为整数，设（整数），则，当时，错误．③总和，共项（偶数），每对和，∴，若S等于，则，即，∵，∴此方程无实数解，错误．∴仅①正确．故选：B．二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上．11.“荣昌四宝”是指荣昌折扇、荣昌陶、荣昌夏布、荣昌猪，现从某文创商店这“四宝”文创书签中挑选种作为纪念，则挑选到“荣昌猪”的概率是_____．【答案】【解析】【分析】本题考查了列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解题的关键．用分别表示荣昌折扇、荣昌陶、荣昌夏布、荣昌猪，先画树状图展示所有种等可能的结果，再找出选到“荣昌猪”的结果数，然后根据概率公式计算．【详解】解：用分别表示荣昌折扇、荣昌陶、荣昌夏布、荣昌猪，画树状图：共有种等可能的结果，挑选到“荣昌猪”（）结果数为种，故挑选到“荣昌猪”的概率是．故答案为：．12.若m为正整数，且满足，的值是_____【答案】16【解析】【分析】本题主要考查了无理数的估算、有理数乘方等知识点，确定m的值是解题的关键．通过比较与相邻整数的平方，确定m的值，再计算即可解答．【详解】解：∵，，且，∴，∵∴，即．故答案为：16．13.用一条的长绳围成一个面积为的矩形，则矩形的长与宽之差是______m．【答案】2【解析】【分析】此题主要考查了方程组的应用，完全平方公式，掌握和的完全平方与差的完全平方之间关系是解题关键．设矩形的长为x米，宽为y米，根据周长和面积列出方程组，利用完全平方公式求差．【详解】解：设长为x米，宽为y米，则，即，，，即长与宽之差为．故答案为：2．14.若实数m，n同时满足，，的值是______．【答案】【解析】【分析】本题主要考查了解一元一次方程、代数式求值、绝对值方程等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键．由第二个方程解出n关于m的表达式，再代入第一个方程，根据绝对值的性质分两种情况分别求出m和n的值，然后代入求的值即可．【详解】解：由，得．代入，得，即．当时，，解得：，不符合，舍去；当时，，解得：，符合条件．此时．验证：，均满足．故．故答案为．15.如图，中，，，以为弦作恰好与边相切于点B，点E为的中点，连接交于点F，则的半径长度是______，的长度是______．【答案】①.②.【解析】【分析】本题主要考查平行四边形的性质，圆的性质，圆切线的定义，解直角三角形及相似三角形的性质，掌握相关性质定理是解题的关键．连接，先证三点共线，得到，设半径为，在中，利用勾股定理可得，过作交于，设，则，在中，利用勾股定理解得，进而得到，再根据即可求解．【详解】解：连接，点E为的中点，，又恰好与边相切于点B，，为平行四边形，，，，即三点共线，，设半径为，则，在中，，即，解得，过作交于，，，即，设，则，，，在中，，即，整理得，解得或（舍去），，，．故答案为：；．16.如果一个四位自然数的各位数字互不相等且均不为0，满足，那么称这个四位数为“双九数”．例如四位数5247，各位数字互不相等且均不为0，满足，∴5247是“双九数”．最小的“双九数”是______；若一个“双九数”除以7余数为2，则满足条件的“双九数”的最大值与最小值的差是______．【答案】①.1287②.6930【解析】【分析】本题主要考查了新定义应用，整式的加减等知识点，熟练掌握新定义并加以应用是解题的关键．对于第一个空，寻找最小的四位数，满足条件且，且数字互不相等且不为0．由于a为千位数字，从1开始尝试，令，则；为使数最小，b取最小值2，则，得到1287，且数字互异，故最小“双九数”为1287．对于第二个空，首先推导“双九数”的一般表达式为，由除以7余数为2，结合，，得到除以7余数为1．枚举a从1到8，求满足除以7余数为1的b值，并验证数字互异条件，得到所有满足条件的“双九数”分别为1584，4356，5742，6435，7128，7821，8514，其中最小值为1584，最大值为8514，差值为6930．【详解】解：对于第一个空：由于a是千位数字，且数字不为0，故．要使数最小，a取1，则．b需满足与a和c数字不同，且不为0，则b最小取2，则．此时数字1，2，8，7互不相等，故最小“双九数”为1287．对于第二个空：“双九数”可表示为．由除以7余数为2，即除以7余数为2．，，除以7余数为2，即除以7余数为1．枚举a从1到8：时，，数字互异，；时，，但，无效；时，，但，即，无效；时，，数字互异，；时，，数字互异，；时，，数字互异，；时，故或，时，数字互异，；时，数字互异，；时，，数字互异，；满足条件的“双九数”为1584，4356，5742，6435，7128，7821，8514．最小值为1584，最大值为8514，差值为．故答案为：；．三、解答题：（本大题共9个小题，第17-18小题各8分，其余每题各10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．17.求不等式组：的所有整数解的和．【答案】【解析】【分析】本题主要考查一元一次不等式组的解集，通过解集确定所有整数解，从而确定整数解的和，熟练掌握不等式组的解法是解题关键．先求出两个不等式各自的解集，然后依据不等式组解集口诀：同大取大，同小取小，小大大小中间找，大大小小无处找，确定不等式组的解集，找出所有整数解求和即可得．【详解】解：，解不等式①，，解得；解不等式②，，解得；则不等式组的解为，它的所有整数解为，因此，不等式组的所有整数解的和为．18.在学习了正方形之后，“读写”数学学习小组进行了拓展性研究．他们发现正方形的一个有趣的结论，现在你作为他们小组的同伴，请根据他们的想法和思路，完成以下作图和填空：第一步：作垂线．如图，在正方形中，点E是边上一点，连接．用尺规完成基本作图：过点D作的垂线，交于点G，垂足为点F．第二步：利用全等证明．证明：∵四边形是正方形，∴①______，．∴．∵，∴②______．∴．∴③______．∴．∴．【答案】作图见解析；，，．【解析】【分析】本题主要考查了尺规作图、正方形的性质、全等三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键．运用尺规过一点作直线的垂线即可完成作图；由正方形的性质可得、，即；由垂直的定义可得，即，进而得到；运用可证明，最后根据全等三角形的性质即可证明结论．【详解】解：如图：即为所求；证明：∵四边形是正方形，∴，．∴．∵，∴．∴．∴，∴．∴．故答案为：，，．19.我区开展“初中数学阅读”知识竞赛，并从甲、乙两学校学生中各随机抽取10名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩得分用x表示，共分成四组：A．，B．，C．，D．），下面给出部分信息：甲学校抽取的10名学生的竞赛成绩：82，83，85，87，90，92，92，93，96，97．乙学校抽取的10名学生的竞赛成绩在C组中的数据是：91，92，93，94．甲、乙学校抽取的学生的竞赛成绩统计表学校平均数中位数众数甲89.791乙89.784根据以上信息，解答下列问题：（1）直接写出a，b，c的值；（2）根据以上数据，你认为甲乙两个学校中，哪个学校学生知识竞赛成绩更优异?请说明理由（写出一条理由即可）；（3）甲学校有600人、乙学校有800人参加了此次知识竞赛，估计这两个学校参加此次竞赛成绩优秀（达到90分）的学生共有多少人?【答案】（1），，（2）见解析（3）840【解析】【分析】本题考查频数分布表，扇形统计图，中位数，众数，平均数，方差，解题关键是明确题意，利用数形结合的思想求解．（1）用整体1减去其它所占的百分比即可求出，根据中位数和众数的定义即可得到结论；（2）根据平均数、中位数和众数的意义解答即可；（3）根据样本的频率估计总体即可．【小问1详解】解：，即，乙学校名学生的竞赛成绩的中位数是第5和第6个数据的平均数，，在甲学校名学生的竞赛成绩中出现的次数最多，；【小问2详解】解：乙学校学生竞赛成绩较好，理由：虽然甲乙学校的平均分均为分，但乙学校的中位数高于甲学校，所以乙学校学生知识竞赛成绩更优异．（答案不唯一）；【小问3详解】解：甲学校抽取的10名学生竞赛成绩优秀（达到90分）的学生有人，估计甲学校600人竞赛成绩优秀有（人）；乙学校名学生竞赛成绩优秀（达到90分）的学生占，估计乙学校800人竞赛成绩优秀有（人）；（人）估计这两个学校参加此次竞赛成绩优秀（达到90分）的学生共有840人．20.先化简，再求值：，其中．【答案】，【解析】【分析】本题考查了分式的化简求值、零指数幂、负整数指数幂，熟练掌握运算法则是解题的关键．先对分式进行化简，再对进行计算得到最终的值，代入即可．【详解】解：，，，，，∵，将代入，原式．21.荣昌陶是中国三大名陶之一、我区某荣昌陶销售店有，两种陶产品，已知种产品的售价比种产品的售价多元/件,去年月份最后一周，该店销售的种产品数量与种产品数量相同，产品销售总额为元，比该周产品销售总额多元．（1）求该店、两种荣昌陶产品的销售单价各是多少元?（2）今年第一周、该店对这两种产品进行销售处理．与去年月最后一周相比，对种产品售价每降低元、销售数量将增加件，种产品单价提高元销售，销售数量没有变化．该店这两种产品的销售总额比去年月最后一周多元，该店对种产品每件售价降低多少元?【答案】（1）种产品的销售单价是元/件，种产品的销售单价是元/件（2）【解析】【分析】本题考查分式方程与一元二次方程的应用，准确理解题意是解题的关键．（1）设种产品销售单价是元/件，种产品的销售单价是元/件，根据题意，列出分式方程，求解即可；（2）令种产品每件售价降低元，则销售数量将增加件，根据题意，列出一元二次方程，求解即可．【小问1详解】解：设种产品的销售单价是元/件，种产品的销售单价是元/件，故可得方程，解得，符合题意要求，故种产品的销售单价是元/件，种产品的销售单价是元/件．【小问2详解】解：去年月、销售量为件，令种产品每件售价降低元，则销售数量将增加件，种产品销售量为件，种产品销售量不变，为件，根据题意，得出方程，化简得，解得（舍去），故对种产品每件售价降低50元．22.如图1，矩形中，，，动点P从点A出发，以每秒1个单位速度沿折线方向运动到点B停止，同时点以每秒0.5个单位的速度，从点A运动到点C，点P停止时点停止运动，设点P运动的时间为x秒，的面积为，的面积为．（1）直接写出，分别关于x的函数表达式并注明自变量x的取值范围；（2）在图2给定的直角坐标系中画出函数，图象，并分别写出函数，的一条性质；（3）结合函数图象，直接写出时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）．【答案】（1），（2）见解析（3）或【解析】【分析】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，一次函数，相似三角形的判定与性质，正确理解题意求出对应的函数关系式是解题的关键．（1）先分、得到的面积，过作，根据，得到，再计算面积即可；（2）作出图像，直接写出相关性质即可；（3）结合函数图象，直接写出x的取值范围即可．【小问1详解】，，，当时，过作，，，，即，解得，，当时，在上，，，当时，一直在上，过作，，,，即，解得，；，；【小问2详解】图象如下：当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；当时，随的增大而减小；【小问3详解】当时，令，即，解得，当时，令，即，解得，结合函数图象，直接写出时x的取值范围为或（答案不唯一，合理即可）．23.如图，四边形是公园小湖、四边形各边构成环湖步道，点在点的正东方向，点在点的东北方向，点在点的正北方向，点在点的北偏西方向，点是步道的中点．测得米，米．（参考数据：，）（1）计算步道的长度（计算结果保留根号）；（2）小斌同学步行从去往处，他有两条路线可以选择：①；②．请计算说明他选择线路①还是线路②路程更短．（计算结果保留到米）【答案】（1）米（2）线路①路程更短【解析】【分析】本题考查勾股定理的实际应用，含30度角的直角三角形，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，添加辅助线构造直角三角形是解题的关键．（1）过点作交于点，过点作交于点，根据特殊直角三角形的边长关系以及四边形为矩形，先求出、的长度，在计算出、的长度，可得出的长度，即可得出的长度；（2）分别求出路线①、路线②的路程，进行比较即可得出结果．【小问1详解】解：过点作交于点，过点作交于点，如下图所示：∵点在点的北偏西方向，∴，又∵，得，∴米，由勾股定理得，∵，∴四边形为矩形，∴米，∴米，∵，，∴为等腰直角三角形，∴米，∴米．【小问2详解】解：由（1）可得米，∵点是的中点，∴米，∴线路①的路程为米，线路②的路程为米，∵，故线路②路程更短．24.已知抛物线与轴交于点，与x轴交于点和点，连接．（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图1，点是线段下方抛物线上的一动点，过点作轴交线段于点，点是轴上一动点，点是抛物线对称轴上一动点，当线段取得最大值时，求点的坐标及的最小值；（3）点是抛物线上一动点，当时，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点坐标的其中一种情况的过程．【答案】（1）函数表达式为（2）点的坐标为；的最小值为（3）当时，点的坐标为或【解析】【分析】本题考查二次函数与几何综合，熟练掌握相关知识点和准确添加辅助线是解题的关键．（1）利用待定系数法进行求解即可；（2）先得出直线的函数表达式，用表示点、的坐标，得出的长度，求出当最大时对应的值，得出点的坐标，利用轴对称的性质，作点关于轴的对称点，作点关于抛物线对称轴所在直线的对称点，得出，由此判断的最小值为的长度，结合，可求出的长度，即可得到的最小值；（3）根据点的位置进行分类讨论，对应不同位置的点，过点作交于点，过点作轴于点，过点作的垂线，并交的延长线于点，则有，证明，利用参数表示点的坐标，由边长等量关系得出用参数表示点的坐标，结合二次函数表达式，可求出对应的点坐标，最后即可得出点对应的坐标．【小问1详解】解：∵点、点在抛物线上，得，解得，故函数表达式为．【小问2详解】解：当时，，解得或，故点，令直线函数表达式为，将点、代入，得，解得，故直线函数表达式为，令点，则点，∴，∴，故当时，最大，此时，此时点的坐标为，作点关于轴的对称点，作点关于抛物线对称轴所在直线的对称点，如下图所示：则，，则，，∴，∴的最小值为的长度，由，，得，∴点的坐标为；的最小值为．【小问3详解】解：当点在直线下方时，过点作交于点，过点作轴于点，过点作的垂线，并交的延长线于点，则有，如下图所示：∵，，∴三角形为等腰直角三角形，∴，∵，∴，,∴，又∵，∴，∴，，点在直线上，令点坐标为，∴，，则，点的横坐标为，故点的坐标为，∵点在抛物线上，故可得，解得（舍去）或，当，，，此时点的坐标为；当点在直线上方时，过点作交于点，过点作轴于点，过点作的垂线，并交的延长线于点，则有，如下图所示：∵，，∴三角形为等腰直角三角形，∴，∵，∴，,∴，又∵，∴，∴，，点在直线上，令点坐标为，∴，，则，点的横坐