2021届四川省绵阳市高三第三次诊断数学(文)试题(含解析)

试卷第=page22页，总=sectionpages33页2021届四川省绵阳市高三第三次诊断数学（文）试题一、单选题1．已知集合，则（）A． B．C． D．【答案】B【分析】先求出集合A，再根据补集的定义即可求出.【详解】或，.故选：B.2．若复数满足，则复数在复平面内对应的点在（）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】D【分析】先求出复数，进而得到其对应点所在象限.【详解】,∴复数在复平面内对应的点（2，-1）在第四象限，故选：D3．若，满足约束条件则的最小值为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据不等式组作出可行域，然后采用平移直线法求解出目标函数的最小值.【详解】作出可行域如下图所示：当直线经过点时，此时纵截距最小，即有最小值，又，解得，所以，所以，故选：B.【点睛】思路点睛：利用线性规划求解线性目标函数最值的步骤：（1）根据不等式组作出可行域；（2）采用平移直线法将直线的纵截距与目标函数的最值联系在一起；（3）通过平移直线确定出直线纵截距的最值，从而目标函数最值可求.4．在统计学中，同比增长率一般是指和去年同期相比较的增长率，环比增长率一般是指和上一时期相比较的增长率.根据下图，2020年居民消费价格月度涨跌幅度统计折线图，下列说法错误的是（）A．2020年全国居民每月消费价格与2019年同期相比有涨有跌B．2020年1月至2020年12月全国居民消费价格环比有涨有跌C．2020年1月全国居民消费价格同比涨幅最大D．2020年我国居民消费价格中3月消费价格最低【答案】D【分析】根据同比与环比的概念，结合图中数据对选项一一判断即可.【详解】对于A，观察图中同比曲线，除11月份同比为-0.5，其余均是正值，所以2020年全国居民每月消费价格与2019年同期相比有涨有跌，A正确.对于B，观察图中环比曲线，有正有负，如2月份0.8，3月份-1.2，环比有涨有跌，B正确.对于C，观察图中同比曲线，1月份同比增加5.4，大于其他月份同比值，故2020年1月全国居民消费价格同比涨幅最大，C正确.对于D，观察图中环比曲线，3月份环比值-1.2，4月份-0.9，易知4月份消费价格比3月份低，故D错误.故选：D.5．已知圆关于直线对称，圆交轴于，两点，则（）A． B． C． D．【答案】A【分析】由已知圆关于直线对称，把圆心代入直线求出a，利用垂径定理求.【详解】圆的标准方程为：，圆心C：，半径.因为圆关于直线对称，所以，解得：a=4，所以圆心C：，.所以圆心到x轴距离为1，由垂径定理得：.故选：A【点睛】求圆锥曲线的弦长：（1）特别的：圆中求弦长用垂径定理；抛物线求焦点弦弦长用抛物线的焦点弦弦长公式：；（2）“设而不求法”，利用弦长公式求弦长，这是求弦长的一般方法.6．已知函数是定义在上的偶函数，当时，.则不等式的解集为（）A． B．C． D．【答案】C【分析】讨论当时，可得；当，由偶函数性质得出，由不等式可求解.【详解】当时，，由可得，即，解得；当时，，则，又是偶函数，，由可得，即，解得，综上，的解集为.故选：C.7．在平行四边形中，，，点为边的中点，若，则（）A． B． C． D．【答案】C【分析】建立平面直角坐标系，利用坐标法即可得到结果.【详解】∵，∴，如图建立平面直角坐标系，，∴，∴，故选：C8．已知，，，则，，的大小关系为（）A． B．C． D．【答案】B【分析】先把a、b、c化为“同构”形式，利用函数的单调性判断大小.【详解】∵，∴，因为为增函数，所以，所以.故选：B【点睛】指、对数比较大小：（1）结构相同的，构造函数，利用函数的单调性比较大小；（2）结构不同的，寻找“中间桥梁”，通常与0、1比较.9．已知数列满足：，，则（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由已知关系求得数列是等比数列，由等比数列通项公式可得结论．【详解】由题意，由得，即，所以数列是等比数列，仅比为4，首项为4，所以．故选：C．10．设函数的部分图象如图所示，且满足.则的最小正周期为（）A． B．16 C． D．【答案】A【分析】根据图象可以确定最小正周期的取值范围，结合正弦型函数的周期公式进行求解即可,【详解】因为，所以，设函数的最小正周期为，由图可知：，因为，所以有，因为，所以，所以，因此，故选：A11．已知圆锥的顶点和底面圆周都在球面上，圆锥的侧面展开图的圆心角为，面积为，则球的表面积等于（）A． B． C． D．【答案】A【分析】由圆锥侧面展开图求得圆锥的母线和底面半径，作出圆锥的轴截面，其外接圆是球的大圆，由图形求得球半径，从而可得球表面积．【详解】设圆锥母线为，底面半径为，则，解得，如图，是圆锥轴截面，外接圆是球的大圆，设球半径为，，，，，所以球表面积为．故选：A．【点睛】方法点睛：本题考查求球的表面积，解题关键是求得球的半径．在球圆锥或圆柱、圆台问题中可以作出圆柱（圆锥，圆台）的轴截面，轴截面的外接圆为球的大圆，由此建立了球半径与圆柱（圆锥圆台）的量之间的关系．12．已知点为抛物线的焦点，点在上，线段的垂直平分线交轴于点，则（）A． B． C． D．【答案】D【分析】由题知，设点，进而得，再求出线段的垂直平分线的方程为：，进而得，再计算即可得答案.【详解】因为点为抛物线的焦点，故，设点，则，由抛物线的定义得：故直线的斜率为，线段的中点坐标为：，所以线段的垂直平分线的方程为：，故令得，所以故选：D【点睛】本题考查抛物线的定义，直线与抛物线的位置关系，考查运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于设点，进而求得，再结合抛物线的定义计算即可.二、填空题13．记等差数列的前项和为，若，则___________.【答案】【分析】由，可得：，从而可得结果.【详解】设等差数列的公差，由，可得：，∴，即，故答案为：14．若函数在点处的切线过点，则实数___________.【答案】【分析】求导得，进而得，故切线方程为，再结合切线过点即可得.【详解】解：函数，求导得，所以，所以函数在点处的切线方程为：，又因为切线过点，所以，解得：.故答案为：【点睛】本题考查导数的几何意义，考查运算求解能力，是基础题.导数运算及切线的理解应注意的问题：一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点．三是复合函数求导的关键是分清函数的结构形式．由外向内逐层求导，其导数为两层导数之积.15．已知双曲线与抛物线有共同的一焦点，过的左焦点且与曲线相切的直线恰与的一渐近线平行，则的离心率为___________.【答案】【分析】由平行得切线方程，由直线与抛物线相切得的关系式，从而可得离心率．【详解】因为抛物线与双曲线共焦点，所以，，抛物线方程为，双曲线的左焦点为，过与一条渐近线平行的直线方程为，由得，所以，所以，从而，离心率为．故答案为：．【点睛】关键点点睛：本题考查考查求双曲线的离心率．解题关键是求出双曲线是（）的关系．建立等量关系的途径是利用直线与抛物线相切，用写出直线方程，与抛物线方程联立，消元后，判别式等于0．16．已知三棱锥中，，是边长为的正三角形，点，分别是，的中点，是上的一点，且，若，则___________.【答案】【分析】根据正三棱锥的性质，结合线面垂直的判定定理、线面垂直的性质、余弦定理进行求解即可.【详解】取的中点，连接，因为是边长为的正三角形，所以，因此，又因为，所以，因为，平面，因此平面，而平面，所以，又因为点，分别是，的中点，所以，而，所以，而，平面，所以平面，因为平面，所以，因为是边长为的正三角形，所以，，在中，，解得（负值舍去），设，因为，所以，因为，所以，因为，所以（负值舍去），因为，所以，在中，，所以，故答案为：【点睛】关键点睛：本题通过取的中点，得到平面，结合已知再得到平面，进而得到是解题的关键.三、解答题17．2020年5月28日，十三届全国人大三次会议表决通过了《中华人民共和国民法典》，自2021年1月1日起施行.它被称为“社会生活的百科全书”，是新中国第一部以法典命名的法律，在法律体系中居于基础性地位，也是市场经济的基本法.某中学培养学生知法懂法，组织全校学生学习《中华人民共和国民法典》并组织知识竞赛.为了解学习的效果，现从高一，高二两个年级中各随机抽取名学生的成绩(单位：分)，绘制成如图所示的茎叶图：（1）通过茎叶图分析哪个年级的学生学习效果更好；(不要求计算，分析并给出结论)（2）根据学生的竞赛成绩，将其分为四个等级：测试成绩(单位：分)等级合格中等良好优秀现已从高一､高二两个年级成绩为良好的同学中，用分层抽样法抽出位同学参加座谈会，要再从这位同学中任意选出人发言，求这人来自不同年级的概率.【答案】（1）高二年级的学生学习效果更好；（2）.【分析】（1）根据茎叶图的特点，结合平均数、数据的集中情况进行分析即可；（2）根据分层抽样的性质，结合古典概型计算公式用列法法进行求解即可.【详解】（1）由图知：高二年级的学生成绩的平均分高于高一年级考核成绩的平均分；高二年级的学生成绩比较集中，而高一年级的同学成绩比较分散.高二年级的学生学习效果更好.（2）由图知：高一､高二两个年级数学成绩为良好的人数分别为，，若用分层抽样法抽出人，则应从高一､高二两个年级各抽出人､人.设“位同学任意选出人发言，这人是来自不同年级的同学”为事件.将高一选出的人记为；､，高二选出的人记为：，，.可得，，，，，，，，，共有10种选法，事件包含､､､､､共有种..选出的人是来自不同班的同学的概率等于.18．如图，在四边形中，，，为锐角三角形，且，，.（1）求的值；（2）求的面积.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根据正弦定理求解即可；（2）根据等面积法将的面积转化为的面积，又由于为直角三角形，求出边长，进而计算面积即可.【详解】解：在锐角中，，，，由正弦定理得，又因为为锐角三角形.，.，，.在中，，，，又，.【点睛】解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边”；求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.19．如图，四棱锥中，，，，平面平面，点为的中点.（1）求证：平面；（2）若，求四棱锥的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）取的中点，连接，，再根据点为的中点，易证四边形为平行四边形，从而，再利用线面平行的判定定理证明；（2）易证平面，进而得到平面平面，再由，得到平面，由求解.【详解】（1）证明：取的中点，连接，.点为的中点，，且.又，，，且，四边形为平行四边形，，又平面，平面，平面.（2），，又，平面，.又平面平面，平面平面，平面，为四棱锥的高，，.【点睛】方法点睛：判断或证明线面平行的常用方法：（1）利用线面平行的定义，一般用反证法；（2）利用线面平行的判定定理(a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α)，其关键是在平面内找(或作)一条直线与已知直线平行，证明时注意用符号语言的叙述；（3）利用面面平行的性质定理(α∥β，a⊂α⇒a∥β)；（4）利用面面平行的性质(α∥β，a⊄β，a∥α⇒a∥β)．20．已知椭圆过点，且离心率为.（1）求椭圆的方程；（2）过右焦点且不与轴重合的直线与椭圆交于，两点，已知，过且与轴垂直的直线与直线交于点，求证：点在一定直线上，并求出此直线的方程.【答案】（1）；（2）证明见解析，直线.【分析】（1）由椭圆过定点，结合离心率求椭圆参数，写出椭圆方程.（2）由题设知的斜率不可能为0，可设直线的方程为，，，联立椭圆方程，应用韦达定理可得，再由点斜式表示直线：，则即可判断是否为定直线.【详解】（1）由题意，且，又，解得，.椭圆的方程为.（2）设直线的方程为，，，联立方程整理得，，由，，即.直线的方程为.①过且与轴垂直的直线的方程为.②联立①②可得.点在定直线上.【点睛】关键点点睛：第二问，设直线的方程联立椭圆方程，由韦达定理确定的关系，进而由的位置用表示出其横坐标.21．已知函数.（1）若函数在定义域内为增函数，求实数的取值范围；（2）当时，求证：.【答案】（1）；（2）证明见解析.【分析】（1）首先求出函数的导函数，依题意可得在恒成立，再分和两种情况讨论，即可得解；（2）易知在上单调递增，再根据零点存在性定理可得存在，使得，即可得到在单调递减，在单调递增，即可得证.【详解】解：（1）由，得.函数在定义域内为增函数，在恒成立.当时，，满足题意；当时，设.易得，函数在上为增函数，，即与矛盾.综上，实数的取值范围为.（2）易知在上单调递增，又，，存在，使得，即，.当时，，当时，，函数在单调递减，在单调递增...【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．22．在平面直角坐标系中，已知曲线的参数方程为(为参数)，直线的参数方程为(为参数，).以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.（1）分别写出曲线和直线的极坐标方程；（2）直线与曲线交于，两点，若，求直线