北师大版七年级数学下册《1.3.2平方差公式的验证和应用》同步练习题（带答案）

第页精品试卷·第2页（共2页）北师大版七年级数学下册《1.3.2平方差公式的验证和应用》同步练习题（带答案）一、选择题1．观察下列图形，从图①到图②可用式子表示为()A．(a＋b)(a－b)＝a2－b2B．a2－b2＝(a＋b)(a－b)C．(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2D．a2＋2ab＋b2＝(a＋b)22．如图，在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形(a>b)，然后将阴影部分拼成一个长方形，分别计算这两个阴影部分的面积，验证的公式是()A.(a＋b)(a－b)＝a2－b2B．(a－b)2＝a2－2ab＋b2C．(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2D．a2＋ab＝a(a＋b)3．为了美化校园，学校把一个边长为am(a＞4)的正方形跳远沙池的一组对边各增加1m，另一组对边各减少1m，改造成长方形的跳远沙池．如果这样，你觉得沙池的面积会()A．变小B．变大C．没有变化D．无法确定4．用简便方法计算40eq\f(2,3)×39eq\f(1,3)，变形正确的是()A．(40＋eq\f(2,3))(39＋eq\f(1,3))B．(40＋eq\f(2,3))(40－eq\f(2,3))C．(40＋eq\f(1,3))(40－eq\f(1,3))D．(40－eq\f(2,3))(40－eq\f(2,3))5．已知(x＋2)(x－2)－2x＝1，则2x2－4x＋3的值为()A．13B．8C．－3D．56．如图，小正方形ABCD和大正方形CEFG相邻，B，C，G三点在同一条直线上，C，D，E三点在同一条直线上．若阴影部分的面积为9，则大正方形的面积与小正方形的面积之差为()A.eq\f(9,2)B．9C．12D．187．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“完美数”，如12＝42－22，52＝142－122，因此12，52这两个数都是“完美数”，则下列说法中错误的是()A．20是“完美数”B．最小的“完美数”是4C．“完美数”一定是4的奇数倍D．小于30的所有“完美数”之和是608．发现：41＝4，42＝16，43＝64，44＝256，45＝1024，46＝4096，47＝16384，48＝65536，依据上述规律，通过计算判断3×(4＋1)(42＋1)(44＋1)…(432＋1)＋1的结果的个位数字是()A．2B．4C．6D．8二、填空题9．计算x2－(x＋4)(x－4)的结果是________．10．三个连续偶数，若中间一个是n，则它们的积是____________．11．计算：20232－2021×2025＝________．12．若a＝1954×1946，b＝1957×1943，c＝1949×1951，则a，b，c的大小关系为________(用“＜”连接)．13．图1为某校七年级两个班级的劳动实践基地，图2是从实践基地抽象出来的几何模型.已知两块边长分别为m，n的正方形，其中重叠部分B为池塘，阴影部分S1，S2分别表示两个班级的基地面积.若m＋n＝8，m－n＝2，则S1－S2＝________.14．定义：如果一个正整数能表示为两个正整数m，n的平方差，且m－n>1，则称这个正整数为“马年大吉数”．例如，16＝52－32，16就是一个马年大吉数．若将马年大吉数从小到大排列，则第3个马年大吉数是________；第23个马年大吉数是________．三、解答题15．利用平方差公式计算：(1)119×121；(2)59.8×60.2.16．计算：(1)4y(x－y)＋(x－2y)(x＋2y)；(2)(－1＋x)(－x－1)－x(2－x).17．解方程：(3－x)(3＋x)－x(5－x)＝4.18．若(n＋205)2＝123456789，求(n＋215)(n＋195)的值．19．先化简，再求值：2m－m(m－2)＋(m＋3)(m－3)，其中m＝eq\f(5,2).20．试说明：(eq\f(1,4)m3＋2n)(eq\f(1,4)m3－2n)＋(2n－4)(2n＋4)的值与n的取值无关．21．如图所示，图1由两个长方形组成，通过移动图1中的阴影长方形得到图2.(1)根据两个图形面积间的关系，可以验证的乘法公式是_____________________；(用含a，b的代数式表示)

(2)应用所得的公式计算：（1－122）（1－132）·（1－142）…（1－122．(1)观察下列各式的规律：(a－b)(a＋b)＝a2－b2；(a－b)(a2＋ab＋b2)＝a3－b3；(a－b)(a3＋a2b＋ab2＋b3)＝a4－b4；……可得到(a－b)(a2025＋a2024b＋…＋ab2024＋b2025)＝______________．(2)猜想：(a－b)(an－1＋an－2b＋…＋abn－2＋bn－1)＝____________(其中n为正整数，且n≥2).(3)利用(2)猜想的结论计算：29－28＋27－…＋23－22＋2.参考答案一、选择题1．观察下列图形，从图①到图②可用式子表示为()A．(a＋b)(a－b)＝a2－b2B．a2－b2＝(a＋b)(a－b)C．(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2D．a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2【答案】A2．如图，在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形(a>b)，然后将阴影部分拼成一个长方形，分别计算这两个阴影部分的面积，验证的公式是()A.(a＋b)(a－b)＝a2－b2B．(a－b)2＝a2－2ab＋b2C．(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2D．a2＋ab＝a(a＋b)【答案】A3．为了美化校园，学校把一个边长为am(a＞4)的正方形跳远沙池的一组对边各增加1m，另一组对边各减少1m，改造成长方形的跳远沙池．如果这样，你觉得沙池的面积会()A．变小B．变大C．没有变化D．无法确定【答案】A4．用简便方法计算40eq\f(2,3)×39eq\f(1,3)，变形正确的是()A．(40＋eq\f(2,3))(39＋eq\f(1,3))B．(40＋eq\f(2,3))(40－eq\f(2,3))C．(40＋eq\f(1,3))(40－eq\f(1,3))D．(40－eq\f(2,3))(40－eq\f(2,3))【答案】B5．已知(x＋2)(x－2)－2x＝1，则2x2－4x＋3的值为()A．13B．8C．－3D．5【答案】A6．如图，小正方形ABCD和大正方形CEFG相邻，B，C，G三点在同一条直线上，C，D，E三点在同一条直线上．若阴影部分的面积为9，则大正方形的面积与小正方形的面积之差为()A.eq\f(9,2)B．9C．12D．18【答案】D【解析】设大正方形的边长为x，小正方形的边长为y，则DE＝x－y，由题意阴影部分的面积是eq\f(1,2)AD·DE＋eq\f(1,2)DE·CG＝eq\f(1,2)(x－y)·y＋eq\f(1,2)(x－y)·x＝eq\f(1,2)(x－y)(x＋y)＝eq\f(1,2)(x2－y2)＝9.所以大正方形的面积与小正方形的面积之差x2－y2=18.7．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“完美数”，如12＝42－22，52＝142－122，因此12，52这两个数都是“完美数”，则下列说法中错误的是()A．20是“完美数”B．最小的“完美数”是4C．“完美数”一定是4的奇数倍D．小于30的所有“完美数”之和是60【答案】D【解析】由于20＝62－42，因此20是“完美数”，所以选项A不符合题意；两个连续偶数的平方差最小为4，因此“完美数”最小为4，所以选项B不符合题意；两个连续偶数的和是2的奇数倍，两个连续偶数的差是2，所以两个连续偶数的平方差是4的奇数倍，即“完美数”一定是4的奇数倍，所以选项C不符合题意；小于30的所有“完美数”的和为4＋12＋20＋28＝64，因此选项D符合题意．故选D.8．发现：41＝4，42＝16，43＝64，44＝256，45＝1024，46＝4096，47＝16384，48＝65536，依据上述规律，通过计算判断3×(4＋1)(42＋1)(44＋1)…(432＋1)＋1的结果的个位数字是()A．2B．4C．6D．8【答案】C【解析】41＝4，42＝16，43＝64，44＝256，45＝1024，46＝4096，47＝16384，48＝65536，观察上面运算结果发现：当4的指数是奇数时，运算结果的个位数字是4；当4的指数是偶数时，运算结果的个位数字是6.3×(4＋1)(42＋1)(44＋1)…(432＋1)＋1＝(4－1)(4＋1)(42＋1)(44＋1)…(432＋1)＋1＝(42－1)(42＋1)(44＋1)…(432＋1)＋1＝(44－1)(44＋1)…(432＋1)＋1＝464－1＋1＝464.由规律可得464的个位数字是6，所以3×(4＋1)(42＋1)(44＋1)…(432＋1)＋1的结果的个位数字是6.二、填空题9．计算x2－(x＋4)(x－4)的结果是________．【答案】1610．三个连续偶数，若中间一个是n，则它们的积是____________．【答案】n3－4n11．计算：20232－2021×2025＝________．【答案】412．若a＝1954×1946，b＝1957×1943，c＝1949×1951，则a，b，c的大小关系为________(用“＜”连接)．【答案】b＜a＜c13．图1为某校七年级两个班级的劳动实践基地，图2是从实践基地抽象出来的几何模型.已知两块边长分别为m，n的正方形，其中重叠部分B为池塘，阴影部分S1，S2分别表示两个班级的基地面积.若m＋n＝8，m－n＝2，则S1－S2＝________.【答案】1614．定义：如果一个正整数能表示为两个正整数m，n的平方差，且m－n>1，则称这个正整数为“马年大吉数”．例如，16＝52－32，16就是一个马年大吉数．若将马年大吉数从小到大排列，则第3个马年大吉数是________；第23个马年大吉数是________．【答案】1557【解析】依题意，当m＝3，n＝1时，第1个马年大吉数为32－12＝8，当m＝4，n＝2时，第2个马年大吉数为42－22＝12，当m＝4，n＝1时，第3个马年大吉数为42－12＝15，当m＝5，n＝3时，第4个马年大吉数为52－32＝16，当m＝6，n＝4时，第5个马年大吉数为62－42＝20，当m＝5，n＝2时，第6个马年大吉数为52－22＝21，当m＝5，n＝1时，第7个马年大吉数为52－12＝24……当m＝6时有4个马年大吉数，同理m＝7时有5个，m＝8时有6个，列表如下：nm123456789…1

…2

…38

…41512

…5242116

…635322720

…74845403324

…8636055483928

…980777265564532

…109996918475645136

…111201171121059685725740………………当m＝12，n＝10时，马年大吉数为44，m＝13，n＝11时，马年大吉数为48，m＝14，n＝12时，马年大吉数为52，m＝15，n＝13时，马年大吉数为56，第1至第10个马年大吉数分别为8，12，15，16，20，21，24，27，28，32，第11至第20个马年大吉数分别为33，35，36，39，40，44，45，48，51，52，第21个马年大吉数为55，第22个马年大吉数为56，第23个马年大吉数为57.三、解答题15．利用平方差公式计算：(1)119×121；解：原式＝(120－1)(120＋1)＝1202－12＝14399(2)59.8×60.2.解：原式＝(60－0.2)(60＋0.2)＝602－0.22＝3600－0.04＝3599.9616．计算：(1)4y(x－y)＋(x－2y)(x＋2y)；解：原式＝4xy－4y2＋x2－4y2＝4xy－8y2＋x2(2)(－1＋x)(－x－1)－x(2－x).解：原式＝(－1＋x)(－1－x)－(2x－x2)＝1－x2－2x＋x2＝－2x＋117．解方程：(3－x)(3＋x)－x(5－x)＝4.解：32－x2－5x＋x2＝4，9－5x＝4，－5x＝－5，x＝118．若(n＋205)2＝123456789，求(n＋215)(n＋195)的值．解：因为(n＋215)(n＋195)＝[(n＋205)＋10][(n＋205)－10]＝(n＋205)2－102，(n＋205)2＝123456789，所以原式＝123456789－100＝123456689.19．先化简，再求值：2m－m(m－2)＋(m＋3)(m－3)，其中m＝eq\f(5,2).解：原式＝2m－m2＋2m＋m2－9＝4m－9，当m＝eq\f(5,2)时，原式＝4×eq\f(5,2)－9＝10－9＝120．试说明：(eq\f(1,4)m3＋2n)(eq\f(1,4)m3－2n)＋(2n－4)(2n＋4)的值与n的取值无关．解：原式＝(eq\f(1,4)m3)2－(2n)2＋(2